第1章 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（湘教版）

小结与复习 第1章 直角三角形 优翼八下数学教学课件（XJ） 直角三角形的性质定理1 直角三角形的两个锐角______. 互余 直角三角形的判定定理1 有两个角______的三角形是直角三角形. 互余 一、直角三角形的性质与判定 要点梳理 直角三角形的重要推论 1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的_____. 一半 2. 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的_____. 一半 3. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于____°. 30 1. 如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边 为 c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方. 在直角三角形中才可以运用. 2. 勾股定理的应用条件 二、勾股定理 3. 勾股定理表达式的常见变形： a2＝c2－b2， b2＝c2－a2， A B C c a b 三、勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2 ， 那么这个三角形是直角三角形. 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数. 2. 勾股数 A B C c a b 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边，直角边”或“HL”. A B C D E F 注意：①对应相等； ②“HL”仅适用直角三角形； ③书写格式应为: ∵在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中， AB = DE， AC = DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). 四、直角三角形全等的判定 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD ⊥ OA 于 D PE ⊥ OB 于 E PD = PE OP 平分 ∠AOB PD = PE PD⊥ OA 于 D PE ⊥ OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 五、 角平分线的性质与判定 考点一 直角三角形的性质与判定 例1：如图，AB∥DF，AC⊥BC 于 C，CB 的延长线与DF 交于点 E，若∠A ＝ 20°，则 ∠CEF 等于(　　) A．110° B．100° C．80° D．70° 【分析】∵AC⊥BC 于 C， ∴△ABC 是直角三角形， ∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－20°＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°， ∵AB∥DF，∴∠1＋∠CEF＝180°， 即∠CEF＝180°－∠1＝180°－70°＝110°. A 考点讲练 例2 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 E，F 分别是边 AB，AC 的中点，点 D 在边 BC 上．若 DE = DF，AD = 2，BC = 6，求四边形 AEDF 的周长． 解：∵点 E，F 分别是边 AB，AC 的中点， ∴AE = BE = AB，AF = CF = AC. ∵AB = AC，∴AE = AF， 在△ADE 和△ADF 中， ∴△ADE≌△ADF（SSS）. ∴BD = CD = BC = 3，AD⊥BC. ∴∠ADB = ∠ADC = 90°. ∵在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中， E，F 分别是边 AB，AC 的中点， ∴DE = AB，DF = AC. ∴AE = AF = DE = DF. ∴四边形 AEDF 的周长 = 4AE = 2AB = ∴∠DAE =∠DAF，即 AD 平分∠BAC. 1. 等腰三角形的一个底角为 75°，腰长 4 cm，那么腰上的高是______cm，这个三角形的面积是_____cm2. 2 4 针对训练 例3 在 △ABC 中，已知 BD 是高，∠B ＝ 90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a，b，c，且 a ＝ 3，b ＝ 4，求 BD 的长． 解：∵∠B＝90°，∴b 是斜边， 则在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 又∵S△ABC＝ b•BD ＝ ac， 考点二 勾股定理 在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便. 在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数 3，4，5 的干扰． 方法总结 2．已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是 (　　). A. 25 B. 14 C. 7 D. 7或25 针对训练 D 解：由折叠知：DA ＝ DB，△ACD 为直角三角形． 在 Rt△ACD 中，AC2＋CD2 ＝ AD2①， 设 CD ＝ x cm，则 AD ＝ BD ＝ (8－x) cm， 代入①式，得 62＋x2 ＝ (8－x)2， 化简，得 36 ＝ 64－16x， 所以x ＝ ＝ 1.75， 即 CD 的长为 1.75 cm. 3. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC ＝ 8 cm，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕是 DE，求 CD 的长． 例4 已知在 △ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是a，b，c，a＝n2 －1，b＝2n，c＝n2 ＋1 (n＞1)，判断△ABC 是否为直角三角形． 考点三 勾股定理的逆定理 解：由于 a2 ＋ b2＝(n2－1)2 ＋ (2n)2＝n4＋2n2＋1， c2 ＝(n2＋1)2 ＝n4 ＋2n2＋1， 从而 a2 ＋b2＝c2. 故可以判定 △ABC 是直角三角形． 运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大； ②分别用代数方法计算出 a2 ＋ b2 和 c2 的值( c 边最大)；③判断 a2 ＋ b2 和 c2 是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形． 方法总结 4.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有________． 针对训练 (2) (4) 5. B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东 60°方向以每小时 8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时 15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到 M岛，乙船到 P 岛，两岛相距 34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？ 解：甲船航行的距离为 BM = 16（n mile）， 乙船航行的距离为 BP = 30（n mile）． ∵162 + 302 = 1156，342 = 1156, ∴BM2 + BP2 = MP2, ∴△MBP 为直角三角形，∴∠MBP = 90° , ∴乙船是沿着南偏东 30° 方向航行的． 6. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 20 cm，BC = 15 cm，CD = 7 cm，AD = 24 cm，∠ABC = 90°．猜想∠A 与∠C 的关系，并加以证明． 解：猜想∠A +∠C = 180°．连接 AC. ∵∠ABC = 90°， ∴在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 ∵AD2 + DC2 = 625 = 252 = AC2， ∴△ADC是直角三角形，且∠D = 90°. ∵∠DAB +∠B +∠BCD +∠D = 360°， ∴∠DAB +∠BCD = 180°. 即∠A+∠C = 180°． 考点四 直角三角形全等的判定 例5 如图，两根长均为 12 米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？ A B C D 【分析】将本题中的实际问题转化为数学问题就是确定 BD 是否等于 CD. 由已知条件可知 AB = AC，AD⊥BC. A B C D 解：相等，理由如下： ∵AD⊥BC， ∴∠ADB = ∠ADC = 90°. 在 Rt△ADB 和 Rt△ADC 中， AD = AD， AB = AC， ∴ Rt△ADB≌Rt△ADC(HL). ∴BD = CD. 例6 如图，在 △ABC 中，EB = FC，且 BD = CD， DE⊥AB， DF⊥AC. 垂足分别为 E，F. 求证：AD 是 △ABC 的角平分线. A B C D E F 【分析】先利用“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CDF，从而得到 DE = DF，再利用角平分线的判定定理证明 AD 是 △ABC 的角平分线. 考点五 角平分线的性质与判定 A B C D E F 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， EB = FC， BD = CD， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). ∴ DE = DF. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ AD 是△ABC 的角平分线. 证明： 例7 如图，∠1 = ∠2，点 P 为 BN 上的一点，∠PCB + ∠BAP = 180°， 求证：PA = PC. B A C N ) ) 1 2 P 【分析】由角平分线的性质易想到过点 P 向∠ABC 的两边作垂线段 PE，PF，构造角平分线的基本图形. E F 证明：过点 P 作PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F. B A C N ) ) 1 2 P E F ∵∠1 = ∠2，PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F. ∴PE = PF， ∠PEA = ∠PFC = 90°. ∵ ∠PCB +∠BAP = 180°，又∠BAP +∠EAP = 180°. ∴ ∠EAP = ∠PCB. 在△APE 和△CPF 中， ∠PEA = ∠PFC = 90°， ∠EAP = ∠FCP， PE = PF， ∴ △APE≌△CPF(AAS). ∴ AP = CP. 【归纳拓展】角的平分线的性质是 证明线段相等的常用方法.应用时要 依托全等三角形发挥作用.作辅助线 有两种思路，一种作垂线段构造角 平分线性质基本图；另一种是构造轴对称图形. 【证法2 思路分析】由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形.方法是在 BC 上截取 BD = AB，连接 PD(如图). 则有△PAB≌△PDB，再证△PDC 是等腰三角形即可获证. A C N ) ) 1 2 P B 证明过程请同学们自行完成！ D 7.如图,∠1 = ∠2，点 P 为 BN 上的一点， PA = PC ，求证:∠PCB+∠BAP = 180°. B A C N ) ) 1 2 P E F 【证明】过点 P 作PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F. ∵∠1 = ∠2，PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F. ∴PE = PF，∠PEA = ∠PFC = 90°. PA = PC， PE = PF， 在Rt△APE 和Rt△CPF 中， ∴ Rt△PAE≌Rt△PCF(HL). 针对训练 ∴ ∠ EAP = ∠ FCP. ∵ ∠BAP +∠EAP = 180°， ∴ ∠PCB +∠BAP = 180°. 想一想：本题如果不给图，条件不变，请问∠PCB 与∠PAB 有怎样的数量关系呢？ B A C N ) ) 1 2 P E F 勾股定理 直角三角形 直角三角形的性质 两个直角三角形全等的判定（HL） 直角三角形的判定 勾股定理的逆定理 角平分线的性质 角平分线的判定 课堂小结 见课本章末练习 课后作业 $$