精品解析：广西南宁沛鸿民族中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2024－2025学年3月高一数学月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. 的虚部为 D. 的虚部为1 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数实部、虚部的定义逐项判断得解. 【详解】复数的实部为1，虚部为，ABD错误，C正确. 故选：C 2. ，其中，若，则x的值为　　 A. 8 B. 4 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据即可得出，再根据，即可解出x的值． 【详解】解：，且； ； 解得，或舍去． 故选B． 【点睛】考查向量坐标的定义，以及向量平行时的坐标关系． 3. 在中，角所对三条边为，已知，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理计算角的余弦值，再结合角的范围即可求角. 【详解】， 所以，且， 所以. 故选：B. 4. 已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取为基底，利用平面向量基本定理表示出，进行数量积运算即可. 【详解】在中，取为基底，则. 因为点、分别为的中点， ， ， 故选：A 5. 已知平面向量，且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，利用向量的数量积的坐标表示可求得的值. 【详解】因为，所以，所以， 又因为，所以，解得. 故选：A. 6. 已知向量 ，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在上的投影向量公式计算即可解决. 【详解】由题意， 所以在上的投影向量为， 故选：A 7. 已知平面向量的夹角为，且，在中，，D为BC的中点，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】以为基底表示出向量，两边平方可求得. 【详解】因为， 所以 ； 因此. 故选：A 8. 如图，在海面上有两个观测点，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，则该船行驶的距离（ ） A. km B. km C. km D. km 【答案】A 【解析】 【分析】在中可得，在中由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得. 【详解】, ， 在中，，，则， 又因为，所以km. 在中，，，则. 由正弦定理，得AB=km， 在中，，由余弦定理得 ， 即km， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不共线的向量可以做基底判断即可. 【详解】A选项：，与共线，A错误； B选项：，与不共线，B正确； C选项：，与不共线，C正确； D选项：，与共线，D错误； 故选：BC. 10. 已知向量，则（ ） A. B. C. 与的夹角可能为 D. 向量与不可能垂直 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平面向量的模长公式可判断选项AB;利用向量夹角的计算可判断选项C;利用向量垂直的坐标表示可判断选项D. 【详解】对于A:因为，所以，故A正确. 对于B:因为，所以, 当时, ，故B错误. 对于C:因为，二者不可能反向，所以与的夹角不可能为，故C错误. 对于D:因为 所以, 令,无解，所以向量与不可能垂直，故D正确. 故选：AD. 11. 《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（ ） A. 的周长为 B. 三个内角，，满足 C. 外接圆的直径为 D. 的中线的长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项，由正弦定理得三角形三边之比，由面积求出三边，代入公式即可求出周长； 对于选项，根据余弦定理可求得的值为，可得，可得三个内角，，成等差数列； 对于选项，由正弦定理可得，外接圆直径可得的值； 对于选项，由题意利用中线定理即可计算得解． 【详解】由正弦定理可得． 设 ， 解得的周长为，故A正确； 由余弦定理得，， 故B正确； 由正弦定理知，外接圆的直径，故C正确； 由中线定理得，即， ，故D错误． 故选:ABC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算律计算即可求解. 详解】由题意知，， 由，得. 故答案为： 13. 记的内角的对边分别为，若，则的面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦定理求出，再根据三角形面积公式即可求得. 【详解】由余弦定理得，得， 所以. 故答案为： 14. 抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点处测得其顶点的仰角为､点处测得其顶点的仰角为，若米，且，则解放碑的高度__________米． 【答案】## 【解析】 【分析】设，由直角三角形三角函数定义可得，再在中利用余弦定理可解. 【详解】设，则， 中：，则 得到米. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，复数. （1）求m何值时，z为纯虚数； （2）若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念即可列出方程，进而求解即可； （2）复平面内的点位于第四象限，则横坐标大于0，同时纵坐标小于0，据此列出不等式求解即可. 【小问1详解】 由解得或； 当时，是纯虚数， 当时，为实数， 所以. 【小问2详解】 因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以，解得 16. 已知． （1）若，求； （2）设，若，求的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）两边平方后，根据向量的数量积运算性质即可求解； （2）两边平方后，根据向量的数量积运算性质即可求的，然后结合公式即可得解. 【小问1详解】 由题意得，即， 又因为，所以，即； 【小问2详解】 由题意得，即； 又， 所以， 所以，即， 所以，又 所以 17. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理边化角，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为， 所以根据正弦定理得， 因为， 所以， 即， 即． 因为，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 ． 因为，所以①． 因为， 所以②． 联立①②可得，解得（负根舍去）， 故的面积为． 18. 如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点． （1）令，，用，表示； （2）求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算求解； （2）利用三点共线，三点共线，求得，同时证明是等边三角形，然后把平方可得． 【小问1详解】 ∵，分别为，的中点， ∴； 【小问2详解】 设， ∵，分别为，的中点， 所以， 因为三点共线，三点共线， 所以，解得， 即， 由已知与平行且相等，因此是平行四边形， 所以，是等边三角形， 所以． 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； （3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由相伴函数的定义结合辅助角公式得函数的表达式，进一步解三角函数方程即可； （2）利用两角和差的余弦公式展开合并以及单位向量的定义即可依次得解； （3）由题意依次得，外接圆的半径，再结合向量的数量积运算即可得解. 【小问1详解】 根据题意知，向量的相伴函数为， 当时，， 又，则，所以，故. 小问2详解】 因为， 整理得到，故函数的相伴特征向量， 则与同向的单位向量为. 【小问3详解】 由题意得，， 在中，，，因此， 设外接圆半径为，根据正弦定理，，故， 所以 ， ， ， 代入可得， 所以当时，取得最大值． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于，外接圆的半径，再结合向量数量积的运算律即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年3月高一数学月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. 的虚部为 D. 的虚部为1 2. ，其中，若，则x的值为　　 A. 8 B. 4 C. 2 D. 0 3. 在中，角所对三条边为，已知，则角（ ） A. B. C. D. 4. 已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知平面向量，且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 6 6. 已知向量 ，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量的夹角为，且，在中，，D为BC的中点，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 如图，在海面上有两个观测点，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，则该船行驶的距离（ ） A. km B. km C. km D. km 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知向量，则（ ） A. B C. 与的夹角可能为 D. 向量与不可能垂直 11. 《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（ ） A. 的周长为 B. 三个内角，，满足 C. 外接圆的直径为 D. 的中线的长为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 已知，且，则__________. 13. 记的内角的对边分别为，若，则的面积为__________. 14. 抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点处测得其顶点的仰角为､点处测得其顶点的仰角为，若米，且，则解放碑的高度__________米． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，复数. （1）求m为何值时，z为纯虚数； （2）若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 16 已知． （1）若，求； （2）设，若，求的夹角． 17. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积． 18. 如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点． （1）令，，用，表示； （2）求线段的长． 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； （3）已知为函数相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$