精品解析：江苏省宿迁市沭阳县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024~2025学年度第一学期期末学情检测 九年级数学 （考试时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将答案填涂在答题纸上） 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A B. C. D. 2. 已知的半径是方程的根，且点A到圆心的距离为6，则点A在（ ） A. 上 B. 内 C. 外 D. 无法确定 3. 下列关于抛物线 结论，正确的是（ ） A. 开口方向向上 B. 对称轴为直线 C. 当时， 函数有最小值为 D. 当时， y随x的增大而减小 4. 如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若的周长是3，则的周长是（　） A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 5. 如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 8. 已知抛物线与轴两个交点间的距离为4，将此抛物线向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到一条新抛物线，则新抛物线与轴两个交点间的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共10小题．每小题3分，共30分．请将答案填在答题纸上） 9. 如果，那么________． 10. 某种药品原售价为16元，经过连续两次降价后售价为9元，则平均每次降价的百分率为_____． 11. 用一个圆心角为，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______． 12. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 13. 在中考体育测试中，小刚投出实心球在空中的运动轨迹如图所示．实心球行进的高度与水平距离之间满足关系式，则实心球投出的水平距离为______． 14. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个信号塔高度的示意图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与交于点，测得，，，则信号塔的高度为________． 15. 抛物线的部分图像如图所示，则一元二次方程的根为______． 16. 在中，，，则的重心和外心的距离为______． 17. 如图，四边形为圆内接四边形，对角线，交于点，若平分，，，则_____． 18. 如图，在中，，过点B作，交的平分线于点D，与相交于点E．若，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请将答案写在答题纸相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．作图或画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 19. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 20. 如图，已知抛物线经过点． （1）求m值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出y取值范围． 21. 某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如图统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）所调查的初中学生每天睡眠时间的众数是______小时，中位数是______小时； （2）求接受调查的学生的每天平均睡眠时间； （3）该校共有1600名初中学生，根据样本数据，估计该校初中学生每天睡眠时间不足8小时的人数． 22. 班级团队建设联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个灯笼A、B、C、D．晚会结束后，每次随机摘下一个灯笼，且摘A之前需先摘下B，摘C之前需先摘下D，直到4个灯笼都被摘下． （1）第一个摘下D灯笼的概率是 ； （2）求第二个摘下A灯笼的概率． 23. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个实数根，，且，求k的值． 24. 如图，在中，，请用尺规作图法在上求作一点，使得，并写出的证明过程． 25. 如图，为的直径，A为上一点，P为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 26. 2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”．销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ （3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 27. （1）问题背景：如图1，在中，，过点A作于点．求证：． （2）问题探究：如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，，当时．求证：． （3）问题拓展：如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，线段的长为______．（直接写出答案） 28. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是第二象限内抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式： （2）如图1，设对称轴交线段于点，点在对称轴上，且在点的下方，是否存在以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． （3）如图2，连接、，直线交线段于点，交轴于点，令，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期期末学情检测 九年级数学 （考试时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将答案填涂在答题纸上） 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数都是整式成为解题的关键． 直接根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是二次函数，不合题意； B、是二次函数，符合题意； C、，当时，二次函数，不合题意； D、是一次函数，符合题意． 故选：B． 2. 已知的半径是方程的根，且点A到圆心的距离为6，则点A在（ ） A. 上 B. 内 C. 外 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、点与圆的位置关系等知识点，掌握判定点与圆的位置关系的判定方法是解题的关键． 先根据题意求得方程的根，从而得到圆的半径，再根据半径r与d的值的大小关系即可解答． 【详解】解：解方程得：（舍去） ∴圆O的半径是8， ∵点A到圆心O的距离为6，， ∴点A在圆O内． 故选：B． 3. 下列关于抛物线 的结论，正确的是（ ） A. 开口方向向上 B. 对称轴为直线 C. 当时， 函数有最小值为 D. 当时， y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的图象和性质，直接根据抛物线的图象和性质判断即可． 【详解】解：抛物线中， A.∵，∴开口方向向下，故选项A错误； B. 对称轴为直线，故选项B错误； C. 当时，函数有最大值为，故选项C错误； D. 当时， y随x的增大而减小，选项D正确， 故选：D． 4. 如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若的周长是3，则的周长是（　） A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，，再根据相似三角形的性质可得与的周长比为，即可求解． 【详解】解：与位似， ， 与的相似比为， 与的周长比为， 的周长是3， 的周长为：， 故选：C． 5. 如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，再由可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选C． 6. 如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角等于． 由是的直径，得，而，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 故选：D． 7. 已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，熟悉掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵二次函数的图象经过点和，且， ∴或， 故选：C． 8. 已知抛物线与轴两个交点间的距离为4，将此抛物线向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到一条新抛物线，则新抛物线与轴两个交点间的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换等知识点，把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程成为解题的关键． 设抛物线与x轴两个交点的坐标为，则抛物线向右平移5个单位长度后所得抛物线与x轴两个交点的坐标为，利用交点式写出此时抛物线的解析式为，接着把抛物线解析式为向上平移3个单位长度所得新抛物线解析式为，然后解方程得到新抛物线与x轴的交点坐标，从而得到新抛物线与x轴两个交点间的距离． 【详解】解：设抛物线与x轴两个交点的坐标为， 把抛物线向右平移5个单位长度后所得抛物线与x轴两个交点的坐标为， 此时抛物线解析式为， 把抛物线解析式为向上平移3个单位长度所得新抛物线解析式为， 整理得， 当时，， ，解得：， ∴新抛物线与x轴的交点坐标为， ∴新抛物线与x轴两个交点间的距离． 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题．每小题3分，共30分．请将答案填在答题纸上） 9. 如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，将其代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：． 10. 某种药品原售价为16元，经过连续两次降价后售价为9元，则平均每次降价的百分率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的增长率问题，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出关于x的一元二次方程求解，最后把不符合的答案舍去即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得：，（舍去） 故， 则平均每次降价． 故答案为：． 11. 用一个圆心角为，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据题意，扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解． 【详解】解：依题意，， 解得： 故答案为：4． 12. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，熟记黄金比是解题的关键． 先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：或． 13. 在中考体育测试中，小刚投出的实心球在空中的运动轨迹如图所示．实心球行进的高度与水平距离之间满足关系式，则实心球投出的水平距离为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入，即可求出x的值即可得到结果． 【详解】解：令，则， 解得或（舍去）， ∴实心球从起点到落地点的水平距离为， 故答案为：8． 14. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个信号塔高度的示意图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与交于点，测得，，，则信号塔的高度为________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．由题意可知，，，证明，得到，即可求出信号塔的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 抛物线的部分图像如图所示，则一元二次方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解成为解题的关键． 先根据二次函数图象的性质确定抛物线与与x轴的交点横坐标，然后根据二次函数与一元二次方程的关系即可解答． 【详解】解：由图象得：抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴一元二次方程的根为：，． 故答案为：，． 16. 在中，，，则的重心和外心的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内心和外心，掌握三角形的内心距离对边的距离为相应中线的三分之一成为解题的关键． 先根据题意画出示意图，再结合直角三角形外心的位置及内心的性质即可解答． 【详解】解：如图：点O是的外心，点是的重心， ∵点O是的外心， ∴是的中线，即， ∵点是的重心， ∴． ∴的重心和外心的距离为． 故答案为：． 17. 如图，四边形为圆内接四边形，对角线，交于点，若平分，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，圆周角定理，熟悉掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 利用圆周角定理证出，即可得到，运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中，，过点B作，交的平分线于点D，与相交于点E．若，，则的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识．作于点F，交的延长线于点H，证明，得到，进一步得到，则，得到，由勾股定理得到，得到，则，再证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：作于点F，交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请将答案写在答题纸相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．作图或画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 19. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法：因式分解发，提公因式法，进行解答，即可． （1）根据因式分解，可得：，得到或，解出未知数，即可； （2）根据方程，提取公因式，得到，推出或，解出未知数，即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解，得， ∴或， 解得：，． 【小问2详解】 解：， 因式分解，得， ∴或， 解得：，． 20. 如图，已知抛物线经过点． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围是解题的关键． （1）把代入，可求，则，进而可求顶点坐标； （2）由，可知抛物线开口向下，有最大值4，当时，，当时，，进而可求y的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是． 21. 某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如图统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）所调查的初中学生每天睡眠时间的众数是______小时，中位数是______小时； （2）求接受调查的学生的每天平均睡眠时间； （3）该校共有1600名初中学生，根据样本数据，估计该校初中学生每天睡眠时间不足8小时的人数． 【答案】（1）； （2）7小时 （3）1080人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图综合、用样本估计总体、众数、平均数等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）首先求出总人数，然后求出每天的睡眠时间为7小时的人数，然后根据众数和中位数的概念求解即可； （2）根据平均数的求解方法求解即可； （3）根据样本估计总体方法求解即可． 【小问1详解】 由条形统计图可得，总人数为（人）， ∴每天的睡眠时间为7小时的人数为，人数最多 ∴所调查的初中学生每天睡眠时间的众数是7小时， ∵调查的样本共有40个人 ∴中位数为第20人和第21人睡眠时间的平均数 ∴由条形统计图可得，第20人和第21人落在睡眠时间为7小时这组中 ∴中位数是7小时； 【小问2详解】 答：接受调查的学生的每天平均睡眠时间为7小时． 【小问3详解】 由题意、得（人）， 故该校初中学生每天睡眠时间不足的约有1080人． 22. 班级团队建设联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个灯笼A、B、C、D．晚会结束后，每次随机摘下一个灯笼，且摘A之前需先摘下B，摘C之前需先摘下D，直到4个灯笼都被摘下． （1）第一个摘下D灯笼的概率是 ； （2）求第二个摘下A灯笼的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键，用到的知识点为：概率． （1）直接利用概率公式求解即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数和第二个摘下灯笼的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解： 第一次摘只能先从和中选择任意一个， 第一个摘下灯笼的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意，画树状图为： 共有4种等可能的结果，其中第二个摘下灯笼的结果只有1种， 第二个摘下灯笼的概率为． 23. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个实数根，，且，求k的值． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程； （1）求出即可证明； （2）根据根与系数的关系得出，，结合已知等式得出关于k的一元二次方程，解方程可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵方程有两个实数根，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得：，． 24. 如图，在中，，请用尺规作图法在上求作一点，使得，并写出的证明过程． 【答案】作图见解析，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 证明：由线段垂直平分线的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 25. 如图，为的直径，A为上一点，P为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）9 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆周角定理可求，进而求出，利用等边对等角可得，结合条件得出，最后利用切线的判定即可得证； （2）证得，根据相似三角形的性质求得，在中，根据勾股定理即可求出的半径． 【小问1详解】 证明：连接， ， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又 ∴，即， ∴， 又是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ， ∴， 解得， ∴的半径为9． 【点睛】本题考查了切线判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 26. 2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”．销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ （3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元 （3）销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用． （1）设该商品每天销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案； （3）根据每件的利润乘以销售量等于利润得出关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【小问1详解】 解：设该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式为， 将点、代入一次函数关系式得： ， 解得：， 函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． 单价不低于成本价，且不高于50元销售， 不符合题意，舍去． 答：销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元； 【小问3详解】 解：由题意得： ， ，故当时，随的增大而增大，而， 当时，有最大值，此时，， 答：销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元． 27. （1）问题背景：如图1，在中，，过点A作于点．求证：． （2）问题探究：如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，，当时．求证：． （3）问题拓展：如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，线段的长为______．（直接写出答案） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，易证，再根据相似三角形的判定和性质定理得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到，由 (1) 得到，进而证明，然后根据相似三角形的性质即可证明结论； （3）根据相似三角形的性质得到，如图，以点C为圆心，3为半径作，则C，D都在上，延长到，使，交于D，，；求得，可证可得，点E在过点且与垂直的直线上运动，过点B作，垂足为，即为最短的，连接，即为最短的，连接，根据矩形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴ ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， ∴， ∴， ∴， 如图，以点C为圆心，3为半径作，则C，D都在上，延长到，使，交于D，，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴点E在过点且与垂直的直线上运动， 过点B作，垂足为，即为最短的，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，． ∴． 故答案为：． 28. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是第二象限内抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式： （2）如图1，设对称轴交线段于点，点在对称轴上，且在点的下方，是否存在以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． （3）如图2，连接、，直线交线段于点，交轴于点，令，求的最大值． 【答案】（1） （2）存在，P的坐标为 （3）的最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的解析式的求法、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点和点代入求得a、b的值即可解答； （2）以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形，，故当和为直角时，点Q和点A重合，不符合题意；当为直角时，则，即即可求解； （3）先求得直线的表达式为易得，再根据计算，然后根据二次函数的性质求最值即可。 【小问1详解】 解：将点和点代入可得： ，解得：， 故抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：存在，理由如下： ∵抛物线的表达式为， ∴当时，，即 ∴，即为等腰直角三角形， ∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似， ∴为等腰直角三角形， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线AC的表达式为∶， ∵， ∴该抛物线的对称轴为：， 当时，y= 2，即点， ∵， 故当和为直角时，点Q和点A重合，不符合题意； 当为直角时，则，即，解得：， ∴点． 【小问3详解】 解：如图：连接，设点， 设直线的表达式为， 则有，解得：， ∴直线的表达式为， ∴点，即， ∴， ． ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$