第二章 2.5 第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

新知一览 不等关系 不等式的基本性质 一元一次不等式与 一元一次不等式组 一元一次不等式 一元一次不等式与一次函数的关系 一元一次不等式与一次函数 不等式的解集 一元一次不等式与一次函数的应用 一元一次不等式组 2.5 一元一次不等式与一次函数 第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系 第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 八年级下册数学（北师版） 2.一次函数的图象是__________.它与 x 轴的交点坐标是 ，与 y 轴的交点坐标是 ；要作一次函数的图象，只需_______点即可. 3. 一次函数 y = 2x – 5它与 x 轴的交点坐标是 ，与 y 轴的交点 坐标是 . 一条直线 (0，b) 两 (0，－5) 1.解不等式 2x－5＞0. 下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数之间的关系. 复习导入 作出一次函数 y ＝ 2x－5 的图象 O 1 2 3 4 5 -2 -1 x 2 3 1 4 -3 -5 -2 -4 y -1 y＝2x－5 x … 0 2.5 … y＝2x－5 … -5 0 … 探究新知 一元一次不等式与一次函数 1 观察图象回答下列问题： (1) x 取何值时，2x－5＝0 ∴ x＝2.5， 2x－5＝0 O 1 2 3 4 5 -2 -1 x 2 -1 3 1 4 -3 -5 -2 -4 y 分析： y＝0 y ＝ 2x－5 (2.5，0) (2) x 取哪些值时，2x－5＞0 ∴ x＞2.5， 2x－5＞0 分析： y＞0 (3) x 取哪些值时，2x－5＜0？ ∴ x＜2.5，2x－5＜0 O 1 2 3 4 5 -2 -1 x 2 -1 3 1 4 -3 -5 -2 -4 y 分析： y＜0 y ＝ 2x－5 (4) x 取哪些值时，2x－5＞1？ ∴ x＞3， 2x－5＞1 分析： y＝1 (2.5，0) O -3 -2 -1 1 2 -5 -4 x 2 -1 3 1 4 -3 -5 -2 -4 y y＝-2x -5 思路一： 运用函数图象解不等式. 由图象可得 当 x＞2.5 时，y＜0. (-2.5，0) (-3，1) 当 x＞-3 时，y＜1. 想一想 如果 y＝-2x - 5， 那么当 x 取何值时，y＜0？当 x 取何值时，y＜1 ？ 思路二： 将函数问题转化为不等式问题. 即 解不等式 -2x -5＜0， ∴ 当 x＞-2.5 时，y＜0. ∴ 当 x＞-3 时，y＜1. 如果 y＝-2x - 5，那么当 x 取何值时，y＜0 ？当 x 取何值时，y＜1 ？ 则 x＞-2.5. -2x -5＜1，则 x＞-3. 归纳总结 求 kx+b＞0 (或＜0) (k ≠ 0)的解集 y = kx + b 的值 大于(或小于) 0 时，x 的取值范围 从“函数值”看 从“函数图象”看 kx + b＞0的解集 O y x kx + b＜0 的解集 例1 根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集. -2 x y＝3x＋6 O y (1) 3x＋6＞0 (3) -x＋3≥0 x y 3 y＝ -x＋3 O (2) 3x＋6≤0 x＞-2 (4) -x＋3＜0 x≤3 x≤-2 x＞3 ( 即 y＞0 ) ( 即 y≤0 ) ( 即 y＜0 ) ( 即 y≥0 ) 1. 利用 y＝ 的图象，直接写出： y 2 5 x y＝ x＋5 O x＝2 x＜2 x＞2 x＜0 (即 y＝0 ) (即 y＜0 ) (即 y＞0 ) (即 y＞5 ) 针对训练 例2 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑 9 m，然后自已才开始跑，已知弟弟每秒跑 3 m，哥哥每秒跑 4 m. 列出函数关系式，作出函数图象，观察图象回答问题： (1) 何时弟弟跑在哥哥前面？ (2) 何时哥哥跑在弟弟前面？ (3) 谁先跑过 20 m？谁先跑过 100 m？ 你是怎样求解的？ 与同伴交流. 典例精析 哥哥： y1 ＝ 4x 弟弟： y2 ＝ 3x + 9 (1)___________ s 时， 弟弟跑在哥哥前面. (2)________ s 时， 哥哥跑在弟弟前面. (3)______先跑过 20 m. ______先跑过 100 m. 思路一：图象法 0＜x＜9 x＞9 (9,36) y1＝4x y2＝3x+9 O 6 8 10 2 x(s) 4 12 24 12 30 18 36 6 y(m) 42 48 弟弟 哥哥 思路二：代数法 (1) 何时弟弟跑在哥哥前面？ (2) 何时哥哥跑在弟弟前面？ (3) 谁先跑过 20 m？谁先跑过 100 m？ 解：(1) 4x＜3x＋9， 解得 x＜9. (2) 4x＞3x＋9， 解得 x＞9. (3) 4x＝20， 3x＋9＝20， 解得 x＝5； 4x＝100， 3x＋9＝100， 解得 x＝25； ∴弟弟先跑过 20 m. ∴哥哥先跑过 100 m. 则 0＜x＜9. 针对训练 2. 直线 l1：y1＝kx+b 与直线 l2：y2 ＝x+a 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 kx＋b＞x＋a 的不等式的解集为 ( ) A. x＞3 B. x ＜ 3 C. x＝3 D. 无法确定 x y B y2 ＝ x+a y1 ＝ kx+b 3. 直线 l1：y = x + 1 与直线 l2：y = mx + n 相交于点 P(a，2) ，则关于 x 的不等式 x + 1≥mx + n 的解集为________. O x y a l1 2 l2 P x≥1 一元一次不等式 一次函数 可以研究一次函数图象走向 通过图象可直接解出不等式 课堂小结 1. (思明期末)若函数 y = ax 和函数 y = bx + c 的图象如图所示，则关于 x 的不等式 ax - bx＞c 的解集是( ) A. x＜2 B. x＜1 C. x＞2 D. x＞1 2 1 3 2 1 3 y = ax y = bx + c D 课堂练习 2. 甲、乙两辆摩托车从相距 20 km 的 A、B 两地相向而 行，图中 l1、l2 分别表示两辆摩托车离开 A 地的距离 s (km) 与行驶时间 t (h) 之间函数关系. (1) 哪辆摩托车的速度较快？ (2) 经过多长时间，甲车行驶到 A、B 两地中点？ O 解：(1)由图象可知 故摩托车乙速度快. 即经过 0.3 h 时，甲车行驶到 A、B 两地的中点. (2)当 s ＝10 km 时， O $$习了1元1次方程，一次函数与1元1次不等式，它们之间有什么关系呢？本节课我们就一起来进行一些探讨。我们首先从具体的例子入手，比如函数Y等于-2X减3，方程-2X减三等于0，不等式-2X减三大于0，它们都含有-2X减3，它们之间有什么联系呢？我们知道函数Y等于-2X减3刻画了变量X与Y之间的一种对应关系。它的图像是过点-2 1和0-3的一条直线。请大家想想看方程-2X减3等于零是什么意思？它与函数Y等于-2X减3有什么联系？请按暂停键自己先思考。这个方程描述的是这样一个问题，当X取什么值时，-2X减三等于0。从函数的角度看这个方程问题，也就是当X取什么值时，函数Y等于-2X减3的函数值，Y等于0。从图像上看这个问题，求的就是直线Y等于-2X减3与X轴交点的横坐标。小影观察到了方程-2X减3等于零与函数Y等于-2X减3的联系，说得很好，从表达式来看，方程-2X减3等于零等价于Y等于-2X减3，且Y等于0。因此用函数的观点来看，方程-2X减3等于0刻画的是函数Y等于-2X减3，当Y等于零时的状况，对应到图形上，解方程-2X减3等于0就相当于确定直线Y等于-2X减3与直线Y等于0，即X轴交点的横坐标。接着再请大家想一想，不等式-2X减三大于零与函数Y等于-2X减3有什么联系？请按暂停键自己再思考思考。这个不等式描述的是函数Y等于-2X减3，当Y大于零时的情况。从图像上看，解这个不等式就是确定直线Y等于-2X减三位于直线Y等于零上方部分的点的横坐标的取值范围。小明类比方程与函数的关系，说明了不等式与函数的联系，讲的非常好。那么如果不等式是-2X减3小于零呢？对，解不等式-2X减3小于0，就是确定直线Y等于-2X减三位于直线Y等于零下方部分的点的横坐标的取值范围。进一步，如果把刚才的方程和不等式的右边改为一又该如何解释三者之间的关系呢？这个方程要求的是函数Y等于-2X减3，当Y等于一时X的取值。从图像上看，解这个方程就相当于确定直线Y等于-2X减3与直线Y等于一交点的横坐标。是的1元1次方程，-2X减三等于一刻画的是一次函数Y等于-2X减3，当Y等于一时的状况。从形的角度看，方程-2X减三等于一对应着直线Y等于-2X减3图像上的一个点。负二一这个。不等式要求的是函数Y等于-2X减3，当Y大于一时X的取值情况。从图像上看，解这个不等式就是确定直线Y等于-2X减三位于直线Y等于一上方的点的横坐标的取值范围。没错，1元1次不等式-2X减三大于一刻画的是一次函数Y等于-2X减3。当Y大于一时的情况，从形的角度看，不等式-2X减三大于一对应着直线Y等于-2X减3上焦点-2 1上面的部分。那么如果不等式是-2X减3小于一呢？对，从形的角度看，不等式-2X减3小于一，对应着直线Y等于-2X减3上交点-2 1。下面的部分再进一步，如果把刚才的方程和不等式的右边改为X加3，请按暂停键自己先想一想试一试。类比前面的讨论，左边可以看成是函数，右边当然也可以看成是函数了。做出函数Y等于X加三的图像，观察图像可知解这个方程就相当于确定直线Y等于-2X减3与直线Y等于X加3交点的横坐标。对方程-2X减3等于X加三等价于Y等于-2X减3，且Y等于X加3。所以从形的角度看，这个方程对应着这两条直线的交点。从图像上看，不等式-2X减三大于X加3的解集就是直线Y等于-2X减3。在直线Y等于X加3上方部分的点的横坐标的取值范围。是的，从形的角度看，不等式-2X减三大于X加3，对应着直线Y等于-2X减3上交点-2 1上面的部分，如果不等式是-2X减3小于X加3呢？没错，从形的角度看，不等式-2X减3小于X加3，对应着直线Y等于-2X减3上交点-2 1。下面的部分理解了方程、不等式与函数的关系以后，就可以借助函数来思考方程或不等式的有关问题了。也许你会想，既然我们都会解1元1次方程和1元1次不等式了，干嘛才从函数图像的角度来讨论呢？实际上通过图像我们不但可以直观的看出方程不等式的解，而且从形的角度认识方程不等式，有助于发展我们的数形结合思想和几何直观能力，进而提高我们分析数学问题，解决数学问题的能力。随着学习的深入分析，问题和解决问题的方法和手段会更加多样化，而知识之间的联系也更为复杂。因此同学们要善于挖掘知识之间的联系。