精品解析：江苏省扬州市邗江区瓜洲中学2024-2025学年高二下学期第一次阶段性检测数学试卷

瓜洲中学2024-2025学年高二春学期第一次阶段性检测 数学试卷 一､单选题. 1. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切点和斜率求得切线方程. 【详解】，故切点为， ，即切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 故选：A 2. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出答案. 【详解】因为，所以，令，则，． 故选：C 3. 函数在区间上的（ ） A. 最小值为0，最大值为 B. 最小值为0，最大值为 C. 最小值为，最大值为 D. 最小值为0，最大值为2 【答案】B 【解析】 【分析】先求得函数的导数，进而得到在区间上单调性，即可求得在区间上最小值和最大值. 【详解】，所以在区间上单调递增， 因此的最小值为，最大值为. 故选：B 4. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】因为函数在点处的切线方程为， 所以，且，所以， 所以． 故选：A. 5. 函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先研究在上的单调性，再结合图象分析讨论的取值范围. 【详解】，则， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 因， 则当在内存在最小值时，有得， 则实数的取值范围是. 故选：C 6. 如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件可得出，然后根据空间向量的减法即可得解． 【详解】，， 是BC的中点， ， ， 故选： 7. 若函数在区间上单调递增，则k取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】关键函数在区间上单调递增，由在上恒成立求解. 【详解】解：因为函数， 所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立； 即在上恒成立； 即在上恒成立； 所以， 故选：C 8. 若对任意的，，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意易知，变形可得，故构造函数，根据函数单调性的定义可得函数在上单调递减，由即可得解. 【详解】对任意的，，且，，易知， 则，所以， 即． 令，则函数在上单调递减． 因为，由，可得， 所以函数的单调递减区间为， 所以，故， 即实数的取值范围为． 故选：C． 二､多选题 9. 下列有关导数的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用求导公式及导数的运算法则逐项计算即得. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数有极大值和极小值，则实数a的值可以是（　　） A. B. C. 6 D. 8 【答案】AD 【解析】 【分析】求导，利用二次方程有两个不相等的实数根即可由判别式求解. 【详解】由题意知有两个不相等的根， 所以， 解得或. 故A、D正确，B、C错误. 故选：AD 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. 若方程有个不等的实根，则 C. 当时， D. 设，若对，，使得成立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数与函数单调性的关系可判断A选项；分析可知方程有个实根，数形结合可判断B选项；利用函数在上的单调性可判断C选项；利用函数值域的包含关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，当且时，， 若，则；若，， 所以，在上单调递减，在上单调递增，A对； 对于B选项，对于函数，该函数的定义域为且， 且，所以，函数为偶函数， 若方程有个不等的实根，则方程有个实根， 当时，且，此时函数单调递减， 当时，且在上单调递减，在上单调递增，， 如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，合乎题意，B对； 对于C选项，函数在上单调递减， 因为，则，即， 因为，故，C错； 对于D选项，函数在上的值域为，函数在上的值域为， 因此，对，，使得成立，则，则，D对. 故选：ABD. 三､填空题 12. 已知函数，则的极小值为______． 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】根据函数的导数与单调性、极值的关系求解. 【详解】函数的定义域为， ， 令，即，得， 令，即，得， 故函数单调递增区间为，单调递减区间为， 故当时，函数取得极小值，极小值为． 故答案为: . 13. 已知函数，其导函数的图象经过点，如图，则下列说法中不正确的是__________填序号 ①当时，函数取得最小值； ②有两个极值点； ③当时函数取得极小值； ④当时函数取得极大值． 【答案】① 【解析】 【分析】由函数图象分析得到是极大值点，是极小值点，从而判断出结论. 【详解】由图象可知，，2是函数的两极值点，所以②正确； 又当或时，，则此时单调递增； 当时，，则此时单调递减， 所以是极大值点，是极小值点，故③④正确， 由于不是极小值点，故当时，函数取不到最小值，①错误. 故答案为：①． 14. 在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】设点的坐标为， 显然这两条曲线的公切线存在斜率，设为， 因此切线方程为， 设曲线的切点为，即， 由，所以过该切点的切线的斜率为， 则有， 设切点为，即， 由，所以过该切点的切线的斜率为， 则有， 由题意可知：，于是有： ，得，或， 当时，则有， 当时，则有， 由可解，. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用导数的几何意义求出公切线的方程. 四､解答题 15. 已知函数在处取得极小值5． （1）求实数a，b的值； （2）当时，求函数的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，，求出，，检验后得到答案； （2）求导，得到函数单调性，进而得到极值和最值情况，得到答案. 【小问1详解】 ， 因为在处取极小值5，所以，得， 此时 所以在上单调递减，在上单调递增 所以在时取极小值，符合题意 所以，． 又，所以． 【小问2详解】 ，所以 列表如下： 0 1 2 3 0 0 1 ↗ 极大值6 ↘ 极小值5 ↗ 10 由于，故时，． 16. 设，函数的单调增区间是． （1）求实数a； （2）求函数的极值． 【答案】（1）2 （2）极小值为，极大值为0. 【解析】 【分析】（1）因为函数的单调增区间是，所以的解集为，由此可求参数的值. （2）求导，分析函数的单调性，可求函数的极值. 【小问1详解】 函数的定义域为： 且 因为函数的单调增区间是， 所以的解集是. 所以方程的解是，， 所以. 【小问2详解】 当时，令，则或 当变化时，，的变化情况如下表： x 1 f'(x) + 0 f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 当时，有极小值； 当时，有极大值. 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数，若曲线在点处的切线平行于轴，只需保证，求实数的值即可； （2）求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可. 【小问1详解】 由题可得， 因为在点处的切线平行于轴，所以， 即，解得，经检验符合题意． 【小问2详解】 因为， 令，得或． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，因为，当且仅当时，， 所以在区间上单调递增． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 18. 已知函数. （1）若函数有两个不同的极值点，求的取值范围; （2）求函数的单调递减区间. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导，可得有两个大于的不等实根，进而可得，求解即可； （2）求导数，对分类讨论可求得单减区间. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得， 令，可得， 因为函数有两个不同的极值点，所以有两个大于的不等实根， 所以，解得. 所以的取值范围为； 【小问2详解】 ， 求导得 ， 令，解得或， 当时，，由，可得， 函数在上单调递减， 当，，由，可得，函数无单调递减区间， 当，，由，可得， 函数在上单调递减， 当时，，由，可得，函数在上单调递减， 综上所述：当时，函数在上单调递减， 当时，函数无单调递减区间， 当时，函数在上单调递减， 当时，函数上单调递减. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若存在正数，使成立，求的取值范围； （3）若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立. 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算，然后分类讨论即可得到单调性； （2）对和两种情况分别讨论，即可得到取值范围是； （3）首先证明单调递减，即得唯一性；然后求导证明对任意的，都有；而对任意的，都有. 再利用该结论证明，从而得到存在性. 最后综合两方面即证得结论. 【小问1详解】 对求导得. 当时，对有，故在上单调递增； 当时，有，而当时，，故当时，当时，从而在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 若，由于，故存在正数使得，条件满足； 若，则由（1）的结论，知在上单调递增，在上单调递减，从而此时对任意的都有，条件不满足. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 设，，我们分唯一性和存在性两方面来证明. 唯一性：由，知的导数等于，而，故显然恒为负，从而在上单调递减. 特别地，在上单调递减. 这表明，使得的至多有一个，从而唯一性得证. 存在性：我们先考虑函数，这里. 由于，故当时，当时，从而在上单调递减，在上单调递增，从而对于任意的，都有，即. 这就得到，对任意，有. 从而，对任意的，都有；而对任意的，都有. 然后回到原题，首先我们有 . 同时我们又有 ，， 故. 由零点存在定理，知一定存在，使得. 综合上述的存在性和唯一性两个方面，知存在唯一的，使得. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，对于存在唯一性的证明，将唯一性和存在性分开论证，则证明的逻辑会更加清晰，不易出现错误. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 瓜洲中学2024-2025学年高二春学期第一次阶段性检测 数学试卷 一､单选题. 1. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A B. C. D. 3. 函数在区间上的（ ） A. 最小值为0，最大值为 B. 最小值为0，最大值为 C. 最小值为，最大值为 D. 最小值为0，最大值为2 4. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（ ） A. B. C D. 7. 若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若对任意的，，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 下列有关导数的运算正确的是（ ） A. B. C D. 10. 已知函数有极大值和极小值，则实数a的值可以是（　　） A. B. C. 6 D. 8 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. 若方程有个不等的实根，则 C. 当时， D. 设，若对，，使得成立，则 三､填空题 12. 已知函数，则的极小值为______． 13. 已知函数，其导函数的图象经过点，如图，则下列说法中不正确的是__________填序号 ①当时，函数取得最小值； ②有两个极值点； ③当时函数取得极小值； ④当时函数取得极大值． 14. 在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为__________． 四､解答题 15. 已知函数在处取得极小值5． （1）求实数a，b值； （2）当时，求函数的最小值． 16. 设，函数的单调增区间是． （1）求实数a； （2）求函数的极值． 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； （2）求函数的单调区间． 18 已知函数. （1）若函数有两个不同的极值点，求的取值范围; （2）求函数的单调递减区间. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若存在正数，使成立，求的取值范围； （3）若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$