1.1 直线的相交（第二课时 讲练）（6大题型50题）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（浙教版2024）

垂直的定义 图形 几何语言 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。 因为AB⊥CD 所以∠AOD=90° 注意：垂直的定义具有性质和判定的双重性作用。即知直角得线垂直，知线垂直得直角。 因为AB⊥CD 所以∠AOD=90° （性质） 因为∠AOD=90° 所以AB⊥CD （判定） 【基础练习】 【练习1-1】如图，已知直线与直线相交于点，下列条件中不能说明的是　　 A． B． C． D． 【练习1-2】已知在同一平面内：①两条直线相交成直角；②两条直线互相垂直；③一条直线是另一条直线的垂线．那么下列因果关系：①→②③；②→①③：③→①②中，正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 名称 图例 垂线的画法 过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已直线的垂线(如图所示)． 垂线段的定义 如图,P为直线外一点,PM⊥,垂足为M,则线段PM就是点P到直线的垂线段 注意： (1) 如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2) 垂线是直线，不可度量，垂线段是线段,可以度量. 【基础练习】 【练习2-1】下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角尺放法正确的是（　　） A． B． C． D． 【练习2-2】下列各图中，过直线外的点画直线的垂线，三角尺操作正确的是（    ） A． B． C． D． 性质一 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质二 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短。 注意： （1）性质一成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质二是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短． 【基础练习】 【练习3-1】平面内过直线外一点作直线的垂线能作出（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【练习3-2】如图，从P处走到公路m有三条线路可走，为了尽快赶到公路上，应选择的线路是 ，理由是： ． 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 注意： （1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度。 【基础练习】 【练习4-1】如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．点到的垂线段是线段 B．点到的垂线段是线段 C．线段是点D到的垂线段 D．线段是点到的垂线段 【练习4-2】如图，点A在直线上，点B，C在直线上，AB⊥于点B，AC⊥于点A，AB＝4，AC＝5，则下列说法正确的是（　　） A．点B到直线的距离等于4 B．点A到直线的距离等于5 C．点B到直线的距离等于5 D．点C到直线的距离等于5 【典例】如图，直线相交于点于点，且，则（    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在直线AB上有一点O，OC⊥OD，OE是∠DOB的角平分线，当∠DOE＝20°时，∠AOC＝___°． 【变式1-2】如图，已知，直线AB、CD相交于点O，过点O作，，若.求的度数. 【典例】过点C向AB边作垂线段，下列画法中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】作图并写出结论： 如图，点是的边上一点，请过点画出，的垂线，分别交的延长线于、，线段 　 　的长表示点到直线的距离；线段 　 　的长表示点到直线的距离；线段的长表示点到直线 　 　的距离；点到直线的距离为 　 　． 【变式2-1】如图，按要求画图． ①画出点到的垂线段；②过点画的垂线；③画出点到的垂线段．    过一点画已知直线的垂线的方法技巧 一落 让三角尺的一直角边落在已知直线上,并与已知直线重合 二移 沿直线移动三角尺,使其另一直角边经过已知点 三画 沿该直角边画直线,则这条直线就是过这点的已知直线的垂线 错误警示： 线段、射线的垂线是指它们所在的直线的垂线．因此,垂足可能在线段或射线上,也可能在它们的延长线或反向延长线上。 【典例】数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是　　 A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 【变式3-1】如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得 米，米，则点A到的距离d可能为 米．（填一个你认为正确的答案）    【变式3-2】如图，在的正方形网格中有三角形，点均在格点上. （1）画出点到直线的最短路径； （2）将三角形向左平移格，再向下平移格后得到三角形，画出三角形. 方法技巧：数学建模法 把实际问题中的位置关系和数量关系描述出来,利用与之相关的数学知识来解决问题,体现了数学建模法的应用。 【典例】如图，点P为直线m外一点，点P到直线m上的三点A、B、C的距离分别为PA＝4cm，PB＝6cm，PC＝3cm，则点P到直线m的距离可能为（　　） A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm 【变式4-1】如图，点P是直线l外一点，点A、B、C在直线l上，且直线l，，，，则点P到直线l的距离是 cm．    【变式4-2】如图，在直角三角形中，，，，． (1)点B到的距离是________；点到的距离是_________cm． (2)画出表示点C到的距离的线段，并求这个距离． 【典例】下列说法正确的是　　 A．相等的角是对顶角 B．两个角的和为，那个这两个角互为邻补角 C．过直线外一点作已知直线的垂线段，就是点到直线的距离 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式5-1】下列语句中，正确的有（ ） ①一条直线的垂线只有一条； ②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直； ③两直线相交，则交点叫垂足； ④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式5-2】下列语句中： ①有公共顶点且相等的角是对顶角；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；③互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；④经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例】如图，直线相交于点O，平分，则为（   ）．    A． B． C． D． 【变式6-1】如图，直线和交于O点，平分于点，则 ． 【变式6-2】如图，直线与相交于点，． (1)如果，那么根据________，可得________； (2)如果，求的度数． 1．已知：如图，于点O，c为经过点O的任意一条直线，那么与的关系是（    ） A．互余 B．互补 C．互为对顶角 D．相等 2．如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短 3．下列用三角板过点P画AB的垂线CD，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，测量运动员跳远成绩选取的是的长度，其依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．垂直的定义 5．下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是（　　） A． B． C． D． 6．以下说法中：①同角的余角相等；②对顶角相等；③平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，∠AOE＝24°，∠COF的度数是（    ） A．146° B．147° C．157° D．136° 8．如图，直线，相交于点，平分，于点．若，下列说法：①；②；③．其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠COE=55°，则∠BOD为______． 10．如图，计划在河边建一水厂，可过C点作CD⊥AB于D点．在D点建水厂，可使水厂到村庄C的路程最短，这样设计的依据是　 　． 11．如图，已知AE⊥BC于E，AF⊥CD于F． （1）点A到直线BC的距离是线段_______的长； （2）点D到直线AF的距离是线段_______的长； （3）线段AF的长表示点A到直线_______距离； （4）线段CE的长表示点C到直线_______距离； （5）线段BE的长表示点_______到直线______距离； （6）线段CF的长表示点_______到直线______距离； 12．如图，直线相交于点于点，连接. (1)若,则=__________; (2)若=2 cm, =1.5 cm, =2. 5 cm,则点到的距离是________cm. 13．如果的两条边所在直线与的两条边互相垂直，且是的2倍少30度，则的度数为 ． 14．如图，为了探清一口深井的底部情况，在井口放置一面平面镜可改变光路，此时，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角 °．    15．如图，直线 、 相交于点，，若，，求的度数． 16．如图，有A、B、C、D四个点，请按下列语句画出相应图形． (1)画射线； (2)画直线； (3)过点D画直线，垂足为点M，交直线于点N，连接． 17．如图，直线AB，CD相交于点O，，垂足为O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 18．如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 19．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥OF，且OA平分∠COE． （1）若∠DOE＝50°，求∠BOF的度数． （2）设∠DOE＝α，∠BOF＝β，请探究α与β的数量关系（要求写出过程）． 20．如图，已知直线和相交于点，，平分，． （1）求的度数． （2）若射线、分别绕着点按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线每分钟转动，射线每分钟转动，多少分钟后，射线与射线第一次重合． （3）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若，则两射线同时出发 　 　分钟． 1．（2022·江苏常州·中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．（2022·河南·中考真题）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（    ） A．26° B．36° C．44° D．54° 3．（2021·北京·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 4．（2021·浙江杭州·中考真题）如图，设点是直线外一点，，垂足为点，点是直线上的一个动点，连接，则（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$浙教版 七年级数学下册 第1章 相交线与平行线 1.1.直线的相交(第二课时讲练) 思维导图 题型1与垂直相关的简单计算 知识点一垂直的定义 题型2垂线的画法 知识点二过点作已知直线的垂线 顾到3 斑续段最短的应用 1.5 平标特的性质 题型4点到直线的距离 知识点三 垂线的性质 题型5判断选项正误 知识点四 点到直线的是短距离 题型6 与垂直相关的综合运用 知识清单 知识点 垂直的定义 图形 垂直的定义 几何语言 两条直线相交所成的四个角中,有 -个角是直角时,就说这两条直线 因为AB1CD 互相垂直,其中一条直线叫做另一 所以乙A0D-90 条直线的垂线,它们的交点叫垂足。 注意:垂直的定义具有性质和判定的双重性作用。即知直角得线垂直,知线垂直得直角。 I 因为AB1CD 因为之A0D-90。 所以乙A0D=90* 0 所以AB1CT (性质) (判定) 【基础练习】 【练习1-1】如图,已知直线AB与直线CD相交于点0,下列条件中不能说明AB1CD的是( __ C B D/ A. A0C=90$ B. AOC= BOC C. $ AOC= BOD D. 乙A0C+/B0D-180* 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直 进行判定即可. 【详解】解:A、乙A0D=90*可以判定两直线垂直,故此选项不符合题意 B、乙A0C和乙B0C是邻补角,邻补角的和是180*,所以可以得到zC0B=90*,能判定垂直,故此选项 不符合题意: C、ZA0C=ZB0D是对项角,对项角相等,不能判定垂直,故此选项符合题意 D、ZA0C和zB0D是对项角,对顶角相等,和又是180。,所以可得到2A0C=90*,故此选项不符合题 意, 故选:C. 【练习1-2】已知在同一平面内:①两条直线相交成直角:②两条直线互相垂直;③一条直线是另一条直线 的垂线,那么下列因果关系:①→②③;②→①③:③→①②中,正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】D 【解析】 【分析】分别用①、②、③作为条件,依据垂直的定义分别进行判断即可 【详解】解:①作为条件,②③为结论正确; ②作为条件,①③为结论正确; ③作为条件,①②为结论正确. 故选:D. 知识点二 过点作已知直线的垂线 名称 图例 过一点画已知直线的垂线,可通 过直角三角板来画,具体方法是 使直角三角板的一条直角边和已 #### 知直线重合,沿直线左右移动三 垂线的画法 角板,使另一条直角边经过已知 (1)点4在直 (2)点4在直 点,沿此直角边画直线,则所画 线1外 线/上 直线就为已直线的垂线(如图所 示) 如图,P为直线/外一点,PM11. 垂线段的定义 垂足为M.则线段PM就是点P到 直线1的垂线段 注意: (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时,指的是它所在直线的垂线,垂足可能在射线的反向延长线上 也可能在线段的延长线上. (②)垂线是直线,不可度量,垂线段是线段,可以度量. 【基础练习】 【练习2-1】下列选项中,过点P画AB的垂线CD,三角尺放法正确的是( B. A. D/ C. D/ D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据P点在CD上,CD1AB进行判断. 【详解】解:过点P画AB的垂线CD,则P点在CD上,CD上AB,所以三角尺放法正确的为 D{ 故选:C. 【练习2-2】下列各图中,过直线]外的点P画直线/的垂线,三角尺操作正确的是() ###.#.### A 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的作法,根据垂线的作法,用直角三角板的一条直角边与1重合,另一条直 角边过点P后沿直角边画直线即可; 【详解】解:根据分析可得C的画法正确: 故选:C. 知识点三 垂线的性质 性质一 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质二 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,简单说成:垂线段最短。 注意: (1)性质一成立的前提是在“同一平面内”,“有”表示存在,“只有”表示唯一,“有且只有”说明了垂 线的存在性和唯一性. (2)性质二是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短,”实际上,连接直线外一点 和直线上各点的线段有无数条,但只有一条最短,即垂线段最短 【基础练习】 【练习3-1】平面内过直线]外一点o作直线]的垂线能作出( A.0条 B1条 C.2条 D. 无数条 【答案】B 【解析】平面内经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线,据此可得。 【详解】解:经过直线1外一点画1的垂线,能画出1条垂线,故选:B. 【练习3-2】如图,从P处走到公路n有三条线路可走,为了尽快赶到公路上,应选择的线路是,理 由是: 7- 【答案】 PB 垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用,关键是掌握垂线段的性质:垂线段最短 从直线外一点向这条直线所画的线段中只有垂直线段最短,据此解答即可 【详解】根据“垂线段最短”的性质,可得应选择的线路是PB,理由是:垂线段最短 故答案为:PB,垂线段最短 知识点四 点到直线的最短距离 定义:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。 注意: (1)点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数量,不能说垂线段是距离 (2)求点到直线的距离时,要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段,然后计算或度量垂线段的长度。 【基础练习】 【练习4-1】如图所示,下列说法不正确的是( ) B A. 点B到AC的垂线段是线段AB B. 点C到AB的垂线段是线段AC C. 线段AD是点D到BC的垂线段 D. 线段BD是点B到AD的垂线段 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线段的定义逐个判断即可. 【详解】解:A、点B到AC的垂线段是线段AB,正确,故此选项不符合题意; B、点C到AB的垂线段是线段AC,正确,故此选项不符合题意; C、线段AD是点A到BC的垂线段,原说法错误,故此选项符合题意 D、线段BD是点B到AD的垂线段,正确,故此选项不符合题意 故选:C. 【练习4-2】如图,点A在直线l.上,点B,C在直线l。上,AB11.于点B,AC11.于点A,AB=4,AC=5,则 下列说法正确的是( A. 点B到直线1.的距离等于4 B. 点A到直线1,的距离等于5 C. 点B到直线1.的距离等于5 D. 点C到直线L.的距离等于5 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线的距离的定义求解即可 【详解】解:.AB1乙于点B,AC1乙于点A,AB-4,AC=5, '.点A到直线乙的距离等于4:点C到直线乙的距离等于5. 故选:D. 题型探究 题型1 与垂直相关的简单计算 【典例】如图,直线AB、CD相交于点O,OE1AB于点O,且/BOD=35*,则C0E=( ) E A. 25~ B. 35* C. 50 D. 65~ 【答案】C 【解析】 【分析】垂直得到 A0E=90*,利用/C0E=ZAOE-ZA0C,计算即可. 【详解】解:OE1AB, .A0E-90. *$ C0E= AOE- A0C= A0E- B0D=90*-35*=5$^* 故选C. 【变式1-1】如图,在直线AB上有一点0,0C10D,0E是乙D0B的角平分线,当D0E=20{时,乙A0C= .D E , 【答案】50 【解析】先求出乙B0D,根据平角的性质即可求出乙A0C 【详解】.:0E是 DOB的角平分线,当乙DOE=20{*..乙B0D-2。DOE-40 “.0C10D,.. A0C=180{-90{*- B0D=50*故答案为:50 【变式1-2】如图,已知,直线AB、CD相交于点0,过点0作OE1CD,0F1AB,若乙A0C=32*.求 /FOF的度数. E B -D F 【答案】148 【解析】 【分析】先根据垂直定义得到乙C0E=乙A0F=90*,再根据周角是360*求解即可 【详解】解:.OE1CD,0F1AB, .COE=乙AOF=90*. .乙EOF=360*-A0C-乙COEF-乙AOF -360-32*-90*-90° =148. 题型2 垂线的画法 【典例】过点C向AB边作垂线段,下列画法中正确的是( A D C B. A. C 。 1。 B C. D. / 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线段的定义逐个判断即可得出正确结论 【详解】解:A.此选项是过点A作BC边的垂线段,故错误; B. 此选项是过点B作AB边的垂线段,故错误: C. 此选项是过点C作AB边的垂线段,故此项正确; D. 此选项是过点B作CA边的垂线段,故错误 故选:C. 【变式2-1】作图并写出结论: 如图,点P是ZA0B的边OA上一点,请过点P画出OA,0B的垂线,分别交B0的延长线于M、N,线 段_的长表示点P到直线B0的距离;线段 _的长表示点M到直线A0的距离:线段0N的 长表示点O到直线 的距离;点P到直线OA的距离为__ , 【答案】PN,PM,PN,0 【解析】 【分析】先根据题意画出图形,再根据点到直线的距离的定义得出即可 【详解】解:如图所示: B 线段PV的长表示点P到直线B0的距离:线段PM的长表示点M到直线A0的距离:线段0V的长表示点 0到直线PV的距离;点P到直线OA的距离为0 故答案为:PN,PM,PN,0. 【变式2-1】如图,按要求画图. ①画出点C到AB的垂线段;②过A点画BC的垂线;③画出点B到AC的垂线段. C 【答案】作图见详解 【解析】 【分析】根据钝角三角形中作垂线的方法即可求解 【详解】解:①画出点C到AB的垂线段,延长BA,过点C作CD1AB延长线于点D,如图所示 D .线段AD即为点C到AB的垂线段 ②过A点画BC的垂线,作AF1BC于点E,如图所述, B '.AE即为点A到BC的垂线: ③画出点B到AC的垂线段,延长CA,作BF1CA延长线于点F,如图所示, '.BF即为点B到AC的垂线段 过一点画已知直线的垂线的方法技巧 一落 让三角尺的一直角边落在已知直线上,并与已知直线重合 二 沿直线移动三角尺,使其另一直角边经过已知点 二_ 沿该直角边画直线,则这条直线就是过这点的已知直线的垂线 错误警示: 线段、射线的垂线是指它们所在的直线的垂线,因此,垂足可能在线段或射线上,也可能在它们的延长线 或反向延长线上。 题型3 垂线段最短的应用 【典例】数学源于生活,寓于生活,用于生活,下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是( ) 而密 A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 曲河道改直 D. 两钉子固定木条 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线段最短,线段的性质分别判断即可. 【详解】解:A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离,数学常识为垂线段最短,故该选项符合题意;