精品解析：河南省南阳市桐柏县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024年秋期期中学情调研 九年级数学 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 计算结果是（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 2. 数学课上，老师和同学们做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上的频数 53 98 156 202 244 若抛掷硬币的次数为2000，则“正面朝上”的频数最接近（ ） A. 400 B. 600 C. 1000 D. 1600 3. 抛物线的顶点坐标是（　　） A B. C. D. 4. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（       ） A. B. C. D. 距离不确定 5. 若一元二次方程的两个不相等的实数根为，，则的值是（  ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，分别为的中点，则的面积与四边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数为常数，且的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为米，宽为米，种植面积为平方米，设修建的路宽为米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（ ） A. 7米 B. 6米 C. 5米 D. 4米 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. ______． 12. 若二次函数的图象经过原点，则的值为______． 13. 盒子里有1个黄球、1个绿球、2个白球，除去颜色不同其他都相同，现在从里面一次取出两个球，则取出两个白球的概率是____． 14. 如图，在中，，，，则______． 15. 二次函数的图像如图所示，下列式子：①，②，③，④，⑤，其中正确的有______．（填编号）． 三、解答题（8个题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）； 18. 如图，矩形中，点是边上的点，且，，． （1）求证：； （2）求证：． 19. 今年超市以每件20元的进价购进一批商品，当商品售价为每件30元时，六月份销售500件、七、八月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，八月份的销售量达到720件， （1）求七、八这两个月销售量的月平均增长百分率， （2）经市场预测，九月份的销售量将与八月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销售量增加180件，当商品降价多少元时，商场九月份可获利8100元？ 20. 如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． （1）请求出的长； （2）按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 21. 已知关于x方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程两个实数根为，求代数式的值． 22. 已知抛物线经过，． （1）求抛物线的表达式和顶点坐标 （2）已知点在抛物线上，抛物线与轴另一个交点为，求面积； （3）当时，的取值范围； （4）过轴上的点作轴的垂线，若直线与抛物线在部分有一个交点，求的取值范围（不用书写过程）． 23. 如图，在中，，点D是边的中点，连接，点E在上，连接，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）如果，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期期中学情调研 九年级数学 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的除法运算法则直接计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2. 数学课上，老师和同学们做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上的频数 53 98 156 202 244 若抛掷硬币的次数为2000，则“正面朝上”的频数最接近（ ） A. 400 B. 600 C. 1000 D. 1600 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解在大量重复试验中，可以用频率估计概率． 随着实验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可． 【详解】解：， 观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到附近， 所以抛掷硬币的次数为2000，则“正面朝上”的频数最接近次， 故选：C． 3. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数顶点式求抛物线的顶点坐标等知识．二次函数的顶点坐标为，据此即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：D． 4. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（       ） A. B. C. D. 距离不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵是斜边的中线，， ∴， ∴M，C两点间的距离为， 故选：B． 5. 若一元二次方程的两个不相等的实数根为，，则的值是（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此得到即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根为，， ∴， 故选：A． 6. 如图，在中，分别为的中点，则的面积与四边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵在中，分别为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于的面积与四边形的面积之和， ∴的面积与四边形的面积比为， 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，锐角三角函数，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．根据菱形的性质可知，，再结合特殊角的三角函数值，求出的长，即可得到点的坐标． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形，， ，， 中，， ， ， 点在轴负半轴上， ， 故选：A 8. 已知二次函数为常数，且的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，分别计算，，时的函数值，再比较大小即可. 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ， ， ， ， 故选：D． 9. 如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为米，宽为米，种植面积为平方米，设修建的路宽为米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键．假设出修建的路宽为米，利用图形的平移法，将种植地平移拼接为长方形，即可列出方程． 【详解】解：设修建的路宽为米， 根据题意可列方程为， 故选：C． 10. 如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（ ） A. 7米 B. 6米 C. 5米 D. 4米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用表示点的坐标，将点坐标代入抛物线解析式求出，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， 点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值混合运算，把特殊角的三角函数值代入计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 12. 若二次函数图象经过原点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查二次函数的基本性质，注意二次函数的二次项系数不能为0，这是容易出错的地方．利用待定系数法，转化为方程解决问题即可，注意二次项系数不能为0． 【详解】解：∵二次函数的解析式为：， ∴， ∴， ∵二次函数的图象经过原点， ∴， ∴或2， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 盒子里有1个黄球、1个绿球、2个白球，除去颜色不同其他都相同，现在从里面一次取出两个球，则取出两个白球的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查树状图法或列表法．根据题意画树状图，列出所有等可能的情况数，再找出两次摸到白球的情况数，利用概率公式即可得出答案． 【详解】解：由题意，画树状图如下： 总共有12种情况，取出两个白球的情况有2种，所以两次摸到白球的概率． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过点作于点，先在中，解直角三角形可得的长，再在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 二次函数的图像如图所示，下列式子：①，②，③，④，⑤，其中正确的有______．（填编号）． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线的对称轴位置确定b的范围，然后根据抛物线与x轴交点的个数及时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知，对称轴为直线， ∴， ∴， 故①错误，②正确， ②∵时，， ∴， 故③错误， ③∵抛物线与x轴有交点， ∴， ∴， 故④正确， ⑤∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确， 故答案为：②④⑤． 三、解答题（8个题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，正确计算是解题的关键： （1）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式展开，再根据二次根式的加减运算计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）利用因式分解法求解； （2）利用公式法求解； （3）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， 解得，； 【小问3详解】 解：， ， ， 或， 解得，． 18. 如图，矩形中，点是边上的点，且，，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和矩形的性质． （1）先求出，，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明结论； （2）先证明，进而得出，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：矩形中，，，， ，， ∵且， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ． 19. 今年超市以每件20元的进价购进一批商品，当商品售价为每件30元时，六月份销售500件、七、八月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，八月份的销售量达到720件， （1）求七、八这两个月销售量的月平均增长百分率， （2）经市场预测，九月份的销售量将与八月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销售量增加180件，当商品降价多少元时，商场九月份可获利8100元？ 【答案】（1） （2）降价5元 【解析】 【分析】（1）设平均增长率为x，根据六月份、八月份销量列一元二次方程，即可求解； （2）设商品降价y元，用含y的代数式表示出九月份销量及单件利润，根据获利8100元列一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设平均增长率为x， 由题意知， 解得，（不合题意，舍去）， 答：七、八这两个月销售量的月平均增长百分率为； 【小问2详解】 解：设当商品降价y元时，商场九月份可获利8100元， 由题意知， 整理得， 解得解得，， 为了减少库存，且降价越多，销量越大， 取， 答：当商品降价5元时，商场九月份可获利8100元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据销量、利润、进价、售价之间的关系正确列出一元二次方程． 20. 如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． （1）请求出的长； （2）按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 【答案】（1）2.6米 （2）该车库入口的限高数值为2.4米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线． （1）根据，得出，即，求出米，得出（米）； （2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米．　　 ∵米， ∴（米）； 【小问2详解】 解：过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米， ∴， 解得， ∴（米）， 答：该车库入口限高数值为2.4米 21. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，求代数式的值． 【答案】（1）见解析 （2）0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴方程总有实数根； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得，，， ∴ ． 22. 已知抛物线经过，． （1）求抛物线的表达式和顶点坐标 （2）已知点在抛物线上，抛物线与轴另一个交点为，求的面积； （3）当时，的取值范围； （4）过轴上的点作轴的垂线，若直线与抛物线在部分有一个交点，求的取值范围（不用书写过程）． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，把解析式化为顶点式，即可求得顶点坐标； （2）求得的坐标，然后根据三角形面积公式即可求解； （3）根据二次函数的性质即可求解； （4）求得和时的函数值以及顶点坐标，即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得：， 抛物线的表达式为， ， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：，， 则， 当时，， 则， ； 【小问3详解】 解：， 当时，有最小值， 当时，，当时，， 当时，的取值范围为； 【小问4详解】 解：当时，，当时，， 抛物线与轴的交点为，顶点坐标为， 当或时，直线与抛物线在部分有一个交点． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与轴的交点，二次函数的图象与直线的交点问题，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 23. 如图，在中，，点D是边的中点，连接，点E在上，连接，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）如果，求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是确定相似三角形，并证明三角形相似： （1）根据，证明即可； （2）先得到，等量代换得到，推出，得到，即可； （3）证明，推出，再根据，代换后即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 【小问2详解】 证明：， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $