精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2025届高三下学期第一次模拟考试数学试题

石嘴山三中2025届高三年级第一次模拟考试 数学 2025.3 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把客题卡上对应题目的答案标导涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，且，则x的值为（ ） A. B. C. D. 11 2. 下列函数中,在区间上为增函数的是 A. B. C. D. 3. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有（ ） A. 15种 B. 90种 C. 540种 D. 720种 5. 已知三点A(1,0)，B(0， )，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　) A. B. C. D. 6. 正四棱台的体积为，，，则直线AB1与直线BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设实数，对任意实数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 已知点是角终边上的一点，则 C. 若一扇形的弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为 D. 关于x的不等式的解集为，则 10. 已知椭圆的上顶点为B，左、右焦点分别为，则（ ） A. 若，则 B. 若椭圆C的离心率为，则 C. 当时，过点的直线被椭圆C所截得的弦长的最小值为1 D. 若直线与椭圆C的另一个交点为A，，则离心率 11. 阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去，则（ ） A. 对于任意的正整数n， B. 对于任意的正整数n，为整数 C. 存在正整数n，三角形的面积为2025 D. 存在正整数n，三角形为钝角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数（i为虚数单位），则______． 13. 随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为______． 14. 若的面积为,且为钝角，则_________；的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知{an}是等差数列，且lg a1=0，lg a4=1. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项，求k的值及数列{an+bn}的前n项和. 16. 设函数，且在处有极值，． （1）求实数a的值； （2）求函数的极值； （3）若存在，使得，都有成立，求实数b的取值范围． 17. 某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y（单位：亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； （2）求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润； （3）把利润不超过4（亿元）的年份叫做“试销年”，从2018年到2024年这七年中任取2年，X表示取到“试销年”的个数，求X的分布列和数学期望． 参考数据：，，， 参考公式：对于一组数据， ①相关系数为：； ②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，． 18. 如图1所示，在平行四边形中，，垂足为A，，将沿AB折到的位置，点M为棱AB的中点，点N在棱上，如图2所示． （1）证明：平面平面； （2）当二面角的大小为， ①求四棱锥的体积； ②若直线PC与平面所成角的正弦值为，求点C到平面的距离． 19. 已知O为坐标原点，双曲线的离心率为，且过点. （1）求C的标准方程； （2）过C的右焦点F的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，点Q是线段的中点，过点F且与垂直的直线交直线于M点，点N满足； ①证明：点M在一条定直线上； ②求四边形面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山三中2025届高三年级第一次模拟考试 数学 2025.3 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把客题卡上对应题目的答案标导涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，且，则x的值为（ ） A. B. C. D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的坐标表示和垂直关系求解. 【详解】， 因为，所以. 故选：D 2. 下列函数中,在区间上为增函数的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：对A，函数在上为增函数，符合要求； 对B，在上为减函数，不符合题意； 对C，为上的减函数，不符合题意； 对D，在上为减函数，不符合题意. 故选A. 考点：函数的单调性，容易题. 3. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的性质，结合充分条件、必要条件的概念可得答案. 【详解】∵在中，，∴. ∵， ∴由得或，由得， ∴“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有（ ） A. 15种 B. 90种 C. 540种 D. 720种 【答案】B 【解析】 【分析】利用乘法分步原理结合组合知识求解即可. 【详解】解：先从六名志愿者中选择两名志愿者到北京参加活动，有种方法，再从剩下的4名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有种方法，最后从剩下的2名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有种方法.由乘法分步原理得共有种方法. 故选：B 5. 已知三点A(1,0)，B(0， )，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 选B. 考点：圆心坐标 6. 正四棱台的体积为，，，则直线AB1与直线BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱台的体积公式求出正四棱台的高，建立空间直角坐标系，再利用向量法求解异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】设正四棱台的高为, 已知体积、下底面积、上底面积, 代入正四棱台体积公式,可得， 解得高， 取AB的中点,连接OF, 取AD的中点,连接OE， 如图，以 所在的直线分别作 轴，建立空间直角坐标系， 而，， 则顶点, ，顶点 ， 直线的方向向量为,， 直线 的方向向量为，， 则， 则直线AB1与直线BD所成角的余弦值为: . 故选：C. 7. 已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点个数，转化为方程的根的个数，利用三角函数的有界性，转化求解即可． 【详解】因为， 故可得， 由，故可得， 令，可得， 则或或或，， 因为在上有且仅有三个解， ，解得． 故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点的判断三角函数的图象与形状的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 8. 设实数，对任意实数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对已知不等式进行变形,通过构造新函数,结合导数的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以 依题意恒成立，即， 因为， 所以恒成立. 令，则， 当时，所以在上单调递增， 则不等式恒成立，等价于恒成立. 因为，所以所以， 当时，，此时恒成立； 当时，，所以对任意的恒成立，所以恒成立. 设,可得. 当时在单调递增， 当时在单调递减. 所以当时函数取得最大值，为，此时， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 已知点是角终边上的一点，则 C. 若一扇形的弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为 D. 关于x的不等式的解集为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】将函数的解析式化成分段函数的形式，即可求值域判断A选项；利用三角函数的定义可求解B选项；利用扇形的弧长和面积公式可求C选项；利用三个“二次”之间的关系即可求判断D选项. 【详解】函数可变形为，所以函数的值域为，故A正确； 点是角终边上的一点，点到原点的距离， ，故B错误； 扇形的弧长为，圆心角为，半径， 扇形的面积为，故C正确； 不等式的解集为， 1和2是方程的两根， ，，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知椭圆的上顶点为B，左、右焦点分别为，则（ ） A. 若，则 B. 若椭圆C的离心率为，则 C. 当时，过点的直线被椭圆C所截得的弦长的最小值为1 D. 若直线与椭圆C的另一个交点为A，，则离心率 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A项，易得等腰直角三角形,则，即得；对于B项，由离心率公式和易得；对于C项，由椭圆中过焦点的最短弦长即通径，易得；对于D项，利用表示出点的坐标，代入椭圆方程计算即得. 【详解】对于A项，若，因,可得，则，故A项错误； 对于B项，由可解得：，故B项正确； 对于C项，时，椭圆，因过点的直线被椭圆所截的弦长的最小值为通径长，即，故C项正确； 对于D项，如图，因为，，设点，由可得， 解得：，代入椭圆中，可得， 即，解得：，故D项正确． 故选：BCD. 11. 阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去，则（ ） A. 对于任意的正整数n， B. 对于任意的正整数n，为整数 C. 存在正整数n，三角形的面积为2025 D. 存在正整数n，三角形为钝角三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】根据点坐标的规律，应用分类讨论归纳总结出的坐标，再依次判断各项的正误即可. 【详解】当为奇数时；当为偶数时； 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以对于任意的正整数n，，A对； 当，则，B错； 由，可得， 所以存在正整数n，三角形的面积为2025，C对； 对于任意，其中最大的边为， 其它两边分别为，， 所以， 所以为最大角，且，即为锐角， 所以三角形不可能为钝角三角形，D错. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：根据所得的坐标，确定各点距离为关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数（i为虚数单位），则______． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法运算结合复数的模长计算即可. 【详解】， 所以. 故答案为：. 13. 随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据正态分布的性质得，再应用“1”的代换及基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，则， 所以， 当且仅当时取等号，则的最小值为9. 故答案为：9 14. 若的面积为,且为钝角，则_________；的取值范围是_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题. 【详解】， ，即， ， 则， 为钝角，， ，故. 故答案为，. 【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知{an}是等差数列，且lg a1=0，lg a4=1. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项，求k的值及数列{an+bn}的前n项和. 【答案】（1）an= 3n-2；（2）k=2，Sn=n2n+(4n-1). 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合对数的运算性质进行求解即可； （2）根据等比数列的性质，结合等差数列的通项公式、等差数列和等比数列的前n项和公式进行求解即可. 【详解】（1）因为lg a1=0，lg a4=1， 所以a1=1，a4=10. 设等差数列{an}的公差为d， 则d==3. 所以an=a1+3(n-1)=3n-2. （2）由（1）知a1=1，a6=16， 因为a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项. 所以, 又an=3n-2>0， 所以ak=4. 因为ak=3k-2， 所以3k-2=4，得k=2. 所以等比数列{bn}的公式q==4. 所以bn=4n-1. 所以an+bn=3n-2+4n-1. 所以数列{an+bn}的前n项和为Sn==n2n+(4n-1). 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式应用，考查了等差数列和等比数列的前n项和公式的应用，考查了数学运算能力. 16. 设函数，且在处有极值，． （1）求实数a的值； （2）求函数的极值； （3）若存在，使得，都有成立，求实数b的取值范围． 【答案】（1） （2）极小值0，极大值32 （3） 【解析】 【分析】（1）先计算导函数，再代入1得出函数值为0计算求参； （2）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性进而得出函数极值； （3）先把恒成立问题转化为最值，再结合基本不等式求出最小值即可得出参数范围. 【小问1详解】 ，由已知得，解得． 【小问2详解】 由（1）得，则， 令，解得， 当，当， 当，可得当时，函数取极小值． 当时，取得极大值. 【小问3详解】 存在，使得，都有成立 等价于， 又由（1）（2）可知，当时，． 故，，即成立． 又因为，当且仅当，即时等号成立． 故，即的取值范围为． 17. 某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y（单位：亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； （2）求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润； （3）把利润不超过4（亿元）的年份叫做“试销年”，从2018年到2024年这七年中任取2年，X表示取到“试销年”的个数，求X的分布列和数学期望． 参考数据：，，， 参考公式：对于一组数据， ①相关系数为：； ②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，． 【答案】（1），可以推断变量y与x成正线性相关且相关程度很强； （2），6.3亿元； （3） 期望为. 【解析】 【分析】（1）根据题意判断相关性，再应用相关系数公式求相关系数，即可得结论； （2）应用最小二乘法求回归直线方程，进而估计该人工智能公司2025年的利润； （3）由题意“试销年”的个数能取的值为并求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 由题设，易知y与x线性相关，且， ， 由于，可以推断变量y与x成正线性相关且相关程度很强． 【小问2详解】 由题设，，， 所以，因此关于x的回归方程为， 当时，，即预测该人工智能公司2025的利润为6.3亿元； 【小问3详解】 由题意，2018年到2024年这七年的“试销年”为三个， 因此从2018年到2024年这七年中任取2个，取到“试销年”的个数能取的值为， 则，，， 因此的分布列如下： 所以其数学期望为. 18. 如图1所示，在平行四边形中，，垂足为A，，将沿AB折到的位置，点M为棱AB的中点，点N在棱上，如图2所示． （1）证明：平面平面； （2）当二面角的大小为， ①求四棱锥的体积； ②若直线PC与平面所成角的正弦值为，求点C到平面的距离． 【答案】（1）证明：由题意可知，图2中，，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出平面，再由面，应用面面垂直判定定理证明即可； （2）①先应用二面角定义得出，则为等边三角形及线面垂直得出高再应用四棱锥体积公式计算；②根据线面角正弦公式计算求参，最后应用点到平面距离公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①：由图1知，可得， 在图2中取AD中点O，连接， 因为，，所以为二面角的平面角， 所以，则为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面,平面， 所以平面，所以四棱锥的高为， 所以， 故四棱锥的体积为； ②以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴，平行于PO的直线为z轴，建立空间直角坐标系,则，，，，，， 设，平面的法向量为，， ， 则， 取，则． 又，所以 因为直线PC与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得，，， 此时，又因为，设点到平面的距离为d， 则. 19. 已知O为坐标原点，双曲线的离心率为，且过点. （1）求C的标准方程； （2）过C的右焦点F的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，点Q是线段的中点，过点F且与垂直的直线交直线于M点，点N满足； ①证明：点M在一条定直线上； ②求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2） ①由（1）得， 由已知直线的斜率k存在且，设直线，， 且， 联立直线与双曲线，得，恒成立，且，即，解得，又Q为A，B中点， 则，则，即， 则直线，又直线过点，且过点F，则， 联立与，即，解得，即， 即点M在直线上； ② 【解析】 【分析】（1）根据双曲线过定点，结合离心率列方程组可得曲线方程； （2）①由已知直线斜率一定存在，可设直线与，联立直线与双曲线，结合韦达定理可得点Q及直线方程，联立直线与可得点M，进而得证； ②由已知，结合弦长公式可得，则面积，设，则，设，利用导数法求解最值即可得解. 【小问1详解】 由已知双曲线离心率，即， 则双曲线方程为，又曲线过点，即，解得， 所以双曲线方程为； 【小问2详解】 ①略 ②，，又点N满足， 则四边形为平行四边形，且， 则， 设，则，则， 设，则， 令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取最小值为， 即当时，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $