精品解析：江西省赣州市龙南市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

龙南市2024—2025学度第一学期初中期末考试试卷 八年级 数学 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．选项中的图形不是轴对称图形，故A错误； B．选项中的图形不是轴对称图形，故B错误； C．选项中的图形不是轴对称图形，故C错误； D．选项中的图形是轴对称图形，故D正确． 故选：D． 2. 的计算结果为（ ） A. 6 B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算，即可得出结论． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】此题考查了负整数指数幂的运算，掌握负指数幂的运算法则是解题的关键． 3. （ x3y2+x2z）÷ x2等于（ ） A. xy+xz B. －x2y4+x2z C. xy2+z D. xy4+x2z 【答案】C 【解析】 【详解】（ x3y2+x2z）÷ x2= x3y2÷ x2+x2z÷ x2= xy2+z, 故选C. 4. 若分式的值为零，则x的值是（　　） A. ±3 B. ﹣3 C. 3 D. ﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件列式求值即可． 【详解】解：∵分式的值为零 ∴，解得：x＝﹣3． 故选B． 【点睛】本题主要考查了分式为零的条件，分式为零的条件是分子为零、分母不为零． 5. 如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握其运用是解题的关键．根据垂直平分线的性质可得，则，可得的值，根据的周长的计算方法即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴ ∵的周长为，即， ∴， ∵的周长为，且， ∴． 故选：C． 6. 在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座高的山．乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少．如果设甲组的攀登速度为，那么下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设甲组的攀登速度为x m/min，则乙组的攀登速度为1.2 xm/min，根据时间=路程÷速度，结合乙组到达顶峰所用时间比甲组少15 min，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】设甲组的攀登速度为x m/min，则乙组的攀登速度为1.2m/min， 依题意得： 故选：B. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 把数用科学记数法表示为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 8. ____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂运算，根据零指数幂运算法则，进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 9. 计算：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查同分母分式减法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同分母分式相减，分母不变，分子相减即可得答案． 【详解】解：． 故答案为： 10. 因式分解：____________. 【答案】 【解析】 【分析】先把多项式交换两个加数的位置发现：能把多项式化成平方差的形式，利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，能发现多项式变性后符合平方差公式的特点是解题的关键． 11. 某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长b为的正方形的花坛、学生会提出两个方案： 方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为； 方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为； 具体数据如图所示，则______．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，整式的加减，正确识别图形是解题的关键．根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：方案一：如图1，， 方案二：如图2， ∴． 故答案为：＞． 12. 如图，已知：在中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，并且与的夹角，斜边交于点．点在滑动时，______时，的形状是等腰三角形． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理分别求解即可． 【详解】解：，， ， ①当时，此时， ， ， ； ②当时，此时， ， ， ，此时点与点重合； ③当时，此时， ， ； 综上可知，点在滑动时，或或时，的形状是等腰三角形， 故答案为：或或 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算: 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的相关运算，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式 14. ()÷ 【答案】 【解析】 【分析】先将括号里的分式进行因式分解约分，再通分加减，然后把除法运算转换为乘法运算进行约分化简即可 【详解】原式= = = = 【点睛】本题主要考查了分式的运算，熟练掌握分式运算的方法是解题关键 15. 先化简，再求值：＋·，其中x=，y=－3. 【答案】化简为，值为. 【解析】 【分析】先对第二项两个分式的分子和分母进行因式分解，再约分，然后将异分母分式化为同分母分式，再按照同分母分式的减法进行计算. 【详解】解：原式 将， 原式. 【点睛】本题考查分式的化简求值，解决本题的关键是能对原分式分母、分子进行因式分解，并进行约分，将异分母分式化为同分母分式，最终的结果能约分的一定要约分. 16. 要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法． 已知：如图，和A，B两点． （1）作的平分线； （2）求作一点Q，使Q点在上，且． 【答案】（1）如图，点即为所求； （2） 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据角平分线的作法作的平分线即可； （2）作的垂直平分线交于点，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图所示，于点，于点，且，求证： 【答案】 证明∵ , ∴. 在与中 ∴≌, ∴AB=AC. 又∵, ∴, ∴. 【解析】 【分析】根据垂直的定义得出∠AEC=∠ADB，再根据ASA证明△ADB≌△AEC，进而证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△ADB≌△AEC是解题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 小海解方程的过程如下． 请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程． 解：方程两边同乘，得．……① 去括号，得．……② 移项，得．……③ 合并同类项，得．……④ 两边同除以，得．……⑤ 原方程的解为．……⑥ 【答案】 解：小海的解法有三处错误：步骤①去分母有误：步骤②去括号有误；步骤⑥少检验 正确解法如下： 方程两边同乘，得. 去括号，得. 移项，得. 合并同类项，得. 经检验，是分式方程的解． 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，最后的检验是解题的易错点． 先正确求解分式方程，然后对比即可解答． 【详解】略 19. 书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出的长，列出分式方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∵与的比是， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解． ∴上、下、左、右边衬的宽度分别是． 20. 如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】 （1）证明：是等边三角形， ， ，，， ． ， ， 是等边三角形； （2）6cm 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C，进而得出∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM=∠PMN=∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形； （2）易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA=BM=CN，PB=MC=AN，从而求得BM+PB=AB=12cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB=BM，即可求得PB的长，进而得出CM的长． 【详解】解：（1）略 （2）根据题意可得： ∵△PMN是等边三角形， ∴PM=MN=NP， 在△PBM、△MCN和△NAP中， ， ∴（AAS）， ，； ， ， ． 是正三角形， ，而， ． ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质等知识；证出∠NPM=∠PMN=∠MNP是本题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某中学欲购进A、B两种教学用具，已知购进A种用具的单价比购进B种用具单价少25元，且用800元购进A种用具的数量与用1000元购进的B种用具的数量相同． （1）求购进A、B两种教学用具每件各需多少元? （2）若购进A、B两种教学用具共40件，且购买A、B两种用具的总资金不超过4400元，求最少购买A种用具多少件? 【答案】（1）购进A、B两种教具每件各需100元、125元；（2）最少购买A种用具24件 【解析】 【分析】（1）根据题意列出分式方程求解即可； （2）设购进A种教具m件，则购进B种教具件，根据题意列出不等式求解即可； 【详解】解：（1）设购进B种教具每件需要x元，则购进A种教具每件需要元， 由题意可得， 解得， 经检验得是原分式方程的解， ∴购进A种教具需（元/件）， 答：购进A、B两种教具每件各需100元、125元． （2）设购进A种教具m件，则购进B种教具件， ， 解得， 答：最少购买A种用具24件． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用和不等式的应用，准确计算是解题的关键． 22. 教材呈现：如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． （1）定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的判定定理”完整的证明过程． 已知： 求证： 证明过程： （2）定理应用：如图②，，E是的中点，平分．求证：是的平分线． 【答案】（1） 已知：，，垂足分别是D、E，且． 求证：平分(或者是的平分线) 证明过程： ，． 在和中， ， ． ， 是的平分线． （2） 如图：过点E作于F， 平分，， ， 是的中点， ， ． 又， ， ， 是的平分线． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，掌握这两个定理是解题的关键． （1）根据题干找出已知条件和结论，再结合图片用符号语言描述，并证明即可； （2）运用角平分线的性质和判定证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与探究 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到，基于此，请解答下列问题． 【直接应用】（1）若，，求的值． 【类比应用】（2）若，则 ． 【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图2所示的方式放置，其中点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． （4）如图3，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为a的大正方形，两块是边长都为b的小正方形，五块是长为a，宽为b的全等小矩形，且．观察图形，分解因式 ． 【答案】（1）3.5；（2）12；（3）16；（4） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形即可求解． （2）将看成，进而根据，即可求解； （3）设，，根据可得，而，进而根据完全平方公式变形即可求解． （4）结合图形由长方形的面积为，即可得出结果． 【详解】解：（1） 又 ， ； （2）∵，则 故答案为：； （3）∵两块直角三角板全等， ，， 点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上， ，． 设，． ， 又， ， ， ， ， 答：一块直角三角板的面积为16． （4）根据图形长方形的面积为：， 则分解因式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙南市2024—2025学度第一学期初中期末考试试卷 八年级 数学 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的计算结果为（ ） A. 6 B. C. D. 9 3. （ x3y2+x2z）÷ x2等于（ ） A. xy+xz B. －x2y4+x2z C. xy2+z D. xy4+x2z 4. 若分式的值为零，则x的值是（　　） A. ±3 B. ﹣3 C. 3 D. ﹣2 5. 如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座高的山．乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少．如果设甲组的攀登速度为，那么下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 把数用科学记数法表示为______ ． 8. ____． 9. 计算：_____． 10. 因式分解：____________. 11. 某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长b为的正方形的花坛、学生会提出两个方案： 方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为； 方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为； 具体数据如图所示，则______．（填“＞”，“＜”或“＝”） 12. 如图，已知：在中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，并且与的夹角，斜边交于点．点在滑动时，______时，的形状是等腰三角形． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算: 14. ()÷ 15. 先化简，再求值：＋·，其中x=，y=－3. 16. 要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法． 已知：如图，和A，B两点． （1）作的平分线； （2）求作一点Q，使Q点在上，且． 17. 如图所示，于点，于点，且，求证： 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 小海解方程的过程如下． 请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程． 解：方程两边同乘，得．……① 去括号，得．……② 移项，得．……③ 合并同类项，得．……④ 两边同除以，得．……⑤ 原方程的解为．……⑥ 19. 书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 20. 如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某中学欲购进A、B两种教学用具，已知购进A种用具的单价比购进B种用具单价少25元，且用800元购进A种用具的数量与用1000元购进的B种用具的数量相同． （1）求购进A、B两种教学用具每件各需多少元? （2）若购进A、B两种教学用具共40件，且购买A、B两种用具的总资金不超过4400元，求最少购买A种用具多少件? 22. 教材呈现：如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． （1）定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的判定定理”完整的证明过程． 已知： 求证： 证明过程： （2）定理应用：如图②，，E是的中点，平分．求证：是的平分线． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与探究 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到，基于此，请解答下列问题． 【直接应用】（1）若，，求的值． 【类比应用】（2）若，则 ． 【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图2所示的方式放置，其中点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． （4）如图3，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为a的大正方形，两块是边长都为b的小正方形，五块是长为a，宽为b的全等小矩形，且．观察图形，分解因式 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $