精品解析：2024年湖南省株洲市第五中学九年级中考一模数学试题

2024年湖南株洲市五中中考一模数学试题 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回． 4．本试卷共三道答题，26道小题，满分120分，时量共120分钟． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列问题情境，能用加法算式表示的是（ ） A. 水位先下降，再下降后的水位变化情况 B. 某日最低气温为，温差为，该日的最高气温 C. 一个物体作左右方向的运动，我们规定向左为负，那么物体向左运动，再向右运动，两次运动的最后结果用算式表示 D. 数轴上表示与10的两个点之间的距离 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，以及有理数加法的实际应用．根据问题情境，正确的列出算式即可. 【详解】解：A、水位先下降，再下降后的水位变化情况，可以表示为：，不符合题意； B、某日最低气温为，温差为，该日的最高气温，可以表示为：，符合题意； C、一个物体作左右方向的运动，我们规定向左为负，那么物体向左运动，再向右运动，两次运动的最后结果用算式表示，可以表示为：，不符合题意； D、数轴上表示与10的两个点之间的距离，可以表示为：，不符合题意. 故选B． 2. “湘”约春天，2024杭州湘湖半程马拉松3月31日鸣枪开跑，本次赛事规模为一万人，预报名人数达到了19665人，比去年增长近多．数据19665用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：19665用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据三视图的画法，俯视图是从上面看到的图形，据此进行判断即可． 【详解】解：由图可知，几何体的俯视图是： 故选C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方，合并同类项，同底数幂除法，完全平方公式逐一进行计算，即可得到答案． 【详解】解：A、，故此选项算正确，符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意； C、，故此选项计算错误，不符合题意； D、，故此选项计算错误，不符合题意， 故答案：A． 【点睛】本题考查了积的乘方，合并同类项，同底数幂除法，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 5. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件进行求解即可，明白“二次根式有意义的条件，根号内的式子要大于等于0”是解题的关键． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：A． 6. 按一定规律排列的单项式：，，，，，则第个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查代数式的规律，根据数列一负一正，第n个就是是得到规律即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 数据的规律是：， 故选：B． 7. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，但是找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，但是找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，但是找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在中，，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 9. 校运动会女子跳远项目预赛有名同学参加，她们预赛的成绩各不相同，取成绩前名的同学参加决赛．某同学跳出了米的成绩，她能否进入决赛需要知道这名同学成绩的（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 加权平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了统计量的选择，根据中位数的定义即可得到答案，正确理解中位数、众数、加权平均数、方差的定义是解题的关键． 【详解】解：预赛有名同学参加，将他们的成绩由高到低排列，成绩的中位数是第个，在中位数之前的同学可以参加， 故她能否进入决赛需要知道这名同学成绩的中位数， 故选：． 10. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，先根据三角形内角和为180度求出，再根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边长的一半进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题（本答题共8个小题，每小题3分，共24分，请将正确答案写在答题卡相应的横线上） 11. 已知是关于x的方程的解，则a的值为____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的解的定义，正确解方程是解题的关键． 根据方程的解的定义，把代入方程，即可得到关于a的方程，即可求解． 【详解】解：将 代入方程： 得 解得 ， 故答案为： ． 12. 如图，点A，B，C在⊙上，，则的度数是_____． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理知识点，解题的关键是理解同弧所对的圆心角与圆周角的关系．根据圆周角定理，找出 与 的关系，进而求出 的度数． 【详解】解： ， 是圆周角， 是同弧 所对的圆心角， ， ， 故答案为：． 13. 估计的值在______． 【答案】3和4之间 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，无理数的估算，熟练掌握以上知识点是关键．先根据二次根式的混合计算法则得出，再估算的范围即可得到答案． 详解】解： ∵， ∴， ∴， 故答案为：3和4之间 14. 如图所示，中，边上的高线是线段___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角形中高线的概念即可作答． 【详解】由题意可得：中，边上的高是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形高线的概念，三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段． 15. 将一个棱长为的正方体任意截成两个长方体，这两个长方体表面积的和是_______． 【答案】 【解析】 【分析】将一个棱长为的正方体任意截成两个长方体，对比原棱长为的正方体的面积，找到多出来的部分，通过计算即可得到答案． 【详解】将一个棱长为的正方体任意截成两个长方体， 则：任意截成两个长方体表面积之和=原正方体表面积之和+原正方体的两个面的面积； ∵原棱长为的正方体总共有6个面 又∵一个棱长为的正方体，每个面的面积为： ∴任意截成两个长方体表面积之和= 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方体和长方体表面积的知识；解题的关键是熟练掌握长方体和正方体中平面和平面的位置关系性质、正方形面积计算的方法，从而完成求解． 16. ________；分解因式：________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，以及分解因式，据此相关性质内容进行作答即可． 【详解】解： 故答案为： 17. 已知多边形每个内角都等于，则这个多边形是___边形． 【答案】十 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．先求出每一个外角的度数，再根据边数外角的度数计算即可． 【详解】解：， ， 这个多边形的边数是10． 故答案为：十． 18. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据自变量求函数值的方法是解题的关键． 根据题意，设反比例函数解析式为，再根据图示，把代入解析式，求出的值，最后把和代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，设反比例函数解析式为，由图示可知点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴当时，；当时，； ∴镜片焦距由米调整到米，近视眼镜的度数减少了度， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每题10分，共66分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤） 19. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查含特殊角的三角函数的混合运算，根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则，以及二次根式的性质和绝对值性质、特殊角的三角函数值分别求解即可．熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． 【详解】解： ． 20. 如图，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证得，再利用证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中 ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 21. 某商店以固定进价一次性购进一种商品，元月份按一定售价销售，销售额为元；为扩大销量，减少库存，月份在元月份售价的基础上打折销售，结果销售量增加件，销售额增加元．求元月份这种商品的售价是多少元？ 【答案】元月份这种商品的售价是元． 【解析】 【分析】设元月的售价为x元,2月的售价则为0.9x元,根据题意列出方程解出即可. 【详解】解：设元月份这种商品的售价是元，则月份的售价是元． 根据题意得： 方程两边乘得： 解得： 检验：当时，， ∴原分式方程的解是 答：元月份这种商品的售价是元． 【点睛】本题考查分式方程的应用,关键在于理解题意找出等量关系. 22. 年世界杯在卡塔尔举办． 赛前通过抽签，将支参赛队伍分为组（组、组、组、组、组、组、组和组），每支队伍一组． 每组的支队伍通过组内循环赛决出第一名和第二名晋级十六强． （1）在抽签时，求甲队进入E组的概率（甲队进入各组的可能性相同）． （2）已知甲、乙、丙、丁四支队伍同在组，且四支队伍晋级十六强的可能性相同，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两支队伍同时晋级十六强的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）共有组，每支队伍一组，由此即可求解； （2）通过列树状图将赛程结果表示出来，再根据概率计算公式计算． 【小问1详解】 解：为组（组、组、组、组、组、组、组和组），每支队伍一组， ∴甲队进入E组的概率，即． 【小问2详解】 解：赛程如下， 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ∴． 【点睛】本题主要考查概率的计算，理解并掌握树状图或列表求事件的概率是解题的关键． 23. 为调动实习员工工作的积极性，某公司出台了两种工资方案，实习员工任选其中一种方案与公司签订合同．方案一：月工资y（单位：元）与生产的产品数量x（单位：件）的函数关系如图所示；方案二：每生产一件产品可得25元． （1）选择了工资方案一的实习员工甲，第一个月生产了60件产品，他该月得到的工资是多少元？ （2）某月实习员工乙发现，他选择方案一比选择方案二月工资多450元，求乙员工该月生产产品的数量． 【答案】（1）1800元 （2）70个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确求出解析式是解题关键． （1）由待定系数法求出方案一中，当时，月工资y(元)与生产产品(件)的关系式为，根据代入即可解决问题； （2）根据选择方案一比选择方案二月工资多450元，列出一元一次方程，解方程即可 【小问1详解】 设当时，月工资y（元）与生产的产品数量x（件）的关系式为， 由图象知点，， 代入得：， 解得：， 月工资y（元）与生产的产品数量x（件）的关系式为， 当时 ， 答：他该月得到的工资是1800元． 【小问2详解】 解：由题意可知，当时，不满足题意； 当时，， 解得：， 所以该实习员工生产产品的件数为70件． 24. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，直角三角形的性质和勾股定理： （1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，， 四边形是菱形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等；熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 如图，内接于，过点作射线，使得，与的延长线交于点P，D是的中点，与交于点E． （1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，求证：． 【答案】（1）直线与相切，见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定、圆周角、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）连接并延长，交于点F，连接，结合“直径所对的圆周角为直角”以及“同弧或等弧所对的圆周角相等”可证明，进而可得，即，即可证明结论； （2）首先证明，由相似三角形的性质以及，可得；延长至点H，使，连接，证明，由全等三角形的性质可得，易知，进而可得，结合相似三角形的性质，即可证明结论． 【小问1详解】 解：直线与相切． 证明：连接并延长，交于点F，连接，如图， 则为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∵为的直径， ∴直线与相切； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 延长至点H，使，连接，如图， ∵D是的中点 ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点（1，3）就是一个定点．对于一次函数（是常数，），由于，当即时，无论为何值，一定等于3，我们就说直线一定经过定点． 设抛物线（是常数，）经过的定点为点，顶点为点． （1）求抛物线经过的定点的坐标； （2）是否存在实数，使顶点在轴上?若存在，求出值；若不存在，请说明理由； （3）当时，在的图象上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短，求的取值范围． 【答案】（1） （2）不存，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，含参数的二次函数问题的求解等知识点，结合二次函数的图象探究函数图象经过的定点以及定点对函数自变量取值范围是解题的关键． （）将抛物线的解析式进行整理得，可得“定点”的坐标为； （）根据判断即可； （）先求出，再根据的图象上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短，得点、、三点共线，从而根据当过点和过点，即可求解的取值范围为． 【小问1详解】 解：， 当，即时，， ∴无论为何值一定等于， ∴抛物线一定过定点． ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：不存在，理由如下： ∵抛物线的顶点在轴上， ∴， ∴不存在实数，使顶点在轴上； 【小问3详解】 解：∵当时，， ∴， ∵，在的图象上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短， ∴点、、三点共线， ∵在直线上， ∴当过点时得， ， 解得， 当过点时得， ， 解得， ∴的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年湖南株洲市五中中考一模数学试题 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回． 4．本试卷共三道答题，26道小题，满分120分，时量共120分钟． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列问题情境，能用加法算式表示的是（ ） A. 水位先下降，再下降后的水位变化情况 B. 某日最低气温为，温差为，该日的最高气温 C. 一个物体作左右方向运动，我们规定向左为负，那么物体向左运动，再向右运动，两次运动的最后结果用算式表示 D. 数轴上表示与10的两个点之间的距离 2. “湘”约春天，2024杭州湘湖半程马拉松3月31日鸣枪开跑，本次赛事规模为一万人，预报名人数达到了19665人，比去年增长近多．数据19665用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 按一定规律排列的单项式：，，，，，则第个单项式是（ ） A. B. C. D. 7. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 校运动会女子跳远项目预赛有名同学参加，她们预赛的成绩各不相同，取成绩前名的同学参加决赛．某同学跳出了米的成绩，她能否进入决赛需要知道这名同学成绩的（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 加权平均数 D. 方差 10. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 二、填空题（本答题共8个小题，每小题3分，共24分，请将正确答案写在答题卡相应的横线上） 11. 已知是关于x的方程的解，则a的值为____． 12. 如图，点A，B，C在⊙上，，则的度数是_____． 13. 估计的值在______． 14. 如图所示，中，边上的高线是线段___________． 15. 将一个棱长为的正方体任意截成两个长方体，这两个长方体表面积的和是_______． 16. ________；分解因式：________． 17. 已知多边形每个内角都等于，则这个多边形___边形． 18. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每题10分，共66分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤） 19. 计算： 20 如图，已知，，，求证：． 21. 某商店以固定进价一次性购进一种商品，元月份按一定售价销售，销售额为元；为扩大销量，减少库存，月份在元月份售价的基础上打折销售，结果销售量增加件，销售额增加元．求元月份这种商品的售价是多少元？ 22. 年世界杯在卡塔尔举办． 赛前通过抽签，将支参赛队伍分为组（组、组、组、组、组、组、组和组），每支队伍一组． 每组的支队伍通过组内循环赛决出第一名和第二名晋级十六强． （1）在抽签时，求甲队进入E组的概率（甲队进入各组的可能性相同）． （2）已知甲、乙、丙、丁四支队伍同在组，且四支队伍晋级十六强的可能性相同，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两支队伍同时晋级十六强的概率． 23. 为调动实习员工工作的积极性，某公司出台了两种工资方案，实习员工任选其中一种方案与公司签订合同．方案一：月工资y（单位：元）与生产的产品数量x（单位：件）的函数关系如图所示；方案二：每生产一件产品可得25元． （1）选择了工资方案一的实习员工甲，第一个月生产了60件产品，他该月得到的工资是多少元？ （2）某月实习员工乙发现，他选择方案一比选择方案二月工资多450元，求乙员工该月生产产品的数量． 24. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 25. 如图，内接于，过点作射线，使得，与的延长线交于点P，D是的中点，与交于点E． （1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，求证：． 26. 如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点（1，3）就是一个定点．对于一次函数（是常数，），由于，当即时，无论为何值，一定等于3，我们就说直线一定经过定点． 设抛物线（是常数，）经过定点为点，顶点为点． （1）求抛物线经过的定点的坐标； （2）是否存在实数，使顶点在轴上?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）当时，在的图象上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $