精品解析：江苏省扬州市广陵区2024-2025学年上学期期末调研九年级数学试题

2024-2025学年第一学期期末调研考试九年级数学试题 说明： 1．本试卷共6页，包含选择题（第1题～第8题，共8题）、非选择题（第9题～第28题，共20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔作答，非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效． 3．如有作图需要，请用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 为筹备班级联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果做了民意调查，然后决定买什么水果，最值得关注应该是统计调查数据的（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 3. 的半径为，同一个平面内有一点，且，则与的位置关系是（ ） A. 在圆外 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 无法确定 4. 暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，当时，函数y的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（　　）． A. 60° B. 50° C. 40° D. 20° 7. 如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨，若设平均每年增产的百分率为，则所列方程为___． 10. 关于x的方程有两个相等实数根，则m的值为______． 11. 某公司全体员工年薪如表所示，则该公司全体员工年薪的中位数是____万元． 年薪/万元 50 30 20 10 8 6 5 员工数/人 1 1 2 3 11 9 3 12. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m． 13. 若圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为________．（结果保留π）． 14. 如图是一个可以自由转动的转盘，如果转动一次转盘，转盘中阴影部分的扇形的圆心角度数为120°．则停止后指针指向阴影部分的概率是_____． 15. 如图，在中，，点D是外接圆上的一点，已知，则____°． 16. 如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC=_______°． 17. 已知，，三点在二次函数图象上，则将，，按照从小到大的顺序排列为________． 18. 如图，一个由8个正方形组成的“”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点，，，，都在矩形的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边的长为__________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 某校七年级一班和二班各派出10名学生参加一分钟跳绳比赛，成绩如下表： 跳绳成绩（个） 132 133 134 135 136 137 一班人数（人） 1 0 1 5 2 1 二班人数（人） 0 1 4 1 2 2 （1）两个班级跳绳比赛成绩的众数、中位数、平均数、方差如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 a 135 135 c 二班 134 b 135 1.8 表中数据a＝ ，b＝ ，c＝ ； （2）请用所学统计知识，从两个角度比较两个班跳绳比赛的成绩． 21. 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________． （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明） 22. 如图，学校准备修建一个面积为48m2矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？ 23. 小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组与的对应值． … … … … （1）求该二次函数的表达式； （2）该二次函数的图象与直线恒有两个交点，，请直接写出的取值范围． 24. 如图，在中，，以为直径的与交于点为上一点，且． （1）求的长； （2）若，判断直线与的位置关系，并说明理由． 25. 某商场以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为60元时，月销量达到40件，现决定降价促销，提高利润，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加2件． （1）求出月销售量y（件）与售价x（元）之间的关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）当售价定为何值时，该商品月销售利润最大，求最大利润． 26. 如图，在等边三角形中，点是边上一动点（点不与端点重合），作，交边于点，交边于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 27. 阅读下面的问题及其解决途径．结合阅读内容，完成下面的问题． （1）填写下面的空格． 问题：将函数的图象向左平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？ （2）将函数的图象沿轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式为 　　． （3）将函数 ，，是常数，的图象先向左平移个单位长度，再沿轴翻折，最后绕原点旋转，求所得到的图象对应的函数表达式． 28 如图， （1）如图1，在矩形中，于点H，交于点E．求证：； （2）如图2，在四边形中，．E是边上的一动点，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．试探究是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由； （3）如图3，在中，，将沿翻折得到，点E，F分别在边上，连接．若，且=，则 的值为　　　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期末调研考试九年级数学试题 说明： 1．本试卷共6页，包含选择题（第1题～第8题，共8题）、非选择题（第9题～第28题，共20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔作答，非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效． 3．如有作图需要，请用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， 即， 解得：，， 故选：C． 2. 为筹备班级联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果做了民意调查，然后决定买什么水果，最值得关注的应该是统计调查数据的（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择． 【详解】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然是为筹备班级的初中毕业联欢会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数． 故选：C． 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义． 反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 3. 的半径为，同一个平面内有一点，且，则与的位置关系是（ ） A. 在圆外 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径即可得到结论． 【详解】解：的半径为， ， 点在圆外． 故选：A． 4. 暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况， ∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为： 故选B 5. 已知二次函数，当时，函数y的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题意得二次函数的对称轴为直线，进而可根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，二次函数有最小值，即为：． 故选：D． 6. 如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（　　）． A. 60° B. 50° C. 40° D. 20° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的的大小. 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查圆弧性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握． 7. 如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握“三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 解得：， 故选C． 8. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H， ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨，若设平均每年增产的百分率为，则所列方程为___． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每年增产的百分率为，则第一年粮食的产量为：，第二年粮食的产量为：，根据题意列方程即可． 【详解】解：设平均每年增产的百分率为； 第一年粮食的产量为：； 第二年粮食的产量为：； 依题意，可列方程：； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用——增长率问题，找到等量关系是解题的关键． 10. 关于x的方程有两个相等实数根，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论． 【详解】方程有两个相等实数根， ， 解得：， 故答案为：1． 11. 某公司全体员工年薪如表所示，则该公司全体员工年薪的中位数是____万元． 年薪/万元 50 30 20 10 8 6 5 员工数/人 1 1 2 3 11 9 3 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查中位数．根据表格中的数据，可以先计算出总的员工数，再根据中位数的定义即可得出答案． 【详解】解：员工人数为：（人， 则中位数为：（万元）， 故答案为：8． 12. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，然后相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵和均为直角 ∴， ∴， ∴ ∵， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 13. 若圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为________．（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积求法，掌握相应公式是解题的关键．圆锥的侧面积底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径长为，母线长为， ∴圆锥的侧面积， 故答案为：． 14. 如图是一个可以自由转动的转盘，如果转动一次转盘，转盘中阴影部分的扇形的圆心角度数为120°．则停止后指针指向阴影部分的概率是_____． 【答案】． 【解析】 【分析】圆心角的度数与的比即为指向阴影部分的面积． 【详解】解：P（指向阴影）＝＝， 故答案为． 【点睛】本题考查了几何型概率问题；熟知概率公式与是本题的关键． 15. 如图，在中，，点D是外接圆上的一点，已知，则____°． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，最后进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：60． 16. 如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC=_______°． 【答案】130 【解析】 【分析】先作出弧AC所对的圆周角∠D，如图，根据圆周角定理得到∠D=∠AOC=50°，然后根据圆内接四边形的性质求∠ABC的度数． 【详解】如图，在以A、C为端点的优弧上取一点D（不与A、C重合），连接AD、CD， ∵∠AOC=100°， ∴∠D=50°， ∵四边形ABCD是⊙O的内角四边形， ∴∠ABC+∠D=180°， ∴∠ABC=180°-50°=130°. . 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质． 17. 已知，，三点在二次函数图象上，则将，，按照从小到大的顺序排列为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出，，的值，比较后即可得出结论． 【详解】解:∵.点，，三点在二次函数的图象上， ∴；；， ∴， 故答案为：． 18. 如图，一个由8个正方形组成的“”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点，，，，都在矩形的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长交于点，连接，根据题意求得的长，设，先证明，再证明，，分别求出矩形的四边，根据矩形对边相等列方程组求得的值，进而求得的值． 【详解】小正方形的面积为1，则小正方形的边长为， 如图，延长交于点，连接， ，， 四边形是正方形， ， ， 设， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 即① ② 联立 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解二元一次方程组，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得，． 【小问2详解】 解： ∴ ∴， 20. 某校七年级一班和二班各派出10名学生参加一分钟跳绳比赛，成绩如下表： 跳绳成绩（个） 132 133 134 135 136 137 一班人数（人） 1 0 1 5 2 1 二班人数（人） 0 1 4 1 2 2 （1）两个班级跳绳比赛成绩的众数、中位数、平均数、方差如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 a 135 135 c 二班 134 b 135 1.8 表中数据a＝ ，b＝ ，c＝ ； （2）请用所学的统计知识，从两个角度比较两个班跳绳比赛的成绩． 【答案】（1）a＝135，b＝134.5，c＝1.6；（2）①从众数（或中位数）来看，一班的成绩好于二班；②一班和二班的平均成绩相同，说明他们的水平相当；③一班成绩比二班稳定． 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数以及方差的计算公式分别进行解答即可； （2）①从众数（或中位数）来看，一班成绩比二班要高，所以一班的成绩好于二班； ②一班和二班的平均成绩相同，说明他们的水平相当； ③一班成绩的方差小于二班，说明一班成绩比二班稳定． 【详解】解：（1）一班跳135个的人数最多，所以众数是135（个），即a＝135； 二班成绩由低到高排列后第5个、第6个成绩分别是134和135，所以中位数是134.5(个)，即b＝134.5； 一班的方差是： 故答案是：a＝135，b＝134.5，c＝1.6． （2）①从众数（或中位数）来看，一班成绩比二班要高，所以一班的成绩好于二班； ②一班和二班的平均成绩相同，说明他们的水平相当； ③一班成绩的方差小于二班，说明一班成绩比二班稳定． 【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的定义，从表中得到必要的信息是解题的关键． 21. 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________． （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的结果数，进而求出概率． 【小问1详解】 解：搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为； 【小问2详解】 如图，画树状图如下： 所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个， ∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率为：． 【点睛】本题考查简单随机事件的概率计算，利用列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件． 22. 如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？ 【答案】围成矩形的长为8m、宽为6m 【解析】 【详解】试题分析：设宽为xm，则长为（20﹣2x）m，然后根据48平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题． 解：设宽为x m，则长为（20﹣2x）m． 由题意，得 x•（20﹣2x）=48， 解得 x1=4，x2=6． 当x=4时，20﹣2×4=12＞9（舍去）， 当x=6时，20﹣2×6=8． 答：围成矩形的长为8m、宽为6m． 考点：一元二次方程的应用． 23. 小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组与的对应值． … … … … （1）求该二次函数的表达式； （2）该二次函数的图象与直线恒有两个交点，，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）该二次函数的表达式为 （2） 【解析】 【分析】（1）由表格知二次函数的顶点为，故可设二次函数，又图象过，可得，求出的值即可求解； （2）由（1）得，令，从而可得，故，又二次函数的图象与直线恒有两个交点，，进而可得，解出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由表格数据集合二次函数图象对称性可得图象顶点为， 设二次函数的表达式为， 将代入得， 解得：， 该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）得， 令， ， ， 二次函数的图象与直线恒有两个交点，， ， ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 24. 如图，在中，，以为直径的与交于点为上一点，且． （1）求的长； （2）若，判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）相切，见解析 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形内角和定理，弧长的计算，圆周角定理，正确地找出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理和弧长公式即可得到结论； （2）连接，根据三角形的内角和定理得到，求得，根据三角形内角和定理得到，根据切线的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：连接 ，为直径， ∴的长； 【小问2详解】 直线与相切， 理由：连接， ∵是的直径， ∴直线与相切． 25. 某商场以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为60元时，月销量达到40件，现决定降价促销，提高利润，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加2件． （1）求出月销售量y（件）与售价x（元）之间的关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）当售价定为何值时，该商品月销售利润最大，求最大利润． 【答案】（1）月销售量y（件）与售价x（元）之间的关系式为，自变量x的取值范围为 （2）当售价定为55元时，利润最大，最大利润为1250元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润××销售量列出函数解析式． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式，然后根据销量大于0，销售价不低于成本求出自变量的取值范围即可； （2）根据利润=单件利润××销售量列出函数解析式，然后二次函数的性质求出函数最大值． 【小问1详解】 解：∵该商品每降1元，销售量增加2件, ∴， ∴月销售量y（件）与售价x（元）之间的关系式为； ∵， ∴， ∴， ∵某商场以每件30元的进价购进一批商品， ∴； 【小问2详解】 解：设该商品月销售利润， 开口向下， 在时，有最大值， 把代入 当售价定为55元时，利润最大，最大利润为1250元． 26. 如图，在等边三角形中，点是边上一动点（点不与端点重合），作，交边于点，交边于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，而，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由，，求得，，由相似三角形的性质得出，求得，得出答案． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 27. 阅读下面的问题及其解决途径．结合阅读内容，完成下面的问题． （1）填写下面的空格． 问题：将函数的图象向左平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？ （2）将函数的图象沿轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式为 　　． （3）将函数 ，，是常数，的图象先向左平移个单位长度，再沿轴翻折，最后绕原点旋转，求所得到的图象对应的函数表达式． 【答案】（1），y， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据材料可得将向右平移个单位后，坐标为，再将坐标代入原函数解析式． （2）设函数的图象的任意点坐标为，求出点沿轴翻折后坐标，进而求解． （3）设变换后新的函数图像上任意点的坐标为然后将点绕原点旋转，再沿轴翻折，再向右平移个单位长度，得出点变换后的坐标代入原解析式求解． 【小问1详解】 解：将向右平移个单位后，坐标为， 平移后的图象对应的函数表达式为， 故答案为：，y，． 【小问2详解】 设函数的图象的任意点坐标为，将关于轴翻折后得到， ∴翻折后的图象对应的函数表达式为． 故答案为：． 【小问3详解】 方法一 设变换后新的函数图像上任意点的坐标为． 将点绕原点旋转，得点． 将点沿轴翻折，得点． 将点向右平移个单位长度，得点． 因为点在函数的图像上， 所以． 即所得到的图像对应的函数表达式是． 方法二 原函数可化为． 将函数的图像向左平移1个单位长度，得函数的图像． 将函数的图像沿y轴翻折，得函数的图像． 将函数的图像绕原点旋转180°，得函数的图像． ∴所得到的图像对应的函数表达式是． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，解题关键是掌握二次函数图象的几何变换，掌握二次函数与方程的关系． 28. 如图， （1）如图1，在矩形中，于点H，交于点E．求证：； （2）如图2，在四边形中，．E是边上的一动点，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．试探究是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由； （3）如图3，在中，，将沿翻折得到，点E，F分别在边上，连接．若，且=，则 的值为　　　． 【答案】（1）见解析 （2）是定值， （3）3 【解析】 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可证明； （2）过点作交延长线于点，首先证明四边形为矩形，易得，，再证明，由相似三角形的性质可得，然好由勾股定理解得，即可证明，即可获得答案； （3）过点作于点，交于点，作于点，证明，易得，再证明，由相似三角形的性质可得，由折叠的性质可得，，设，则，由勾股定理可得，然后由角平分线的性质定理可得，结合，可求得，证明，列出比例式求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 是定值， 如下图，过点作交延长线于点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值； 【小问3详解】 如下图，过点作于点，交于点，作于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形判定与性质、相似三角的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，综合性较强，属于压轴题，解题关键是正确作出辅助线，综合运用相似三角形的性质解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$