精品解析：湖北省荆州市荆州经济技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024年秋季初中毕业年级质量检测 数学试题 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 反比例函数的图象经过第二、第四象限，则k的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，可以看做是由绕点O顺时针旋转度得到的，若点在上，则旋转角的大小是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为的直径，点为圆上一点，且．现有以下操作：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，下列说法中不正确的是（ ） A. 该二次函数的图象的开口向下 B. 该二次函数图象的顶点坐标是 C. 该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D. 已知点和都在这个二次函数的图象上，则 6. 如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数与二次函数的图像相交于，两点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. D. 且 9. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，函数经过点，对称轴为直线：①；②；③；④；⑤若点、在抛物线上，则；⑥（m为任意实数），其中结论正确的有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为．则______. 12. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．飞机着陆后滑行______才能停下来． 13. 若，是方程的两个实数根，则的值为________． 14. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为______． 15. 如图，在半径为5的中，弦，D为优弧的中点，C为上一点，于点E，于点H，连接．若，则________． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．为让学生了解更多的数学文化，某校开展了一次数学历史知识试卷调查．对发放的试卷进行回收，对有效试卷的得分进行整理，得到下列不完整的统计表． 组别 分数段 频数 频率 A 0.2 B 40 a C 24 0.24 D b 请根据所给信息，解答以下问题： （1）本次调查回收的有效试卷共________份，表中________，________； （2）小平拟从《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》这4部数学名著中选择2部作为假期课外拓展学习内容，用列表或树状图求选中的名著恰好是《九章算术》和《孙子算经》的概率． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）设，是方程的两个根且，求m的值． 19. 某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置与地面垂直，且（如图），喷水能力最强，水流从A处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，当水流与喷水装置的水平距离为时，水流达到最大高度4m，以点O为坐标原点，所在直线为y轴，地面为x轴建立平面直角坐标系．设水流喷出的高度为，水流到喷水装置的水平距离为． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）现要在音乐喷泉外围地面上摆放花盆（大小忽略不计），不计其它因素，花盆到喷水装置的水平距离大于多少米时才不会被喷出的水流击中？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标． 21. 如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购买一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构，根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式为，许愿瓶的进价为6元/个． （1）按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式； （2）若许愿瓶的进价成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润． 23. 在数学综合与实践活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）探究一：小明将矩形纸片绕顶点C顺时针旋转到矩形位置，连接，，，如图1，则的形状为________． （2）探究二：小明将矩形绕顶点C顺时针旋转得到矩形，当点F恰好落在的延长线上时，设与相交于点M，如图2，若，，求的长． （3）探究三：小明将矩形绕顶点A逆时针旋转一定角度，得到矩形，且点E恰好落在边上，如图3，连接交于点O，连接．求证：O是的中点． 24. 如图，抛物线（，是常数）的顶点为，与轴交于，两点，． （1）求该抛物线的解析式． （2）连接，作直线，点为轴上一动点，其横坐标为（且），过点作交直线于点，连接．设的面积为． ①求关于的函数关系式； ②根据的不同取值，试探索点的个数情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季初中毕业年级质量检测 数学试题 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 反比例函数的图象经过第二、第四象限，则k的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 由反比例函数的图象位于第二、四象限，比例系数，根据的取值范围即可得到结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过二、四象限， ， ∴的值可以是， 故选：D． 2. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记配方法的一般步骤．先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 3. 如图，，可以看做是由绕点O顺时针旋转度得到的，若点在上，则旋转角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据点在上，得到是等腰三角形，利用三角形内角和定理求出，进而得到，由，即可求出． 【详解】解：是由绕点O顺时针旋转度得到， ，， 点在上， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 4. 如图，为的直径，点为圆上一点，且．现有以下操作：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论，尺规作角平分线等知识点，根据直角所对的圆周角是得出的度数，再由得出的度数，最后根据所画射线为的角平分线即可解决问题，熟练掌握圆周角定理的推论，尺规作角平分线是解决此题的关键． 【详解】∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， 根据作图步骤可知，平分， ∴， ∴， 故选：C． 5. 已知二次函数，下列说法中不正确的是（ ） A. 该二次函数的图象的开口向下 B. 该二次函数图象的顶点坐标是 C. 该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D. 已知点和都在这个二次函数的图象上，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据可得该二次函数的图象的开口向下，由此即可判断选项A正确；将二次函数的解析式化成顶点式即可判断选项B错误；求出当时，的值即可判断选项C正确；根据二次函数的增减性即可判断选项D正确． 【详解】解：∵二次函数中的， ∴该二次函数的图象的开口向下，则选项A正确； 二次函数化成顶点式为， ∴该二次函数图象的顶点坐标是，则选项B错误； 当时，，解得或， ∴该二次函数的图象与轴的交点坐标是和，则选项C正确； ∵二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵点和都在这个二次函数的图象上，且， ∴，则选项D正确； 故选：B． 6. 如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的情况有4种， ∴， 故选B． 7. 一次函数与二次函数的图像相交于，两点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合思想分析问题，理解不等式的解集就是对应的自变量的取值范围是解题关键．根据图像，观察一次函数在二次函数图像下方时所对应的自变量取值范围，即为该不等式的解集． 【详解】解：由图像可知， 关于的不等式的解集为或． 故选：B． 8. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，同时要满足该方程的二次项系数不为0．熟练运用根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故选：B 9. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的应用，过点A作，过点B作，在中，可求得，同理可求得，再由弧长公式可求得，即可求解． 【详解】解：过点A作，过点B作，如图， 则中，， ∴， 中，， ∴， ∵双翼的弧与弧的长都为，， ∴，， ∴， ∴， ∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：D． 10. 如图，函数经过点，对称轴为直线：①；②；③；④；⑤若点、在抛物线上，则；⑥（m为任意实数），其中结论正确的有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识． ①根据图象与轴有两个交点，即可判断； ②根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断； ③根据图象可得对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，再根据抛物线增减性即可判断； ④根据图象抛物线与轴的一个交点为，可得，对称轴为，可得，将代入，即可判断； ⑤根据图象可得，即可得出，再结合对称轴，运用二次函数增减性即可判断； ⑥对称轴为， ，运用二次函数增减性即可判断． 【详解】解：①∵抛物线与轴有两个交点， ， ，故①符合题意； ②∵抛物线开口向上， ， ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴与异号，即， ∵抛物线与轴交点在轴下方， ，故②不符合题意； ③∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∵抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小， ∴当时，， ，故③不符合题意； ④∵抛物线与轴的一个交点为， ， ∵抛物线对称轴为， ， ， ，故④符合题意； ∵， ∵抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大， 故⑤不符合题意； ⑥抛物线对称轴为，抛物线开口向上， 时，有最小值， （为任意实数），故⑥符合题意； 综上所述，①④⑥符合题意，共有个； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为．则______. 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，掌握关于原点对称的点的坐标横纵坐标互为相反数是解题关键．根据关于原点对称，得到，，再代入计算乘方即可． 【详解】解：点关于原点对称的点为， ，， ， 故答案为：1． 12. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．飞机着陆后滑行______才能停下来． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，把二次函数解析式转化为顶点式，求出二次函数的最大值即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，有最大值为， ∴飞机着陆后滑行才能停下来， 故答案为：． 13. 若，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．代入原方程，再结合根与系数的关系求出，即可解决问题． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2025． 14. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，矩形的判定和性质，过点作轴于，延长线段，交轴于，得出四边形是矩形，四边形是矩形，得出，，由，得到，即可求得矩形的面积，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：过点作轴于，延长线段，交轴于， ∵轴， 轴， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ， 点在双曲线上， ， 同理， ∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：24． 15. 如图，在半径为5的中，弦，D为优弧的中点，C为上一点，于点E，于点H，连接．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点G，连接，证明是等腰三角形，由等腰三角形三线合一可得，根据三角形外接圆的性质可得点O在上，利用勾股定理求出，进而得到，利用勾股定理求出，，由圆周角定理得到，结合，证明，推出即可． 【详解】解：过点作于点G，连接， ∵D为优弧的中点， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∵是的外接圆， ∴点O在上， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点H，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： ，， 解得，． 17. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．为让学生了解更多的数学文化，某校开展了一次数学历史知识试卷调查．对发放的试卷进行回收，对有效试卷的得分进行整理，得到下列不完整的统计表． 组别 分数段 频数 频率 A 0.2 B 40 a C 24 0.24 D b 请根据所给信息，解答以下问题： （1）本次调查回收的有效试卷共________份，表中________，________； （2）小平拟从《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》这4部数学名著中选择2部作为假期课外拓展学习内容，用列表或树状图求选中的名著恰好是《九章算术》和《孙子算经》的概率． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了统计表、扇形统计图、用列表法或树状图法求概率． （1）根据组的数据求出有效试卷的份数，再根据组的频次求出，用减去组、组、组的频率求出组的频率，再根据有效试卷的份数求出值； （2）画树状图求出选中的名著恰好是《九章算术》和《孙子算经》的概率． 【小问1详解】 解：从表中可以看出组的频次为，频率为， 本次调查回收的有效试卷共(份)， ，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为，，，， 根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有种，并且这种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，选中的名著恰好是《九章算术》和《孙子算经》的结果有种， 选中的名著恰好是《九章算术》和《孙子算经》的概率为． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）设，是方程的两个根且，求m的值． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，即可求出答案； （2）根据根与系数关系得到，，代入，解关于m的一元二次方程，并根据（1）确定m的值m的值即可． 【小问1详解】 解：∵． ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【小问2详解】 由根与系数的关系，得，， ∴可化为， 即， 解得，． 又∵， ∴． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系、解一元二次方程、解一元一次不等式等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 19. 某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置与地面垂直，且（如图），喷水能力最强，水流从A处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，当水流与喷水装置的水平距离为时，水流达到最大高度4m，以点O为坐标原点，所在直线为y轴，地面为x轴建立平面直角坐标系．设水流喷出的高度为，水流到喷水装置的水平距离为． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）现要在音乐喷泉外围地面上摆放花盆（大小忽略不计），不计其它因素，花盆到喷水装置的水平距离大于多少米时才不会被喷出的水流击中？ 【答案】（1） （2）花盆到喷水装置的水平距离大于3.5米时才不会被喷出的水流击中 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式，二次函数的应用，理解题意是关键． （1）根据题意可设抛物线解析式为，再将代入求解即可； （2）令，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知抛物线最高点坐标为， ∴设抛物线解析式为． ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得：，， ∴花盆到喷水装置的水平距离大于3.5米时才不会被喷出的水流击中． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象与x轴的交点，坐标与图形，三角形面积，数形结合是解题关键． （1）先通过一次函数求出点坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）根据，求出，分类讨论，代代入反比例函数即可求解． 【小问1详解】 解：因为点A在直线上，所以，解得， 故点A坐标为， 将点A坐标代入反比例函数解析式得，， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵点A坐标为， 又，即， ∴， 故点P纵坐标为9或， 将代入得，， 将代得，， 所以点P的坐标为或． 21. 如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接 ∵是的切线， ∴， ∵，D为的中点， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由切线的性质可得，证明垂直平分，得出，证明，得出，即可得证； （2）结合（1）可得：，，，由勾股定理可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴结合（1）可得：，，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴的半径为． 22. 在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购买一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构，根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式为，许愿瓶的进价为6元/个． （1）按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式； （2）若许愿瓶的进价成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润． 【答案】（1）； （2）此时的销售单价为15元/个时，最大利润为1350元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，一元一次不等式的应用等； （1）找出等量关系式：销售利润单个许愿瓶销售利润销售量，据此列出函数关系式即可； （2）由进价成本不超过900元求出的取值范围，将化为顶点式，利用二次函数的性质求最值，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得 ； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得：， ， 当时，随着的增大而减小， 当时，取得最大值为， （元）， 故此时的销售单价为元/个时，最大利润为元． 23. 在数学综合与实践活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）探究一：小明将矩形纸片绕顶点C顺时针旋转到矩形位置，连接，，，如图1，则的形状为________． （2）探究二：小明将矩形绕顶点C顺时针旋转得到矩形，当点F恰好落在的延长线上时，设与相交于点M，如图2，若，，求的长． （3）探究三：小明将矩形绕顶点A逆时针旋转一定角度，得到矩形，且点E恰好落在边上，如图3，连接交于点O，连接．求证：O是的中点． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2） （3） 如图，作于， 由旋转可得：，，， ∴， ∵矩形，矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴O是的中点． 【解析】 【分析】（1）由，可知是等腰三角形，再由，推导出，即可判断出是等腰直角三角形， （2）证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，在中，勾股定理列出方程，解得即可； （3）如图，作于，结合旋转可得：，，，证明，结合，可得，进一步可得结论． 【小问1详解】 解：两个完全相同的矩形纸片和， ， 是等腰三角形， ，．， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形， 【小问2详解】 解：，，， ， ， ，， ， ，， ， 在中，， ， 解得． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 24. 如图，抛物线（，是常数）的顶点为，与轴交于，两点，． （1）求该抛物线的解析式． （2）连接，作直线，点为轴上一动点，其横坐标为（且），过点作交直线于点，连接．设的面积为． ①求关于的函数关系式； ②根据的不同取值，试探索点的个数情况． 【答案】（1） （2）①； ②如图3， 对于， ， 画出图象，如图： 当时，对于每个S的值，存在3个P点； 当时，存在2个P点； 当时，对于每个S的值，存在1个P点． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、坐标与图形等知识． （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）①利用待定系数法求得直线、和直线的解析式，求得，再分两种情况，利用三角形的面积公式列式即可求解； ②画出函数的图象，利用图象解决问题． 【小问1详解】 解：，， ， 将，分别代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设， ①由可知， 设直线的解析式为， 将，分别代入， 得解得， 直线的解析式为， 同理可求直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为， 将代入，得， ， 直线的解析式为， 联立，解得， ， 如图1，当时， ， ； 如图2，当时， ， 综上可知，； ② 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $