数列求和5个常考题型 讲义——2025届高三数学二轮复习

2024-2025学年高二下学期数学常考题型归纳 【数列求和】【高考模拟题精选】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：错位相减求和】 知识讲解 错位相减法是一种用于求数列前项和的方法，主要适用于等差数列与等比数列相乘所构成的新数列。以下是错位相减法的解题思路： 1. 写出数列的前项和表达式 设数列是等差数列，公差为，数列是等比数列，公比为，则其乘积数列的前项和。 2. 乘以公比 给的两边同时乘以等比数列的公比，得到。 由等比数列通项公式可知，。 3. 两式相减 用减去，即。 展开并整理可得：。 因为是等差数列，所以（），则上式可进一步化为。 4. 化简求解 对进行化简，。 其中是等比数列除去首项后的前项和，根据等比数列求和公式（），可得。 所以，进而可求出（）。 当时，数列为常数列，，此时可按等差数列求和公式来计算。 例题精选 1．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 3．（2024·福建·三模）已知等差数列的前项和为，若，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若，求数列的前项和. 4．（2024·福建龙岩·一模）设等差数列的公差为，令，记分别为数列的前项和. (1)若，求数列的通项公式； (2)若数列是公比为正数的等比数列，，，求数列的前项和. 相似练习 5．（2023·福建泉州·模拟预测）数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，记数列的前项和为，求. 6．（2023·福建泉州·模拟预测）已知数列满足，． (1)求，，并求； (2)令，数列的前项和为，证明：． 7．（2023·福建莆田·二模）已知正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，证明：． 8．（2023·福建福州·二模）欧拉函数(n)(n∈)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如：(1)=1，(4)=2． (1)求，； (2)令，求数列的前n项和． 9．（2022·福建福州·三模）设数列的前n项和为，，，. (1)证明：为等差数列； (2)设，在和之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列，求的前n项和. 【题型二：裂项相消求和】 【类型一：分式型裂项】 知识讲解 分式型裂项相消有多种不同类型，以下是一些常见的类型及其特点和裂项方法： 1. 分母为两项乘积且两项差值为常数 类型特点：分式的分母是两个连续自然数或具有一定规律的两个数的乘积，分子为常数，且两个数的差值固定。 裂项方法：对于（为常数），可裂项为。例如，。 2. 分母为两项乘积且两项为等差数列 类型特点：分母是两个数的乘积，这两个数构成等差数列，分子为常数。 裂项方法：设等差数列的公差为，对于（、、为常数），可裂项为。例如，这里，，，。 3. 分子为多项式且分母为两项乘积 类型特点：分子是关于的多项式，分母是两个数或式子的乘积。 裂项方法：先将分子进行变形，使其能表示为分母中两项的差或和的形式，再进行裂项。例如。 4. 分母为多项乘积 类型特点：分母是三个或三个以上的数或式子的乘积，分子为常数。 裂项方法：通过适当的变形，将其转化为可裂项的形式。例如。 5. 分子分母均为多项式且可因式分解 类型特点：分子分母都是关于的多项式，且可以进行因式分解。 裂项方法：先对分子分母进行因式分解，然后根据分母的因式情况进行裂项。例如，可进一步看作，即，前面两项可通过裂项相消求和。 例题精选 1．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 2．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列满足，当时，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)证明：． 3．（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 4．（2024·福建漳州·模拟预测）已知数列的前项和为，满足，且为，的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：. 相似练习 5．（2023·福建三明·三模）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，的前项和为，证明：. 6．（2023·福建泉州·模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足 (1)证明：数列为等差数列; (2)若求数列的前项和. 7．（2023·福建厦门·模拟预测）已知数列满足． (1)证明为等差数列，并的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【对数裂项相消】8．（2023·福建漳州·模拟预测）已知数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求集合中元素的个数. 【类型二：指数型裂项】 知识讲解 指数型裂项相消常见形式： 1. 形如的形式 特点：数列的通项公式可以表示为一个指数式乘以一个常数，且这个常数是指数底数减的形式。 裂项方法：。例如，对于数列，其通项可变形为，即，这样在求和时就可以通过前后项相消来简化计算。 2. 形如的形式 特点：分母是两个指数式分别加上一个常数后的乘积形式，分子是其中一个指数式。 裂项方法：（）。例如，对于，可裂项为，然后在求和过程中实现裂项相消。 3. 形如的形式 特点：分子是一个一次式与指数式的乘积，分母是指数底数与差的平方。 裂项方法：。例如，对于数列，可根据此形式进行裂项，然后通过相消求出前项和。这种形式通常在解决一些较为复杂的指数型数列求和问题时会用到，需要对式子进行适当的变形和推导。 4. 形如的形式 特点：分子是两个不同底数的指数式相加，分母是这两个指数式的乘积。 裂项方法：。例如，，可将其转化为两个等比数列的和，再分别利用等比数列求和公式进行计算，在计算过程中也体现了裂项相消的思想，只不过这里是将其拆分成两个可求和的数列，而不是直接相邻项相消。 例题精选 1．（2024·福建泉州·二模）已知数列和的各项均为正，且，是公比3的等比数列．数列的前n项和满足． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 2．（2024·福建厦门·一模）已知数列的前项和为，，当，且时，． (1)证明：为等比数列； (2)设，记数列的前项和为，若，求正整数的最小值． 3．（2023·福建·模拟预测）已知等差数列，等比数列，满足，，． (1)求数列，的通项公式； (2)令，求满足的最小的正整数的值． 相似练习 4．（22-23高二上·上海黄浦·阶段练习）设，数列满足，数列的通项公式为. (1)已知，求的值； (2)若，以，求数列最大项及相应的值； (3)设为数列其前项和，令，数列的前项和为.证明：. 5．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知数列的首项为1，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知为等比数列的前项和，若成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，若对于任意的恒成立，求实数M的最小值． 【类型三：根式型裂项】 知识讲解 根式型裂项相消常见形式： 1. 分母为两项根式之和 类型特点：分式的分母是两个根式相加的形式，分子为常数。 裂项方法：对于（为常数），通常利用平方差公式进行分母有理化来裂项，即。例如。 2. 分母为两项根式之差 类型特点：分式的分母是两个根式相减的形式，分子为常数。 裂项方法：与分母为两项根式之和类似，利用平方差公式进行分母有理化。对于（为常数），可化为。例如。 3. 分母为三项根式组合 类型特点：分母是三个根式通过加、减运算组合而成，分子为常数。 裂项方法：以为例，先将分母进行变形，，然后分子分母同乘进行分母有理化，得到，再进一步对分子分母进行适当变形和化简，以便在求和时实现裂项相消。 4. 分子为根式与常数的组合，分母为两项根式之和或差 类型特点：分子是一个根式加上或减去一个常数，分母是两个根式相加或相减的形式。 裂项方法：以为例，可将其拆分为，即，这样就可以通过裂项相消来求和。对于分子为，分母为的形式，同样可以进行类似的拆分，即。 例题精选 1．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，证明：当，时， . 相似练习 1.已知数列的通项公式为，求数列的前项和。 2.设数列满足，求数列的前项和。 【题型三：分组求和】 知识讲解 数列分组求和的解题思路： 1. 观察数列特征：仔细观察给定数列的各项，分析其规律。看数列是否可以通过某种方式拆分成若干个具有不同规律的子数列。例如，数列的项可能呈现出奇数项和偶数项有不同的规律，或者相邻几项之间存在特定的运算关系等。 2. 进行合理分组：根据观察到的规律，将数列分成若干个组。分组的方式通常有以下几种： 按项的奇偶性分组：如果数列的奇数项和偶数项分别具有明显的规律，可将奇数项作为一组，偶数项作为另一组。例如，数列，奇数项是首项为，公差为的等差数列；偶数项是首项为，公差为的等差数列。 按项的特定规律分组：有些数列可能存在每几项为一组，组内有特定规律的情况。比如数列，可以将其按每两项一组进行分组，即，，，，每组内的两个数相同，且从第二组开始，每组的第一个数是前一组第一个数的倍。 按通项公式的不同部分分组：当数列的通项公式是由几个不同部分组成时，可根据通项公式的结构进行分组。例如，数列，其通项公式由和两部分组成，可将其拆分为一个等差数列和一个等比数列分别进行求和。 3. 分别求各分组的和：对于分好的各个组，根据其各自的规律，运用相应的求和公式或方法进行求和。 等差数列求和：若分组后得到的是等差数列，可使用等差数列求和公式（其中为项数，为首项，为末项）或（为公差）进行求和。 等比数列求和：如果是等比数列，使用等比数列求和公式（，其中为首项，为公比）来求和。 其他特殊数列求和：对于一些特殊的数列，可能需要通过其他特定的方法来求和，如裂项相消法、错位相减法等，或者根据其规律直接进行计算。 4. 汇总各分组的和：将各个分组的和相加，得到原数列的和。 例题精选 1．（2023·福建泉州·模拟预测）数列中，，且． (1)证明：数列为等比数列，并求出； (2)记数列的前n项和为．若，求． 2．（2023·浙江杭州·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前n项和． 3．（2023·福建漳州·二模）已知等差数列的前n项和为，若，且________．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和． 相似练习 4．（2023·福建泉州·模拟预测）已知数列各项均为正数，且． (1)求的通项公式 (2)设，求． 5．（2022·福建厦门·模拟预测）已知数列的前项和，，，． (1)计算的值，求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 6．（2022·福建厦门·模拟预测）已知数列的前项和为，满足，，． (1)证明：数列是等比数列； (2)记，设，求数列的前项和． 【题型四：奇偶数列求和】 知识讲解 奇偶项数列求和的解题思路： 1. 分析数列的特征 观察数列的奇数项和偶数项各自的规律。例如，判断奇数项是否构成一个等差数列、等比数列或其他有规律的数列，同样观察偶数项是否有类似规律。可能奇数项是一个首项为，公差为的等差数列，而偶数项是一个首项为，公比为的等比数列。 2. 分别求出奇数项和偶数项的和 奇数项求和： 若奇数项构成等差数列，设奇数项有项，根据等差数列求和公式，其中是奇数项的首项，是奇数项的末项。也可表示为，为奇数项的公差。 若奇数项构成等比数列，设公比为，根据等比数列求和公式（），当时，。 偶数项求和： 若偶数项构成等差数列，设偶数项有项，其求和公式为，为偶数项的公差。 若偶数项构成等比数列，设公比为，则（），当时，。 3. 确定项数和 若数列的项数为，当为偶数时，；当为奇数时，，。 4. 求出数列的前项和 当为偶数时，。 当为奇数时，（为数列的第项，此时为奇数项）。 例题精选 1．（2023·福建·模拟预测）已知数列满足：，，，. (1)证明：是等差数列： (2)记的前n项和为，，求n的最小值. 2．（2023·福建泉州·三模）已知为等差数列，且． (1)求的首项和公差； (2)数列满足，其中、，求． 3．（2023·福建厦门·二模）记等差数列的公差为，前项和为；等比数列的公比为，前项和为，已知，，． (1)求和； (2)若，，求的前项和． 相似练习 4．（2022·湖北·二模）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)，求数列的前项和； 5．（2022·福建三明·模拟预测）设数列的前项和为，，，． (1)求证：是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 6．（2022·山东淄博·一模）已知数列满足：，且．设． (1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； (2)求数列的前2n项和． 7．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知为公差不为零的等差数列，，记、分别为数列、的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 8．（2024高三上·山东济南·专题练习）已知数列的前n项和为，， (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 【题型五：数列求和与不等式放缩】 知识讲解 先放缩再数列求和的解题思路： 1. 观察数列通项公式：仔细分析给定数列的通项公式，判断其特点和规律。例如，通项公式是分式形式、指数形式，还是含有根式等，这有助于确定合适的放缩方法。 2. 选择放缩方法： 根据不等式性质放缩：若通项公式中含有分式，可通过对分母或分子进行适当的放大或缩小，使分式的值变大或变小。如（），。 利用常见不等式放缩：像均值不等式、二项式定理等。例如，由均值不等式。由二项式定理，当时，。 借助函数单调性放缩：构造函数，通过函数的单调性来放缩数列通项。例如，对于数列，可构造函数，利用其单调性可知当时，。 3. 进行放缩操作：将数列的每一项按照选定的放缩方法进行放缩，得到一个新的数列。这个新数列通常具有更易于求和的形式。 4. 对放缩后的数列求和：根据放缩后数列的特点，选择合适的方法求其前项和。 若为等差数列：使用等差数列求和公式或（其中为首项，为公差）。 若为等比数列：利用等比数列求和公式（，为首项，为公比）。 若可裂项相消：如放缩后得到，则其前项和。 若可错位相减：若数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘得到的，可采用错位相减法求和。 5. 得出结论：通过对放缩后数列求和得到的结果，来推断原数列求和的范围或相关性质。例如，若放缩后数列的和为，且放缩过程是放大的，那么原数列的和小于；若放缩过程是缩小的，原数列的和大于。 在解题过程中，需要注意放缩的尺度要恰当，避免放缩过度导致结果不准确。同时，要熟练掌握各种数列求和方法和常见不等式，以便灵活运用。 例题精选 【高考真题研究】（2014·新课标Ⅱ�高考真题）已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)证明： . 【高考真题研究】（2014·广东·高考真题）已知各项均为正数的数列的前 项和为，且满足， （1）求的值； （2）求数列的通项公式； （3）证明：对一切的正整数都有 2．（2024·福建厦门·二模）若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知. (1)证明：存在源数列； (2)（i）若恒成立，求的取值范围； （ii）记的源数列为，证明：的前项和. 3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知正整数满足，正整数满足，.对于确定的正整数，记的最小值为.例如：当时，或或. (1)当时，写出的所有值及的值； (2)探究的值； (3)证明：. 相似练习 4．（2024·福建三明·三模）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围； (3)记，求证：． 5．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）已知数列的首项，设，且的前项和满足：． (1)求数列的通项公式； (2)令，求证：． 6．（2024·福建漳州·一模）已知正项数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，为数列的前项和，证明，． 课后针对训练 一、解答题 1．（2025·重庆·一模）已知等差数列满足：，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，记数列的前n项和为，求证：； 2．（2025·河北保定·一模）记数列的前项和为，已知. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知等比数列的公比，，是，的等差中项．等差数列满足，． (1)，求数列的前项和； (2)将数列与的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此数列的前项和． 4．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列是公差大于0的等差数列，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设. （i）试写出，，的值； （ii）求数列的前20项和. 5．（2024·吉林·三模）已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求通项； (2)求数列的前n项和. 6．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知等差数列的公差，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列前项和为； (3)设求数列的前项和． 7．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知数列满足， (1)记，写出，，并证明数列为等比数列； (2)求的前项和． 8．（2024·四川雅安·一模）已知数列满足，（，且）． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和； (3)令，数列的前n项和为，证明：． 9．（2024·四川德阳·模拟预测）已知等差数列的前 项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设 求数列的前 项和． 10．（2023·天津·一模）已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，. (1)求数列，{}的通项公式； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $2024-2025学年高二下学期数学常考题型归纳 【数列求和】【高考模拟题精选】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：错位相减求和】 知识讲解 错位相减法是一种用于求数列前项和的方法，主要适用于等差数列与等比数列相乘所构成的新数列。以下是错位相减法的解题思路： 1. 写出数列的前项和表达式 设数列是等差数列，公差为，数列是等比数列，公比为，则其乘积数列的前项和。 2. 乘以公比 给的两边同时乘以等比数列的公比，得到。 由等比数列通项公式可知，。 3. 两式相减 用减去，即。 展开并整理可得：。 因为是等差数列，所以（），则上式可进一步化为。 4. 化简求解 对进行化简，。 其中是等比数列除去首项后的前项和，根据等比数列求和公式（），可得。 所以，进而可求出（）。 当时，数列为常数列，，此时可按等差数列求和公式来计算。 例题精选 1．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 3．（2024·福建·三模）已知等差数列的前项和为，若，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出，得到通项公式和前项和； （2），利用错位相减法求和得到答案. 【详解】（1）设公差为，则， ， 解得，故； ； （2）， 故①， 则②， 式子①-②得 ， 所以. 4．（2024·福建龙岩·一模）设等差数列的公差为，令，记分别为数列的前项和. (1)若，求数列的通项公式； (2)若数列是公比为正数的等比数列，，，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式得，再代入计算得到，解出即可得到其通项公式； （2）根据等比数列通项公式得，再利用错位相减法即可得到答案. 【详解】（1），，， 即，， ， 又，， ， ，解得:或， 又. （2）设数列公比为， ，， ，又， ， ， . ，① ，② ①②:， ， . 相似练习 5．（2023·福建泉州·模拟预测）数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2)3586 【分析】（1）两边去倒数后，构造等差数列求解即可； （2）利用错位相减法即可. 【详解】（1）由，可得. 因为，所以. 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列. 所以，即. （2）因为，所以. 又，所以①. ①式两边同乘以2，得②， ②①，得， 所以. 6．（2023·福建泉州·模拟预测）已知数列满足，． (1)求，，并求； (2)令，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）方法一：根据题意可得等式，即数列是常数列，即可求解； 方法二：因为，所以，两式相减整理可得，进而可得数列是等差数列，即可求解； （2）错位相减法求和. 【详解】（1）解法一： 令，则有，解得， 令，则有，解得， 因为， 式子两边同除得：， 则，即， 所以数列是常数列， 又因为，所以即. 解法二：由已知可求得. 因为，所以， 所以， 移项得，即， 所以数列是等差数列，又因为，所以. （2）因为， 所以， 所以， 两式相减得：， 所以. 7．（2023·福建莆田·二模）已知正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分类讨论与两种情况，利用数列递推式的性质，结合作差法即可求得； （2）结合（1）中结论，利用错位相减法求得，由此得证. 【详解】（1）因为， 当时，， 因为，所以， 当时，， 两式相减得，， 因为，所以， 经检验，上式对于也适合， 所以的通项公式为. （2）由（1）得， 所以， ， 两式相减得， 所以， 由于，显然，所以. 8．（2023·福建福州·二模）欧拉函数(n)(n∈)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如：(1)=1，(4)=2． (1)求，； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1)；； (2). 【分析】（1）根据欧拉函数的定义，采用枚举法即可求解； （2）根据任意相邻的三个正整数均有两个数与互为质数可求出，从而求得的通项公式，根据通项公式的特征，采用错位相减法即可求出其前n项和. 【详解】（1）不超过9，且与其互质的数即为中排除掉3，6，9剩下的正整数， 则； 不超过27，且与其互质的数即为[1,27]中排除掉3，6，9，12，15，18，21，24，27剩下的正整数， 则． （2）表示任意相邻的三个正整数，其中与互质的为与两个， 故分别取可得中与互质的正整数个数为， 所以， 所以． 设数列的前项和为． ， ∴， 两式相减得： 则． 9．（2022·福建福州·三模）设数列的前n项和为，，，. (1)证明：为等差数列； (2)设，在和之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列，求的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据，即可得到，从而得到，作差即可得到，从而得证； （2）由（1）可得的通项公式，从而得到，再利用错位相减法计算可得； 【详解】（1）证明：因为时，， 则， 即，，· 因为，· 则①， 所以②， 则①②得， 即，· 所以为等差数列. （2）解：由（1）可得的首项为，公差为，所以， 所以， 所以，则， 记的前n项和为， 则①， 所以②， 则①②得，· 所以，· 所以.· 【题型二：裂项相消求和】 【类型一：分式型裂项】 知识讲解 分式型裂项相消有多种不同类型，以下是一些常见的类型及其特点和裂项方法： 1. 分母为两项乘积且两项差值为常数 类型特点：分式的分母是两个连续自然数或具有一定规律的两个数的乘积，分子为常数，且两个数的差值固定。 裂项方法：对于（为常数），可裂项为。例如，。 2. 分母为两项乘积且两项为等差数列 类型特点：分母是两个数的乘积，这两个数构成等差数列，分子为常数。 裂项方法：设等差数列的公差为，对于（、、为常数），可裂项为。例如，这里，，，。 3. 分子为多项式且分母为两项乘积 类型特点：分子是关于的多项式，分母是两个数或式子的乘积。 裂项方法：先将分子进行变形，使其能表示为分母中两项的差或和的形式，再进行裂项。例如。 4. 分母为多项乘积 类型特点：分母是三个或三个以上的数或式子的乘积，分子为常数。 裂项方法：通过适当的变形，将其转化为可裂项的形式。例如。 5. 分子分母均为多项式且可因式分解 类型特点：分子分母都是关于的多项式，且可以进行因式分解。 裂项方法：先对分子分母进行因式分解，然后根据分母的因式情况进行裂项。例如，可进一步看作，即，前面两项可通过裂项相消求和。 例题精选 1．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 2．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列满足，当时，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）由已知递推式，得到，结合等差数列的定义即可证明结论，由等差数列通项公式，即可得到所求通项公式； （2）求得，由裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证． 【详解】（1）因为，所以，即， 又因为，所以是首项为1，公差1的等差数列， 所以，所以． （2）证明：因为， 所以 因为，所以 3．（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列定义可得，利用与之间关系可证得数列通的项公式； （2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，即， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. （2）由（1）知 则 所以数列的前项和为. 4．（2024·福建漳州·模拟预测）已知数列的前项和为，满足，且为，的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】 （1）借助与的关系与等比中项的性质计算即可得； （2）借助裂项相消法可求得，结合函数的单调性即可得证. 【详解】（1）因为，所以，① 当时，，② ①－②得，化简可得，， 且当时，满足上式， 所以数列是公差为2的等差数列， 由题可得，故，解得， 所以，； （2）证明：令， 所以 ， 又函数在上单调递增，所以. 相似练习 5．（2023·福建三明·三模）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）取倒数结合等差数列的通项计算即可； （2）利用裂项法求得，结合，即可证明结论. 【详解】（1）因为，，所以， 所以. 所以， 所以为等差数列，首项为，公差， 所以， 所以 （2）证明：因为， 所以. 所以， 因为，所以， 即. 6．（2023·福建泉州·模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足 (1)证明：数列为等差数列; (2)若求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）将代入到中，得，结合等差数列的定义可证结论正确； （2）由（1）求出，再求出，然后分组，利用等差数列求和公式和裂项求和方法可求出结果. 【详解】（1）当时，，得， 当时，，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）知，， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以 . 7．（2023·福建厦门·模拟预测）已知数列满足． (1)证明为等差数列，并的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据等差差数列的定义证明即可，从而可得的通项公式； （2）利用分式分离变形，结合分组求和与裂项求和即可得. 【详解】（1）证明：因为，所以，即 所以是以为首项，为公差的等差数列，则， 所以； （2） . 【对数裂项相消】8．（2023·福建漳州·模拟预测）已知数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求集合中元素的个数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推关系及与的关系化简得出，即可求出通项公式； （2）利用裂项相消法求出，再解不等式即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以 所以，即. 又因为，所以， 所以. （2）因为， 所以 令，得， 所以集合中元素的个数为. 【类型二：指数型裂项】 知识讲解 指数型裂项相消常见形式： 1. 形如的形式 特点：数列的通项公式可以表示为一个指数式乘以一个常数，且这个常数是指数底数减的形式。 裂项方法：。例如，对于数列，其通项可变形为，即，这样在求和时就可以通过前后项相消来简化计算。 2. 形如的形式 特点：分母是两个指数式分别加上一个常数后的乘积形式，分子是其中一个指数式。 裂项方法：（）。例如，对于，可裂项为，然后在求和过程中实现裂项相消。 3. 形如的形式 特点：分子是一个一次式与指数式的乘积，分母是指数底数与差的平方。 裂项方法：。例如，对于数列，可根据此形式进行裂项，然后通过相消求出前项和。这种形式通常在解决一些较为复杂的指数型数列求和问题时会用到，需要对式子进行适当的变形和推导。 4. 形如的形式 特点：分子是两个不同底数的指数式相加，分母是这两个指数式的乘积。 裂项方法：。例如，，可将其转化为两个等比数列的和，再分别利用等比数列求和公式进行计算，在计算过程中也体现了裂项相消的思想，只不过这里是将其拆分成两个可求和的数列，而不是直接相邻项相消。 例题精选 1．（2024·福建泉州·二模）已知数列和的各项均为正，且，是公比3的等比数列．数列的前n项和满足． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用递推公式可证得数列是等差数列，可求出数列的通项；利用等比数列的性质，可求出通项； （2）根据裂项相消和分组求和法求解即可； 【详解】（1）由题设，当时或（舍）， 由，知， 两式相减得， （舍）或，即， ∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，． 又． （2） 则 当n为偶数时，； 当n为奇数时，． 所以. 2．（2024·福建厦门·一模）已知数列的前项和为，，当，且时，． (1)证明：为等比数列； (2)设，记数列的前项和为，若，求正整数的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)3. 【分析】（1）由题设，结合已知得到在上都成立，即可证结论； （2）由（1）得，裂项相消法求，根据不等式关系得，即可确定正整数的最小值. 【详解】（1）当时，，即， 又，故在上都成立，且， 所以是首项、公比均为2的等比数列. （2）由（1）知：，则， 所以， 则，即， 所以，可得，而，故，正整数的最小值为3. 3．（2023·福建·模拟预测）已知等差数列，等比数列，满足，，． (1)求数列，的通项公式； (2)令，求满足的最小的正整数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)8 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式求解即可； （2）化简，由，分析满足条件的最小的正整数的值即可． 【详解】（1）设公差为，由． 当时，不符合题意，舍去； 故，所以，； （2）由题意，可得， 所以， 由，又， 所以当时，， 当时，， 故的最小值为8． 相似练习 4．（22-23高二上·上海黄浦·阶段练习）设，数列满足，数列的通项公式为. (1)已知，求的值； (2)若，以，求数列最大项及相应的值； (3)设为数列其前项和，令，数列的前项和为.证明：. 【答案】(1) (2)数列最大项为，相应的序数为57或58 (3)证明见解析 【分析】（1）由已知代入即可求解； （2）由题，研究数列的单调性，确定其最大项即可； （3）利用裂项相消法求数列的前和，由此结论结论. 【详解】（1）因为，所以，所以； （2）若，则，所以， 所以， 所以当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 所以， 又，所以数列最大项为，相应的序数为57或58. （3）因为，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以，即， 所以，即， 即，所以. 5．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知数列的首项为1，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意，利用等比数列的概念即可求解等比数列通项； （2）结合（1）的结论，利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）因为数列的首项为1，且， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以； （2）由（1）知， 所以， 所以 . 6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知为等比数列的前项和，若成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，若对于任意的恒成立，求实数M的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的基本量计算即可求解； （2）裂项相消法求得，再利用数列单调性即可求解. 【详解】（1）设数列的公比为， 由成等差数列可得，故，解得， 由可得，解得， 故，即数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 故， 又因为为递增数列，则，又当时， 所以，故， 又对于任意的恒成立，所以，即实数M的最小值为. 【类型三：根式型裂项】 知识讲解 根式型裂项相消常见形式： 1. 分母为两项根式之和 类型特点：分式的分母是两个根式相加的形式，分子为常数。 裂项方法：对于（为常数），通常利用平方差公式进行分母有理化来裂项，即。例如。 2. 分母为两项根式之差 类型特点：分式的分母是两个根式相减的形式，分子为常数。 裂项方法：与分母为两项根式之和类似，利用平方差公式进行分母有理化。对于（为常数），可化为。例如。 3. 分母为三项根式组合 类型特点：分母是三个根式通过加、减运算组合而成，分子为常数。 裂项方法：以为例，先将分母进行变形，，然后分子分母同乘进行分母有理化，得到，再进一步对分子分母进行适当变形和化简，以便在求和时实现裂项相消。 4. 分子为根式与常数的组合，分母为两项根式之和或差 类型特点：分子是一个根式加上或减去一个常数，分母是两个根式相加或相减的形式。 裂项方法：以为例，可将其拆分为，即，这样就可以通过裂项相消来求和。对于分子为，分母为的形式，同样可以进行类似的拆分，即。 例题精选 1．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，证明：当，时，. 【答案】(1)； (2)证明见解析﹒ 【分析】(1)根据题中条件列出关于和d的方程组，解出和d，根据等差数列通项公式即可求； (2)分母有理化，裂项相消即可求，当，时，证明即可． 【详解】（1）由题可知，，解得，∴； （2）， ， ，， ． 相似练习 1.已知数列的通项公式为，求数列的前项和。 解析： 对进行分母有理化，分子分母同乘，得到。 则。 2.设数列满足，求数列的前项和。 解析： 将分子分母同乘，化简可得。 所以。 【题型三：分组求和】 知识讲解 数列分组求和的解题思路： 1. 观察数列特征：仔细观察给定数列的各项，分析其规律。看数列是否可以通过某种方式拆分成若干个具有不同规律的子数列。例如，数列的项可能呈现出奇数项和偶数项有不同的规律，或者相邻几项之间存在特定的运算关系等。 2. 进行合理分组：根据观察到的规律，将数列分成若干个组。分组的方式通常有以下几种： 按项的奇偶性分组：如果数列的奇数项和偶数项分别具有明显的规律，可将奇数项作为一组，偶数项作为另一组。例如，数列，奇数项是首项为，公差为的等差数列；偶数项是首项为，公差为的等差数列。 按项的特定规律分组：有些数列可能存在每几项为一组，组内有特定规律的情况。比如数列，可以将其按每两项一组进行分组，即，，，，每组内的两个数相同，且从第二组开始，每组的第一个数是前一组第一个数的倍。 按通项公式的不同部分分组：当数列的通项公式是由几个不同部分组成时，可根据通项公式的结构进行分组。例如，数列，其通项公式由和两部分组成，可将其拆分为一个等差数列和一个等比数列分别进行求和。 3. 分别求各分组的和：对于分好的各个组，根据其各自的规律，运用相应的求和公式或方法进行求和。 等差数列求和：若分组后得到的是等差数列，可使用等差数列求和公式（其中为项数，为首项，为末项）或（为公差）进行求和。 等比数列求和：如果是等比数列，使用等比数列求和公式（，其中为首项，为公比）来求和。 其他特殊数列求和：对于一些特殊的数列，可能需要通过其他特定的方法来求和，如裂项相消法、错位相减法等，或者根据其规律直接进行计算。 4. 汇总各分组的和：将各个分组的和相加，得到原数列的和。 例题精选 1．（2023·福建泉州·模拟预测）数列中，，且． (1)证明：数列为等比数列，并求出； (2)记数列的前n项和为．若，求． 【答案】(1)证明见详解， (2)1360 【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义与通项公式分析运算； （2）由（1）可得，根据前n项和与通项之间的关系结合并项求和分析运算. 【详解】（1）因为， 则，且， 所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 故，可得. （2）因为，即， 当时，则，解得； 当时，则， 两式相减得：，整理得； 所以 ， 即. 2．（2023·浙江杭州·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列性质设出公差和首项，代入题中式子求解即可； （2）列出通项公式，根据通项求出的前n项和，再根据通项求出的前2n项和，两式相减解得的通项公式，最后分组求和求出数列的前n项和. 【详解】（1），设公差为d，首项为 ，因为公差不为0，所以解得， ，数列的通项公式为，. （2）     ①     ② 得，解得 3．（2023·福建漳州·二模）已知等差数列的前n项和为，若，且________．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)根据等差数列的通项公式与前和公式结合已知条件求出首项和公差，进而即可求出通项公式； (2)由(1)得，再利用分组求和法即可求得. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d， 若选择条件①， 由题可得，解得， 若选择条件②， 由题可得，解得， . （2）由(1)知，选择两个条件中的任何一个，都有， 则， 相似练习 4．（2023·福建泉州·模拟预测）已知数列各项均为正数，且． (1)求的通项公式 (2)设，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，进而得为等差数列，再根据等差数列通项公式求解即可； （2）结合（1），根据分组并项求和法求即可. 【详解】（1）解：因为 所以，， 因为数列各项均为正数，即， 所以，，即数列为等差数列，公差为，首项为. 所以 （2）解：由（1）知，其公差为， 所以， 所以， 5．（2022·福建厦门·模拟预测）已知数列的前项和，，，． (1)计算的值，求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，作差得到，再根据等差数列通项公式计算可得； （2）由（1）可得，利用并项求和法计算可得； 【详解】（1）解：当时，，解得， 由题知①，②， 由②①得，因为，所以， 于是：数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列， 即， 偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列， 即 所以的通项公式； （2）解：由（1）可得， . 6．（2022·福建厦门·模拟预测）已知数列的前项和为，满足，，． (1)证明：数列是等比数列； (2)记，设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）当时可求得；当时，由与关系可得，验证知，由此可证得结论； （2）由等比数列通项公式可推导得到；当为奇数时，由知；当为偶数时，令，可知递增，得到，知；采用分组求和的方式对奇数项和偶数项分别求和，结合等比和等差数列求和公式可求得结果. 【详解】（1）当时，，解得：； 当时，由得：， 两式作差得：，即； 经检验：，满足； 数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得：，； 则当为奇数时，，，； 当为偶数时，； 令，则， ，即，； . 【题型四：奇偶数列求和】 知识讲解 奇偶项数列求和的解题思路： 1. 分析数列的特征 观察数列的奇数项和偶数项各自的规律。例如，判断奇数项是否构成一个等差数列、等比数列或其他有规律的数列，同样观察偶数项是否有类似规律。可能奇数项是一个首项为，公差为的等差数列，而偶数项是一个首项为，公比为的等比数列。 2. 分别求出奇数项和偶数项的和 奇数项求和： 若奇数项构成等差数列，设奇数项有项，根据等差数列求和公式，其中是奇数项的首项，是奇数项的末项。也可表示为，为奇数项的公差。 若奇数项构成等比数列，设公比为，根据等比数列求和公式（），当时，。 偶数项求和： 若偶数项构成等差数列，设偶数项有项，其求和公式为，为偶数项的公差。 若偶数项构成等比数列，设公比为，则（），当时，。 3. 确定项数和 若数列的项数为，当为偶数时，；当为奇数时，，。 4. 求出数列的前项和 当为偶数时，。 当为奇数时，（为数列的第项，此时为奇数项）。 例题精选 1．（2023·福建·模拟预测）已知数列满足：，，，. (1)证明：是等差数列： (2)记的前n项和为，，求n的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2)最小值为10. 【分析】（1）解法一：（指数运算）由已知可推得，，相乘结合已知，即可得出，进而证明；解法二：（对数运算）由已知可得，结合已知即可得出，进而证明； （2）解法一：先根据（1）推出，然后结合已知条件得到，然后计算得到，即可得出答案；解法二：同解法一，先求出，，然后分组求和得出，进而得出，求解即可得出答案；解法三：同解法一，先求出，，然后分组求和得出，求解即可得出答案. 【详解】（1）解法一： 由，得，则， 从而. 又， 所以， 即，所以是等差数列. 解法二： 由，且， 则， 得， 因为，， 所以， 即，所以是等差数列. （2）解法一： 设等差数列的公差为d. 当时，，即， 所以，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以. 又. 所以， ， 又； 又，则，且， 所以n的最小值为10. 解法二： 设等差数列的公差为d. 当时，，即， 所以，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以. 又，所以. 当时， ， ， 所以， ， 又，则，且， 所以n的最小值为10. 解法三： 设等差数列的公差为d. 当时，，即， 所以，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以. 又. 当时， ， 所以，. 又，则，且， 所以n的最小值为10. 2．（2023·福建泉州·三模）已知为等差数列，且． (1)求的首项和公差； (2)数列满足，其中、，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出等差数列的通项公式； （2）先化简数列的通项公式，利用裂项求和法求出，利用并项求和法求出、的值，即可得出的值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 由可得，即， 所以，，解得，. （2）因为，则， 所以 ； ； . 因此， . 3．（2023·福建厦门·二模）记等差数列的公差为，前项和为；等比数列的公比为，前项和为，已知，，． (1)求和； (2)若，，求的前项和． 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）可求得，使用分组求和. 【详解】（1）由已知条件可得: ①，②，③， 由①②消去得:， 由①③得:， 所以，得或， 所以或. （2）当时，，则， 所以， 所以 ， 的前项和为 相似练习 4．（2022·湖北·二模）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)，求数列的前项和； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得，两者作差可得，则可判断数列为等比数列，即可求其通项公式； （2）利用分组求和的方法求和即可. 【详解】（1）在数列中， 由可知， 两式作差可得，即， 当时，，，即，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 即； （2）由（1）知， 所以 . 5．（2022·福建三明·模拟预测）设数列的前项和为，，，． (1)求证：是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可求得的值，当时，由可得，两式作差变形可得，即，利用等比数列的定义可证得结论成立； （2）求得，利用分组求和法结合等比数列的求和公式、裂项相消法可求得. 【详解】（1）证明：对任意的，， 当时，则有，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差得，所以，，则， 所以，且，所以，数列是等比数列，且首项和公比均为. （2）解：由（1）可知，所以，， 所以， . 6．（2022·山东淄博·一模）已知数列满足：，且．设． (1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； (2)求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2)数列的前2n项和为 【分析】（1）根据数列的递推公式可得，由此构造数列，进而证明结论； （2）根据数列的递推公式可得数列的偶数项与奇数项之间的关系，由（1）可得数列的奇数项的通项公式，利用等比数列的求和公式，进而求得答案. 【详解】（1）由题意可知：， ， 故，即， 故是以为首项，以 为公比的等比数列， 且 ， 故 （2）由（1）知，,即， 由题意知： ，故 ， 故数列的前2n项和 . 7．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知为公差不为零的等差数列，，记、分别为数列、的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由此可得出数列的通项公式； （2）分为偶数、奇数两种情况讨论，当为偶数时，可得出，利用等差数列的求和公式可求出的表达式；当为奇数时，可得出，可得出的表达式.综合可得出的表达式. 【详解】（1）设数列的公差为，由，则， 即，解得， 所以． （2）由可知， 当为偶数时， ． 当为奇数时，． 综上所述，． 8．（2024高三上·山东济南·专题练习）已知数列的前n项和为，， (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件，得到当，时，，且有，由等比数列的定义即可证明结果； （2）由（1）及条件可得，，再利用等比等差数列前项和公式分组求和，即可求解． 【详解】（1）证明：因为， 所以当，时，， 即 又时，， 所以数列为首项为1，公比为3的等比数列． （2）由（1）知，所以， 又由，可得， 所以 【题型五：数列求和与不等式放缩】 知识讲解 先放缩再数列求和的解题思路： 1. 观察数列通项公式：仔细分析给定数列的通项公式，判断其特点和规律。例如，通项公式是分式形式、指数形式，还是含有根式等，这有助于确定合适的放缩方法。 2. 选择放缩方法： 根据不等式性质放缩：若通项公式中含有分式，可通过对分母或分子进行适当的放大或缩小，使分式的值变大或变小。如（），。 利用常见不等式放缩：像均值不等式、二项式定理等。例如，由均值不等式。由二项式定理，当时，。 借助函数单调性放缩：构造函数，通过函数的单调性来放缩数列通项。例如，对于数列，可构造函数，利用其单调性可知当时，。 3. 进行放缩操作：将数列的每一项按照选定的放缩方法进行放缩，得到一个新的数列。这个新数列通常具有更易于求和的形式。 4. 对放缩后的数列求和：根据放缩后数列的特点，选择合适的方法求其前项和。 若为等差数列：使用等差数列求和公式或（其中为首项，为公差）。 若为等比数列：利用等比数列求和公式（，为首项，为公比）。 若可裂项相消：如放缩后得到，则其前项和。 若可错位相减：若数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘得到的，可采用错位相减法求和。 5. 得出结论：通过对放缩后数列求和得到的结果，来推断原数列求和的范围或相关性质。例如，若放缩后数列的和为，且放缩过程是放大的，那么原数列的和小于；若放缩过程是缩小的，原数列的和大于。 在解题过程中，需要注意放缩的尺度要恰当，避免放缩过度导致结果不准确。同时，要熟练掌握各种数列求和方法和常见不等式，以便灵活运用。 例题精选 【高考真题研究】（2014·新课标Ⅱ�高考真题）已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)证明： . 【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析. 【详解】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式. 试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得. （2）由（1）知：，所以， 因为当时，，所以，于是=， 所以. 【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当时，，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路. 考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键. 【高考真题研究】（2014·广东·高考真题）已知各项均为正数的数列的前 项和为，且满足， （1）求的值； （2）求数列的通项公式； （3）证明：对一切的正整数都有 【答案】（1）；（2）；（3）详见解析. 【详解】试题分析：（1）将代入方程 得到，结合题中条件（数列 的各项均为正数，得到）求出 的值，从而得到的值；（2）由十字相乘法结合 得到的表达式，然后在 的情况下，由求出数列 的表达式，并验证是否满足该表达式，从而得到数列的通项公式；（3）解法一是利用放缩法得到 ，于是得到 ，最后利用裂项求和法证明题中的不等式；解法二是保持不放缩，在 的条件下放缩为 ，最后在 和时利用放缩法结合裂项法证明相应的不等式. （1）令得： ，即，， ，，即 ； （2）由，得 ， ， ，从而，， 所以当时，， 又，； （3）解法一：当时，， . 证法二：当时，成立， 当时，， 则 . 考点：本题以二次方程的形式以及与的关系考查数列通项的求解，以及利用放缩法证明数列不等式的综合问题，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于中等偏难题. 2．（2024·福建厦门·二模）若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知. (1)证明：存在源数列； (2)（i）若恒成立，求的取值范围； （ii）记的源数列为，证明：的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）由由函数单调性和值域结合“源数列”定义即可证明； （2）（i）分离参数，利用导数研究函数的单调性求解最值即可求解； （ii）由（i）得，故，结合得到，即可推出，继而可用放缩法得到，从而利用裂项法求和，证明不等式. 【详解】（1）证明：由， 得， 则在区间上单调递减. 又，当且，，     所以的值域为， 所以，令可知其在区间上存在唯一解，不妨设解为， 即，都存在唯一的实数，使得， 即存在源数列. （2）（i）恒成立，即恒成立. 令，即恒成立. 令，则， 令，，则，当且仅当时取等号， 所以在区间上单调递减，     所以，即，所以在区间上单调递增，     可得，故. （ii）证明：由（i）得，故， 则（且）， 当时，； 当时，. 综上，的前项和. 【点睛】关键点睛：证明的前项和的关键是利用（i）得到，进而推出，再利用放缩法得到. 3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知正整数满足，正整数满足，.对于确定的正整数，记的最小值为.例如：当时，或或. (1)当时，写出的所有值及的值； (2)探究的值； (3)证明：. 【答案】(1)的所有值为：，. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题目所给新定义列出4种不同可能即可求解； （2）利用猜想出时，，再证明即可； （3）利用放缩法和裂项相消求和的方法即可证明. 【详解】（1）因为，，， ， 所以的所有值为：，所以. （2）当时，探究展示如下表： 项数 3 0 1 6 项数 0 3 0 6 项数 4 2 0 8 项数 8 1 0 10 项数 12 0 0 12 由上表可知，. 当时，探究展示如下表： 项数 3 0 2 9 项数 0 3 1 9 项数 4 2 1 11 项数 8 1 1 13 项数 12 0 1 15 项数 1 5 0 11 项数 5 4 0 13 项数 9 3 0 15 项数 13 2 0 17 项数 17 1 0 19 项数 21 0 0 21 由上表可知，. 3 0 1 6 3 0 2 9 3 0 3 12 3 0 猜想时，. 证明如下： 的各项的取值只有三种可能， 记其中取值为的项数分别为. 取，有， 此时. 假设不是的最小值，则存在， 使得，且. 消去，得， 因为，所以或或 若则 若则； 若则. 故矛盾. 所以，是的最小值，. （3）法一： 由（2）， 要证，即证， 因为左边 故原不等式得证. 法二： 由（2）， 要证，即证， 因为左边 故原不等式得证. 法三： 由（2） 因为左边’ 故原不等式得证. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在第二小问中利用猜想得到时，，采用先猜后证的数学思想方法可证明. 相似练习 4．（2024·福建三明·三模）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围； (3)记，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时求出，时，用，即可求解； （2）由得出，由得，根据对勾函数的单调性及的值，即可求出得范围； （3）由（1）得，则，根据放缩法得即可证明． 【详解】（1）当时，， 当时，，时成立， 所以． （2）由得，，显然时，单调递增，， 由得，， 又，当且仅当时，即时等号成立， 因为，，且，，， 所以当时，，解得， 当时，，解得， 所以． （3）证明：由（1）得，， 因为 所以 ． 5．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）已知数列的首项，设，且的前项和满足：． (1)求数列的通项公式； (2)令，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用，结合等比数列的定义和通项公式计算即可求解； （2）由（1）得，易知当时不等式成立，当时根据放缩法可得，结合裂项相消求和法即可证明. 【详解】（1）当时，， 两式相减得：，所以. 当时，且，可得，满足上式， 由，则为等比数列，， 所以． （2）由（1）知， 所以， 当时，成立； 当时，， 所以成立． 6．（2024·福建漳州·一模）已知正项数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，为数列的前项和，证明，． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意结合与之间的关系可得，，结合等差数列可得，进而求； （2）由（1）可得，当时，利用放缩法结合裂项相消法分析证明，并检验前两项. 【详解】（1）因为，则，且， 令，则，可得； 又因为，则， 整理得， 可知数列是以首项为4，公差为4的等差数列，则， 且，可得， 当时，； 当时，； 可知符合上式，所以. （2）由（1）可得：， 当时，， 可得； 且， 综上所述：. 课后针对训练 一、解答题 1．（2025·重庆·一模）已知等差数列满足：，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，记数列的前n项和为，求证：； 2．（2025·河北保定·一模）记数列的前项和为，已知. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知等比数列的公比，，是，的等差中项．等差数列满足，． (1)，求数列的前项和； (2)将数列与的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此数列的前项和． 4．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列是公差大于0的等差数列，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设. （i）试写出，，的值； （ii）求数列的前20项和. 5．（2024·吉林·三模）已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求通项； (2)求数列的前n项和. 6．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知等差数列的公差，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列前项和为； (3)设求数列的前项和． 7．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知数列满足， (1)记，写出，，并证明数列为等比数列； (2)求的前项和． 8．（2024·四川雅安·一模）已知数列满足，（，且）． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和； (3)令，数列的前n项和为，证明：． 9．（2024·四川德阳·模拟预测）已知等差数列的前 项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设 求数列的前 项和． 10．（2023·天津·一模）已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，. (1)求数列，{}的通项公式； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）根据等比数列结合等差数列的通项公式计算求解即可； （2）应用裂项相消法求和得出，再结合单调性证明即可. 【详解】（1）设数列的公差为d，依题意：成等比数列， 所以，解得：或 当时，，当时， 所以数列的通项公式为或 （2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知 则 所以，故 而随n的增大而增大，则，故成立 2．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，即可求解； （2）由（1）可得，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 当时，， 两式相减得，① 则，② ②①得， 所以. 因为， 又，所以当时，； 当时，，则， 所以，满足， 所以，故数列为等差数列. （2）由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，， 则， 所以. 3．(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，结合等比数列通项列出方程组求出，求出，的通项公式，再利用错位相减法求和； （2）利用（1）的结论，确定新数列前项中，数列所占项数，再借助等比数列、等差数列前n项和公式计算作答. 【详解】（1）依题有， 因为，解得，. 数列是等差数列，设其公差为，，解得，. 数列的前项和记为，则， 因为， 所以， ， 两式相减有 ， 所以. （2）因为，，设新数列为，因为数列与数列都是递增数列， 且，， 又因为， 所以数列的前项由中的前项和中的前项构成， 所以 . 4．(1) (2)（i）；（ii）408 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可根据通项公式求解， （2）根据题意可得则，，即可利用分组求和，结合等差和等比数列的求和公式求解. 【详解】（1）设的公差为， 令，得，故即， 令，得，故，即， 由于，则解得， 故， （2）（i）当，故， 时，， 所以， （ii）由题意可知：， 当时，，则， 当，，则，， 当，，则，， 所以 , 因此 5．(1)证明见详解， (2) 【分析】（1）将， 变形为，再利用等差数列的定义求解； （2）求出，再利用错位相减法求解. 【详解】（1）因为，所以， 又，即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， ，即. （2）由（1）， ， 则， 两式相减得， ， . 6．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）变形得到，裂项相消法求和； （3）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）根据题意，因为，，，成等比数列， 所以，又， 解得，， 故； （2）因为 ， 所以 ； （3）∵ ∴①， ②， ∴①-②得 ∴. 7．(1)，，证明见解析 (2) 【分析】（1）构造法，结合等比数列定义证明（2）运用分组求和，结合等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）显然为偶数，则，． 所以，即． 且． 所以是以5为首项，2为公比的等比数列， 于是，，． （2）记，则 从而数列的前项和为： 8．(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用构造法，结合等比数列定义推理即得. （2）由（1）求出，再利用分组求和法及错位相减法求即得. （3）利用（2）的信息求出，再利用不等式的性质，结合等比数列求和公式推理得证. 【详解】（1）数列中，当时，，则， 而，又，解得，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，，即，， 则， 令， 则， 两式相减得， 则，所以. （3）由（2）知，，，显然， 则；又， 于是， 所以. 【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 9．(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式以及前n项和公式构成方程组即可求得的通项公式； （2）将原式变形为，再利用裂项相消法即可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为． 因为，， 所以，化简得， 所以，所以数列的通项公式为； （2）， 整理得， 所以， 整理得. 10．(1)，. (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列，等比数列的通项公式可得到结果； （2）可转化为等差乘等比类型，利用错位相减法可解； （3）数列的前项和可利用裂项相消，然后用放缩可证. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，则，. 由等比数列性质可得，又，， 所以， 所以，解之得或， 当时，，则，， 即与矛盾，故舍去； 当时，，则，， 所以,，满足题意； 所以，. （2）设， ， 设， 则，， 两式相减得， 所以，即. （3）证明：， ， ， 因为，易知随着的增大而增大， 所以，， 所以. 【点睛】方法点睛： 求数列前项和常见的方法： 公式法：适用于等差数列、等比数列以及其他特殊数列. 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）. 错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）. 裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和. 通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和. 1 学科网（北京）股份有限公司 $