拓展10-1 三角恒等变换高频题型专攻-2024-2025学年高一下学期数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

拓展10-1三角恒等变换高频题型专攻 题型目录 一、 给角求值 五、三角恒等变换与三角函数的结合 二、 给值求值 六、三角恒等变换与向量的结合 三、给值求角 七、三角恒等变换的实际应用 四、三角函数式的化简与证明 八、辅助角公式的高级应用 题型训练 一、给角求值 【例1】 1+tan190°2cos70° =() 1-tan370°sin40° A.tan 200 B.tan70° C.-tan 20 D.-tan 70 【例2】（多选）下列式子的运算结果为的是() A. 1+tan15" B.tan20+tan40°+√5tan20tan40 1-tan15 C.sin 50(3+3tan 10 D. 2tan15 1-tan215 【变武1)计算，'3+ 51 () 2c0s号ncos A.2 C.-1 D.-2 【变式1-2】sin219°+cos249°+sin19°cos49°= 【变式1-3】著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”又称黄金分割法在 生产和科研实践中得到了非常广泛的应用经研究，黄金分制比，=5- ≈0.618还可以表示成2sin18,则 cos12+5an12'=() A.4 B.2 C.1 D.2 二、给值求值 【例3】已知c+}-且引+ 5π 的值是() A.72 C.-72 D.2v3 10 B.-25 5 10 cosa+p=},则sia-cosB=（) 1 【例4】已知cosacosβ= c.3 8 D. 【度式2】已知m0+到-子则m2a+引 【变式2-2】已知sina-cosa= ae0,,则m2a+}( 1 ) A.-31V2 B. 32 C.-175 D.17 50 50 50 50 A.4+3V5 B.3+4V5 C.4-35 D.3-45 10 10 10 10 三、给值求角 【例5】若cosa-B)=5 ’cos2a=0 10 并且a,B均为锐角，且a<B,则a+B的值为() A君 B C.3x 4 D. 【例6】已知sin2a=3 .cosB=-12 其中-开<a<,0<B<x.求： 10 4 (1)sin2a-B)的值： (2)求角2a-B的值 【变式3】已知圣<a<骨0<，sm2a=号，osB=-7 L,则2a-B= 10 【变式33】已知ma--弓mB=7且a}p(侣 2 (I)求tana的值； (2)求2a-B的值. 四、三角函数式的化简与证明 【例7】化简与证明： (1)sin(2a+B) 2cos(a+B) sina (2)cos(a +B)cos(a-B)=cos'B-sin'a 1+sinx, sin2x 【例8】化简：cosx 2c0s2(π-x m 42 【变式4-1】化简或证明： sin(a-B)+2 cosa sinβ (1) cosa-β）-2 sinasinβ (2) 1+sin 2a+cos2a 1 1+sin 2a-cos 2a tana 3 【变式42】(1)证明恒等式： sin(a+B)sin(a-B)=tan'a-tan'B cos'acos2B sin0+sin20 (2)化简： 1+cos0+cos20 【变式4-3】化简： (1+sina+cosa)cos (1) -sin a 2 2(0<a<) √2+2cosa (2)sin(60°-asina sin(60°+a: (3cosa +cos3a+cos5a+cos7a sina +sin 3a +sin 5a+sin 7a 五、三角恒等变换与三角函数的结合 【例9】函数f(x)=sin2x+2 sin xcosx+3cos2x在区间 上的一个对称中心是(m,n),则m+n的值 为 【例10】（多选）已知0>0，函数fx=sicos0r+5cos0r_5的最小正周期为n,则下列结论正 2 2 22 确的是() A.点0是函数到的一个对称中心 6 B.函数f(x在区间 5mπ 12'12 上单调递增 C.将函数fx)的图象向左平移产个单位长度可得函数gx)=cosx的图象 12 D.函数的图象关于直线x=登对称 【变式51】设函数fx)=cosV5x+pV5sin(V5x+p)0<p<),若f(x)是奇函数，则p= 【变式5-2】（多选）已知函数f0)=sinx+cos'x-5 in2x(sin2x-cos2x),则下列说法正确的是() A.函数f(x)的最小正周期为刀 B。函数f在0孕上的值城为兮 C。将函数八)的图象向左平移号个单位得到函数g)的图象，则函数g)的图象关于)轴对称 D。若方程)+m=0在心贸上拾好有一个银，则m的取值范国为-1-子 【变式53】已知函数f=m+引-co+骨}+sm+ (I)求函数fx)的最小值，及f(x取最小值时的x的值： (②)将函数∫八x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的；（纵坐标不变），再向右平移”个单位，得到函数 6 g(x的图象，求函数gx)的最小正周期和单调递减区间， 六、三角恒等变换与向量的结合 【例1】已知向量a=-osa,sma)b=.ae0小，若a6=则co2a+}（) A.175 B.-3V2 C.172或32 D.172或3V2 50 50 50 50 50 50 【例12】设在平面上有两个向量a=cs2a,sin2a)0≤a<,6=(,a与不共线 (1)求证：向量a+6与a-b垂直： (2)当向量√3a+b与a-√36的模相等时，求a的大小 【变式6-1】（多选）已知向量ā=(1，sin0),i=(cos0,2,则下列命题正确的是() A.存在日，使得allb B.当an9=-5时，5涯直 2 5 C.对任意0，都有同≠ D.当a.i=-5时，tan0=V2 【变式6-2】如图所示，在同一个平面内，向量OA,OB,0元的模分别为1,1，√2，OA与O元的夹角为 a,且tana=3,OB与OC的夹角为45°，若0C=m0A+n0B,则m+n= 【变式6-3】如图，设0x,Oy是平面内相交成60角的两条数轴，C,e,分别是与x轴，y轴正方向同向的 单位向量，若向量OP=xe+ye,,则把有序数对(x,y)叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记为OP=(x,y V P ()若在该坐标系下，a=1,2),6=(2,-3列计算a+的大小 （②若在该坐标系下，已知a=5n0,2小，5=c0:0,小，（任≤0≤到引求-的最大值。 七、三角恒等变换的实际应用 【例13】露天电影就是在室外放的电影，在我国七十年代开始流行，观看者不需要买票，可以随意进场观 看，已知某地在播放露天电影，幕布上、下边缘距离为d米，幕布的下方边缘距离观众水平视线上方a米， 为使看电影时的视角（即从幕布上、下边缘引出的光线在人眼光心处所成的夹角）最大，应坐在距离幕布_ 米处.（用a,d表示） 【例14】如图，有一块矩形草坪ABCD,AB=100m,BC=50√3m,欲在这块草坪内铺设三条小路OE、 EF和OF,要求0是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠E0F=号 D F A 0 B (1)设∠BOE=,试求aOEF的周长1关于a的函数解析式，并求出此函数的定义域： (2)经核算，三条路的铺设费用均为400元每米，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？ 【变式7】在△4BC中，∠ACB=,4B边上的高CD=,AD=,D8=,则+y的最小值为 D B 【变式72】从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多 年的货币.如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔 的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治通宝”，某模具厂计划仿制这样的铜钱作 为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径为1，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正 方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于 刻铜钱上的字.设LOAB=6,五个正方形的面积和为S. 7 图1 图2 (1)求面积s关于O的函数表达式： (2)求面积S最小值. 【变式7-3】某U形场地ABCD,AB⊥BC,DC⊥BC,BC=100米(BA、CD足够长)，现修一条水泥路 MN(M在AB上，N在DC上)，在四边形MBCN中种植三种花卉，为了美观起见，决定在BC上取一点E ,使ME=EC,且MN⊥ME,现将ME,NE铺成鹅卵石路，设鹅卵石路总长为I米 (1)设∠MEB=0,将1表示成O的函数关系式： (2)求1的最小值 A D N M 0 B E C 八、辅助角公式的高级应用 【例15】若函数f(x)=2sinr+c0sr-√5，xe(0,x)的两个零点分别为x和x2,则cos(x,+x2)=() A B c D. 【例16】已知f(x)=5sinx-12cosx,若x,为f(x的最小值点，求cosx。. 【变式81】已知函数f=5sn2x+os2x+1,若存在0引满足八)-=)-子则 cos2-x)的值为() A.45 B.3 3 C. 【变式8-2】已知函数f(x=2sinx-cosx在[0,0]上的值域为[-l,5,则tan0的取值范围为() A.[B. c. D.2 【变式8-3】已知函数=sin2x+mc0s2x,若fx)的图象关于x=g对称，求m的值.拓展10-1三角恒等变换高频题型专攻 题型目录 一 给角求值 五、三角恒等变换与三角函数的结合 二、 给值求值 六、三角恒等变换与向量的结合 三、给值求角 七、三角恒等变换的实际应用 四、三角函数式的化简与证明 八、辅助角公式的高级应用 题型训练 一、给角求值 【例1】 1+tan190°2cos70° =() 1-tan370° sin40° A.tan20 B.tan 70 C.-tan 20 D.-tan 70 【答案】A 1 【详解】 1+tan190°2cos70°1+tan10° 2sin20° 1+tan10° 1-tan370°sin40°1-tan10°2sin20°cos20°1-tan10°cos20° 1+tan10°cos210°+sin210°1+tan10°1+tan210° 1-tan10°cos210°-sin210°1-tan10°1-tan210° (1+tan10)21+tan210°2tan10° 1-tan210°1-tan210°1-tan210° tan 200 故选：A 【例2】（多选）下列式子的运算结果为3的是() A. 1+tan15' B.tan 20'+tan 40+3 tan 20'tan 40' 1-tan15' c.sin50'(V5+3tan10） 2tan15 D. 1-tan215 【答案】ABC 【详解】对于A: 1-tan1S-an45an15=an(45+15)=an60-V5,放A正确： 1+tan15'tan 45'tan 15' 对于B:an60=tam(20°+40）=an20+an40=5. 1-tan 20'tan 40' 所以tan20'+tan40°+√5tan20°tan40°=√5，故B正确： 对于C:sin50'(W5+3am10'）=sin50 3 cos10'+3sin10' cos10 25 2os10+ in10 2W3sin(10°+30)】 2 sin 50' =sin50°. cos10 cos10 2V5sin40°sin50°_25sin40'cos40°√5sin80° 3cos10' cos10 cos10" cos10 cos10 =5,故C正确： -an15=an2x15)=am30=5,放D错误 对于D:2tan15 3 故选：ABC 2 【变式】计算1， C0s-π 3+ 4() 2cos-πc0s- 5 A.2 B.2 1 C.-1 D.-2 【答案】D 2 2 4 1 c0s.π 【详解】因为 3+ 5 5 4 2+4= 24 2 4 2cosπcos-π2cos-xcos.π 2c0s-πC0s-π 2cos2πcosπ 5 5 5 5 5 5 5 5 1 sin-元 5 1 2 2 sin -icos sco5sπ 1 sin-π 2sin-π2sin-π 5 51 2 2 1=-2 sin5co57 4 sin 故选：D 【变式1-2】sin219°+cos249°+sin19°cos49°= 【答案】3/0.75 【详解】因为c0s49°=cos19°+3091=5 c0s190、 2sin19o, 则sn219r+cos249°+sn19cos49=sn219+5 cos19 2n19+sim19 cos19°_sin19 2 21 =sn219p+7os19+3n1g-5 4 sin 19 cos1 sin19°cos19°-1sin'190 2 2 m219e+cs219=3 3 4 所以sin2'19°+cos249°+sin19°cos49°=3 放等案为： 【变式1-3】著名数学家华罗庚先生被誉为中国现代数学之父”，他倡导的0.618优选法”又称黄金分割法在 生产和科研实践中得到了非常广泛的应用经研究，黄金分制比1=5-」 ≈0.618还可以表示成2sin18°，则 cos12+5tan12=() A.4 B.2 C.1 D. 【答案】C 【详解】由趣意知，t=2sin18°， eo12t5an12.+5m2.2sin18+5n12 则1 cos12 cos12 2sin(30'-12)+√5sim12 2os12-5m12+5sm12 =1 c0s12 c0s12 故选：C 二、给值求值 【例3】已知cos +e则m+ 的值是() A.72 B.-23 C. 7√2 D.25 10 5 10 【答案】A 【详相1因为u引则a+管信引 所以a+[+引引m+引99 故选：A 例4】已知0=asa+p刷-}则na-6osB=（) A c.3 8 D.1G 3 【答案】D 【详】解因为=cosa+l=6-sin inB-} 1 3 即sinasinB=4,可得cos(a-B)=cosa cosB+sisnB= 4 所以sina-cosB--cos2a）-+cos2p例 、 (cos2a+cos2B) =-[cos[(a+B)+(a-B)]+cos[(a+B)-(a-B)] --[cos(a+B)cos(a-B)-sin(a+)sin(a-B)+cos(a+B)cos(a-B)+sin(a+B)sin(a-)] =oma+p1ema-1=-合 故选：D 【变式21已知sma+引-则(2a+} 【答1日 【样1如+-m2a+}引-ma -2+) 故答案为： 7 8 1 【变式2-2】已知sina-cosa= ae0,则2a+到}（) A.-31V2 B.31V2 c.-172 D.172 50 50 50 50 【答案】D 【详解】已知sina-cosa=亏a∈(0，， (sina-cosa)1-sin2ain2asincosa 24,0 25 所以ae引 1 sina 4 sina-cosa = 联立 5,结合sina>cosa>0,解得 5 sin'a+cos'a =1 cosa 5 7 cos2a cos2 a-sin2a = 25 sin 50 故选：D 【变式2-3】已知cos A.4+3V5 B.3+4V5 C.4-35 D.3-4 10 10 10 10 【答案】A 【详解1因为0e0引则9+子e任} mo引e可am+}mp 测sn9=m[0+}引-cw20+引1-2cas0+引 w9=omro引20+}-2m0+m0+ 所以sin 0-引5m20-5ow20445 10 故选：A 三、给值求角 【例5】若cosa-1=5 cos2a=10 ,并且a,B均为锐角，且a<B,则a+B的值为() 10 A 6 B. 4 c西 【答案】C 【详解】由0<a<B<受可得-受a-B<0, 2 5 又cosa-B=5,所以snla-B1=--eosa-=-25 5 因为cos2a=,0<2a<x,所以sin2a=看-cos2a-3而 10 10 cos(a+B)cos 2a-(a-B)=cos2a cos(a-B)+sin 2asin(a-B) -i0x53wi0x25.-2 10510 5 2 又因为a+Be(0,x,所以a+B=3江 4 故选：C 【例6】已知sin2a= ow明=2语，其中-子<a<0<Bca.求 10 4 4 (1)sin(2a-B的值： (2)求角2a-B的值 【答案】①-5 回音 【样10)第同为na号w=-得且-a<0<<,可特-子2山号 10 4 所以o2a=看-n2a-号如月=-orn- 10 sin (2a-B)=sin 2a cos B-cos2a sin B= ×75-4x5-返 5 -102)3*10 2 2)解：由1)知sn(2a-1=-2 2 因为-普<a<子0<B<,可得-<2如 4 2 又圈为aa-子9-如子o-56 3元 4 102 4 所以0<2a导经B<,可得-1<-月<-警所以<2如-B<受 所以2a-B=-3 4 【变式3】已知-晋a<子，m2a}es,则2a-A= 4 10 【答案】妥 【详解1由-骨a晋得-受2加<受 因sin2a= 0.则0<2a<空则cos2a=1-im22a=--号 3 因为0<pc,cosB=-75<0,则<B<,则如B= 1 72 2 10 10 10 则-<-B<-号则-<2a-B<0, 则sin(2a-)=sin2acos阝-cos2 sin B 3 72422 5 105102 cos(2a B)=cos 2a cos B sin 2a sin B 2 则2如-月=平 故答案为： 【答案】 44π 【详解】：0<a<5交<亚+a<2 266 3 10 m目-9m昏-p小2 测sna-=-m[后+ar后-P小 =-cos cos+sina )sin 10.25310,5_550_2 105105502 7 又-受<a-B<受所以a-B=号 故答案为：4 π 【变式33】已知amla-l=m6=7且ae0}Be经 (1)求tana的值： (2)求2a-B的值. 【答案】0 @￥ 11 【译解】①由圈意可得：ana=ama=B+2mA了-； 14 (2)由(1)可知：ana=3 11 tan(2a-B)=tan[(a-B)+a]=tan(a-B)+tand=23= 11 23 0<a<得登B<,则0<2a<受<-B<-号 可得-π<2a-B<0, 3π 故2a-B=- 4 四、三角函数式的化简与证明 【例7】化简与证明： (1)sin)cs). sina (2)cos(a +B)cos(a-B)=cos'B-sin'a. 【答案】()sinE sina (2)证明见详解 【i详解】1)sm(2a+B-2cosa+B)= n[a+(a+B)]-2cos(a+B) sina sina sina cos+)+cosasin()2cs+B) sina =cos(a+B) cosa sin(a+B)2cos(a+B) sina sin(a+β)cosa-cosa+β)sina sina sin[(a+B)-asinB sina sina (2)左边=cosa+B]cos(a-B】 =(cosa cos B-sin a sin B](cosa cos B+sina sin B) cos2 a cos2 B-sin2 a sin2B =(1-sin2a)cos2B-sin2a(1-cos2B) cos2 B-sin2a cos2 B-sin2a +sin2 a cos2 B =cos2B-sin'a :左边=右边，得证 1+sinx sin2x 【例8】化简：cosx 2cos2(江_3 -tan( 421 42 【答案】2sinr-1 【详解】原式-1+sin2 sin xcosx sin(πx 2sin xcosx-2sin() )cos( 42 1+sinx 42 42 cosx 2cos()cos( πX coSx 2c0s2(- 42 42 42 =1+sinx 2sin xcosx-sin( -r) 1+sinx 2sin x cosx-cosx=2sinx-1. cosx 1+cos( -x) coSx 1+sinx 【变式41】化简或证明： sin(a-B)+2 cosa sinβ (1) cosa-β)-2 sina sin B (2) 1+sin 2a+cos2a I 1+sin 2a-cos 2a tanc 【答案】()tana+B】 (2)证明见详解 (sina cos B-cosa sin B)+2cosa sin B 【详解】(1)原式= (cosa cos B+sin a sin B)-2sin a sin B sina cos+cosasinsin()=tan) cosa cos B-sin a sin B cos(a+B) (sin2a+cosa)+2sina cosa +cos2a (sina+cosa)+(sina+cosa)cosa-sina) (2)左边= (sin2a +cos2a)+2sina cosa-cos2a (sina+cosa)-(sina+cosa)(cosa-sina) =cosa 一=右边 sin仪tan 【变式4-2】(1)证明恒等式： sin(a+B)sin(a-B)=tan'a-tanB cos2acos2β sin0 sin20 (2)化简： 1+cos0 cos20 【答案】(1)证明过程见解析 (2)tan0 sin(a+B)sin(a-B) cos'acos'B (sina cos B+sinβcosa):(sina cosβ-sinβcosa) cos'acos2β 【详解】(1)_sin2acos2B--sin'Bcos'a cos'acos'B =sin'a sin'B cos'acosβ =tan2a-tan2β 得证 sin+sin20 1+cos0+cos20 =sin+2sin0cos0 (2) cos0+2cos'0 sin(1+2cos0) cos0(1+2cos0 =tan 【变式43】化简： (1(+sina+cosa) 2-sin a √2+2cosa 2(0<a<m) (2)sin(60°-asina sin(60°+a: (3cosa +cos 3a+cos5a+cos7a sina +sin 3a sin 5a sin 7a 【答案】(1)cosa 10