江苏省镇江市实验高级中学2024～2025学年高二上学期期中数学复习2

期中复习2(10月14日) 学校 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.已知Sn是等差数列an}的前n项和，若S,=12,S。=40,则S,=() A.44 B.56 C.68 D.84 2.在等比数列(an}中，a2+a4=1,a,+ag=9,则a2=() A.3 B.4 c D. 3.直线x+√3y+1=0的倾斜角是() A.30°B.60°C.120°D.150 4.若过点M(2,1)的直线I与圆0：x2+y2=8交于A,B两点，则弦AB最短时直线1的方程为 () A.2x-y-3=0 B.x+y-3=0 C.x+2y-4=0 D.2x+y-5=0 5.已知数列{an满足am=2n-1,在an,an+1之间插入n个1，构成数列bn:a,1,a2, 1,1,a3,1,1,1,a4,…,则数列bn的前100项的和为() A.211 B.232 C.247 D.256 6.已知数列a,}中，a=l,设S为a,}前项和，2S,=0,若数列色2当的前项和工 ，则若对任意的n∈N,不等式T,<1恒成立，则实数t的取值范围是() A.(-o,-1]U[3,+0】 B.（-o,-3U1,+0) C.[2,+o) D.【-1,3 7.已知直线4：mx+y-3m-4=0过定点A,直线↓2：x-my+8m-6=0过定点B,直线与 直线的交点为P,则PA+PB的最大值为() A.42 B.43 C.5W2 D.8 8.若直线：y=x+b与曲线y=√4-x2有两个交点，则实数b的取值范围是() A.{b-22<b<2V2 B.{b2<B<2N2} 试卷第5页，共15页 C.{b2周<22 D.bb0±2 二、多选题 9.已知数列a}的前项和为S,则下列说法正确的是() A.若S。=n2-11n,则an=2n-12 B.若S。=pg”+r(P,9≠0)，则当r=-P时，{a」是等比数列 C.若数列{a」为等差数列，a,>0,S。=S,则S,>S D.若数列(a}为等差数列，Ss>0,S6<0,则n=8时，Sn最大 10.在平面直角坐标系中，直线/的方程为y=c+m,圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=1, 则() A.若m=0,则直线1与圆C一定相交 B.圆C与圆M:(x-4)2+(y-5)2-16相切 C.若k=m=1,直线/与圆C相交于A、B两点，则AB=V2 D.若k=m=-1,过I上一点P作圆C的两条切线，切点分别为E、F,则EFPC的 最小值为√4 11,瑞士著名数学家欧拉在165年得出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上， 这条直线被称为“欧拉线”，在平面直角坐标系中作ABC,且AB=AC,点B(-1,3),点 C(4,-2),圆M:(x+3)+y2=4,P(x,y)是“欧拉线”上一点，过P可作圆的两条线切，切点 分别为D,E.则下列结论不正确的是() A.ABC的“欧拉线”方程为y=r-1B.圆M上存在点N,使得∠MPN= 6 C.四边形PDME面积的最大值为4D.直线DE恒过定点 三、填空题 12.已知等比数列(an}满足a。+a1=1,a,ao=-2,则a1+a16= 13.若直线4：2x-y+m=0与直线4：-(m-)y-3=0平行，则m=;直线与Z的 距离为」 14.已知圆C:x2+(y-2)2=5,圆C,过点2，-1且与圆G相切于点(2,1，则圆C,的方程 试卷第6页，共15页 为 四、解答题 a。-1,n为奇数 15.已知数列{an}满足a,=5,a1= a+3。n偶数，6=a ()证明：{b}是等差数列： (2)设c,=(-1)b,求{C}前10项的和. 16.如图，某海面上有O、A、B三个小岛（而积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45 方向距O岛40、互千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的 正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三 点。 北 (1)求圆C的标准方程： (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正 沿着北偏东60°行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 17.已知直线4：x+(2m-2y=0,42:2mx+y-2=0,且满足L⊥12，垂足为C. 1)求m的值及点C的坐标， (2)设直线I与x轴交于点A,直线马与x轴交于点B,求ABC的外接圆方程 18.已知数列(an}和数列(bn},S为数列an}的前项和，S=2a,-2, nb1-(n+l)b,=n2+nn∈N）,a2=4b ()求数列{an}和数列(bn}的通项公式： ②)若数列c,}满足c,=h,一求数列c,}的前项和T 19.设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长的比为3：1， 试卷第5页，共15页 (1)若圆M满足条件①②，圆心在第一象限，且到x轴，y轴距离相等，求圆M的标准方 程： (2)设圆W与直线x=1-5互相切，与满足(1)的圆M外切，且圆心在直线x=1上，求圆 N的标准方程： (3)在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线1：X一2y=0的距离最小的圆的方程. 试卷第6页，共15页 期中复习2（10月14日） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．44 B．56 C．68 D．84 【答案】D 【分析】利用等差数列的前n项和性质：，，成等差数列可求. 【详解】由题意可得，，成等差数列， 所以， 因为，， 则，解得. 故选：D. 2．在等比数列中，，，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质可知，由此可求出，再根据等比数列的通项公式和，计算即可求出结果. 【详解】因为，，所以. 因为，所以. 故选：D 3．直线的倾斜角是（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角. 【详解】. 设其倾斜角为，则，又， 则，即倾斜角为150°. 故选：D- 4．若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可知，当最短时，直线，即可得到，从而得到结果. 【详解】   当最短时，直线，所以. 又，所以， 所以的方程为，即. 故选：D 5．已知数列{an}满足an＝2n﹣1，在an，an+1之间插入n个1，构成数列{bn}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，则数列{bn}的前100项的和为（    ） A．211 B．232 C．247 D．256 【答案】D 【分析】理解题意，找到数列{bn}的规律，通过分组，“1”一组，一组，找到前100项中的个数以及“1”的个数，然后进行求和. 【详解】数列{an}满足an＝2n﹣1，在an，an+1之间插入n个1，构成数列{bn}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…， 所以共有n+[1+2+…+（n﹣1）]＝n个数， 当n＝13时，， 当n＝14时，， 由于an＝2n﹣1， 所以S100＝（a1+a2+…+a13）+（100﹣13）×1＝132+87＝256. 故选：D. 6．已知数列中，，设为前项和，，若数列的前项和，则若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，推得时，可得，利用累乘法，求得数列的通项公式为，得到，结合错位相减法求和，求得，得到，进而求得实数的取值范围. 【详解】由为前项和，且， 当时，，解得， 当时，，则，可得， 当时，可得，所以， 当或时，，适合上式， 所以数列的通项公式为，可得， 所以， 则， 可得， 所以，因为，所以， 又因为对任意的，不等式恒成立，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 7．已知直线过定点，直线过定点，直线与直线的交点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线过定点的求法到，再判断得，从而得到点为以为直径的圆上的点，进而得到的值，最后利用不等式求最值即可得解. 【详解】直线的方程可整理为，令，解得，所以， 直线的方程可整理为，令，解得，所以， 又对于直线与直线， 因为，所以， 所以两直线的交点为以为直径的圆上的点， 而，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以. 故选：C. 8．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线与曲线相切时实数的值，再结合图象，即可得到答案； 【详解】化简方程可得， 方程对应的曲线为以为圆心，以2为半径的圆在轴上方的部分（含点,）； 当直线与半圆相切时，，， 所以， 当直线过点时，， 所以实数的取值范围为， 故选：C. 二、多选题 9．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则当时，是等比数列 C．若数列为等差数列，，，则 D．若数列为等差数列，，，则时，最大 【答案】AD 【分析】利用题设条件及等差等比数列性质以及前项和公式，一一验证即可. 【详解】对于选项A：， ， ，又， 则时也符合，故若，则，故选项A正确； 对于选项B：当时，，此时， 数列不是等比数列，故选项B错误； 对于选项C：数列为等差数列，，， ，，，， 故选项C错误； 对于选项D：数列为等差数列，，， ，即， ，即， ，时，最大，故选项D正确； 综上所述：选项AD正确， 故选：AD. 10．在平面直角坐标系中，直线的方程为，圆的方程为，则（    ） A．若，则直线与圆一定相交 B．圆与圆相切 C．若，直线与圆相交于、两点，则 D．若，过上一点作圆的两条切线，切点分别为、，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】对A：结合直线与圆的位置关系计算即可判断；对B：求出两圆圆心距与半径之间的关系即可得；对C：借助垂径定理计算即可得；对D：结合切线性质可得，结合点到直线的距离公式求出的最小值即可得解. 【详解】对A：若，则直线过原点，有， 故原点在圆C外，所以直线l与圆C不一定相交，故A错误； 对B：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 两圆的圆心距，故两圆外切，故B正确； 对C：若，则直线的方程为， 圆心C到直线的距离， 所以，故C正确； 对D：如图，由题设及圆的切线性质可得，， 直线的方程为，的最小值为圆心C到直线的距离， 则的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 11．瑞士著名数学家欧拉在1765年得出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被称为“欧拉线”，在平面直角坐标系中作，且，点，点，圆是“欧拉线”上一点，过P可作圆的两条线切，切点分别为．则下列结论不正确的是（   ） A．的“欧拉线”方程为 B．圆M上存在点N，使得 C．四边形面积的最大值为4 D．直线恒过定点 【答案】ABD 【分析】由题意求出中点为的坐标，根据欧拉线的定义求出欧拉线的方程即直线的方程，再利用圆和圆的切线的性质判断各选项. 【详解】设中点为，因为,所以, 因为，所以， 且，所以， 由题意可得欧拉线为直线，则欧拉线的方程为， 即，故A正确; 由圆的切线性质可得， 设，则， 在中， 由二次函数的性质得当时，取最小值， 所以，即的最大值为， 所以,所以圆M上存在点N，使得,故B正确: 由圆的切线的定义可知, 所以, 又因为，且， 所以即四边形面积的最小值为4，故C错误; 设，因为， 所以四点共圆，其中为直径，设PM中点， 则， 所以圆为， 所以为圆和圆的相交弦，两圆方程相减得方程为， 即，由，解得过定点，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．已知等比数列满足，则 . 【答案】 【分析】利用基本量法可求与公比，故可求. 【详解】设公比为. 因为，故，解得或者， 若，则且，此时， 若，则且，此时， 故答案为：. 13．若直线与直线平行，则 ；直线与的距离为 ． 【答案】 2 【分析】与平行，需要满足的条件为：且或 【详解】与平行，故且，解得：且，综上：；此时，，两平行线的距离为 故答案为：2， 14．已知圆，圆过点且与圆相切于点，则圆的方程为 . 【答案】 【分析】由两圆外切，两圆心所在直线与圆中弦的垂直平分线交点即为，再求出半径，即可得圆的方程. 【详解】如图所示： 过点和的直线方程为，以点和点为端点的线段的垂直平分线为. 由得，则圆的半径， 所以圆的方程为. 故答案为： 四、解答题 15．已知数列满足，， (1)证明：是等差数列； (2)设，求前10项的和． 【答案】(1)证明见解析 (2)240 【分析】（1）根据递推关系及等差数列的定义证明即可； （2）根据并项求和即可得解. 【详解】（1）∵ ∴， 又，， 是以3为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知，， ∴ ∴前10项的和为 . 16．如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点． (1)求圆C的标准方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险 【分析】 （1）由图中坐标系得坐标，设出圆的一般方程，代入三点坐标求解，然后把一般方程配方得标准方程； （2）先求出航行方向所在直线方程，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得． 【详解】（1）如图所示，， 设过O、A、B三点的圆C的方程为， 得：，解得， 故所以圆C的方程为， 圆心为，半径， （2）该船初始位置为点D，则， 且该船航线所在直线l的斜率为, 故该船航行方向为直线， 由于圆心C到直线l的距离， 故该船没有触礁的危险 17．已知直线，，且满足，垂足为. (1)求的值及点的坐标. (2)设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的外接圆方程. 【答案】(1)；. (2) 【分析】（1）根据题意，求得两直线的斜率，结合，求得，得出直线的方程，联立方程组，求得交点坐标. （2）由（1）中的直线方程，求得，，得到的外接圆是以为直径的圆，求得圆心坐标和半径，即可求解. 【详解】（1）解：显然，可得，， 由，可得，即，解得， 所以直线：，直线：， 联立方程组，解得，所以点． （2）解：由直线：，直线：，可得，， 所以的外接圆是以为直径的圆，可得圆心，半径， 所以的外接圆方程是． 18．已知数列和数列，为数列的前项和，，，. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用判断为等比数列，再求通项公式；又因为，解得，再证明为常数即可求解； （2）由（1）得，然后利用裂项相消法即可. 【详解】（1）已知①， 当时，，得， 当时，②， ①-②得：，即， 又，，则， 所以是首项为，公比为的等比数列，则 因为，所以， 又由，得， 所以是首项为，公差为的等差数列，则，即 （2）由（1）得， 则 19．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1， （1）若圆M满足条件①②，圆心在第一象限，且到x轴，y轴距离相等，求圆M的标准方程； （2）设圆N与直线相切，与满足（1）的圆M外切，且圆心在直线x=1上，求圆N的标准方程； （3）在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程． 【答案】（1）；（2）或；（3）或. 【分析】（1）由条件设圆M方程（），条件②说明M点及圆M与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，再由条件①，列出a,r的方程组可得. （2）设圆N：，由圆N与直线相切，与满足（1）的圆M外切，列方程组求解. （3）设圆C：，由条件①②得到a,b关系，再利用基本不等式求C到的距离的平方何时取最小值，得所求圆方程. 【详解】（1）设圆心为，半径为r． 则P到到x轴，y轴距离分别为∣b∣和∣a∣． 由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为，故圆截x轴所得弦长为． 所以，又圆截y轴所得弦长为2．所以， 故 又因为圆心在第一象限，且到x轴，y轴距离相等，则， 则所求圆的标准方程为； （2）设圆N：，由圆N与直线相切，与满足（1）的圆M外切，所以，得，或所以圆方程为或； （3）由（1）知：，又因为P圆心到直线l：x－2y=0的距离为：所以， 当且仅当a=b时取“=”号，此时．此时或，. 故所求圆的标准方程为或. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，利用不等式求最值，考查方程的思想、运算能力，属于中档题. 试卷第6页，共15页 试卷第5页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$