精品解析：辽宁省鞍山市海城高级中学2024-2025学年高三上学期第一次抽测数学试题

2024—2025学年高三（上学期）第一次抽测 数学 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. 5 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】先化简的表达式，然后求得的模. 【详解】， 所以. 故选：B 2. 已知函数，则（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式求函数值即可. 【详解】由，所以. 故选：D 3. 设等比数列的前n项和为，且，则（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等比数列公比即可计算得解. 【详解】等比数列的公比为，由，得， 即，而，则， 因此， 所以. 故选：C 4. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次函数性质结合题意列出关于的不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以. 故选：A. 5. 设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先由题设求得（t为参数），进而求出取椭圆上顶点时的值，从而得不会为直角即可求解. 【详解】由题，又，. ，即（t为参数）， 取上顶点时最大，此时. 不会为直角，只有当或是直角才符合题意， 所以由对称性可知满足是直角三角形的点P的个数为4. 故选：C. 6. 若，则（ ） A. B. 10 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式的通项为， 又， 所以，， 所以， 故选：C 7. 已知函数在上恰有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式、二倍角的正弦公式及辅助角公式化简函数，再由函数零点个数列出不等式求解即得. 【详解】依题意， ，由，得， 而函数在上恰有2个零点，则，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 8. 在平面直角坐标系xOy中，，，，其中，，，则当面积最小时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，先由结合两角和正切公式得且，接着计算得，构造函数，利用导数求出该函数最小值即可求解. 【详解】如图所示， 设，则，，，， 所以由可得， ， 记，则， 所以时，，解得（舍去）或， 时，，解得， 所以时可取最小值，而， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由结合两角和正切公式得且即把关联起来. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设样本空间含有等可能的样本点，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意结合条件概率定义、独立事件定义和独立事件概率乘法公式逐项求出相应所需的即可判断得解. 【详解】对于A，由题意可得， 所以，故A正确； 对于B，， 所以，故B正确； 对于C，因为，， 所以，故C错误； 对于D，因为，所以.故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 若直线是图象的对称轴，则 C. 在上的值域为 D. 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用辅助角公式化简且，不妨令，结合正弦型函数的性质、诱导公式、倍角余弦公式判断各项正误. 【详解】由且，不妨令， 由化简后的解析式，易知其最小正周期为，A对； 若直线是图象的对称轴，则且，即， 所以，B错； 由，则，且， 所以，，故值域为，C对； 由题设，令，则或，且， 所以或，又， 不妨令，则，D对. 故选：ACD 11. 在长方体中，分别是棱的中点，是的中点，直线与平面交于点，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值是 B. 点到平面的距离是 C. 三棱锥的体积为 D. 四面体外接球的表面积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出与利用夹角的余弦公式计算后可判断A的正误，利用向量法可求点到平面的距离后可判断B的正误，求出的坐标后可计算三棱锥的体积，从而可判断C的正误，求出球心的坐标后可求外接球的半径，计算表面积后可判断D的正误. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 故， 故， 故异面直线所成角的余弦值为，故A正确； 因为，设平面的法向量为， 则由可得，取， 而，故点到平面的距离是，故B错误； 又，设， 则 因为共线，所以，故，即， 故，且在轴上，故，故C正确； 设四面体外接球的球心为，则， 即； ； ， 整理得到：，故，故外接球半径为， 故外接球的表面积为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：空间几何体的外接球的计算问题，首先确定球心的位置，如果球心的位置不易求得，则可以通过空间向量的方法求出球心坐标，从而解决与球有关的计算问题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】先由题意结合诱导公式得，再由倍角公式和常数“1”的代换结合分式齐次式弦化切即可求解. 【详解】由题得， 所以. 故答案为：. 13. 记的内角的对边分别为，若，则的面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦定理求出，再根据三角形面积公式即可求得. 【详解】由余弦定理得，得， 所以. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系xOy中，射线，，半圆C：.现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线、时会发生镜面反射.设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出光线与、、相切时的斜率，数形结合即可得解. 【详解】将半圆依次沿着，，作对称，如图所示： 光线在镜面发生反射可以等效处理为：光线进入了镜子后的空间， 因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点，光线变化的范围如图所示. 当光线与相切时，光线所在直线斜率为， 由对称性可知当光线遇射线时反射光线若与相切，则入射光线所在直线为与圆相切， 当光线与圆相切但遇射线时反射光线不与相切时， 此时，所以光线斜率为 ， 当光线与相切时，光线斜率为， 所以由图可知k的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是数形结合简化问题的难度. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆C：的离心率是，且点在椭圆C上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的左焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积是，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或（或） 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，即求出的值，即得答案. （2）设直线l：，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，根据三角形面积列出关于参数m的方程，求得m的值，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意可得，解得，，， 故椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知直线l的斜率不为0，. 设直线l：，，， 联立，整理得，直线过椭圆焦点，必有， 则，， 故. 因为的面积是，所以，即， 整理得，即，解得， 则直线l的方程为或（或）. 16. 在中，角的对边分别是，且． （1）证明：． （2）若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1）由题设， 所以， 则，即， 又，则，且， 所以，得证. （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系及和差角正弦公式得到，结合三角形内角性质即可证结论； （2）由题设得，应用正弦边角关系、倍角正弦公式有，即可求范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题设，即，得， 由，而，故. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为等腰梯形，其中，． （1）证明：平面平面． （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 过作，垂足为，则， 因为，则，且平面， 如图所示，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）过作，垂足为，建系标点，利用空间向量可得，根据线面垂直的性质可得，即可证线面垂直； （2）根据题意分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，由（1）可知：， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 18. 已知函数，. （1）设直线与曲线交于点P，求P点纵坐标的最小值； （2）a取遍全体正实数时，曲线在坐标平面上扫过一片区域，该区域的下边界为函数，求的解析式； （3）证明：当时，对任意正实数a，.（附：） 【答案】（1）点纵坐标的最小值为； （2）； （3） 由第（2）问可知恒成立，所以只需证明即可. ①若，构造 因为，所以在上恒成立，在上单调递增，所以， 即在上恒成立； ②若，， 因为，所以 构造，则. 令，则，所以在单调递增， 而，所以恒成立， 在单调递增，. 因为，即， ，所以， 而，即证在上恒成立. 【解析】 【分析】（1）由时的结合基本不等式即可求解； （2）构造函数并求导，根据导函数分和两种情况研究函数单调性求出其最小值即可得解； （3）由第（2）问恒成立，将问题转化成证明，再利用导数分段求证成立即可得证. 【小问1详解】 时，. 令，当且仅当时等号成立， 所以点纵坐标的最小值为. 【小问2详解】 ，定义域为， 令， 则， ①当，即时，，在上单调递增， ； ②当，即时，由， 在上单调递减，在上单调递增， . 综上所述，. 【小问3详解】 略 19. 某项测试共有道多项选择题，每道题的评分标准如下：全部选对得5分；部分选对得2分；有选错或不答得0分．记道题的总得分为的取值个数为． （1）求的值； （2）当时，若某人参加这项测试，每道题得5分、2分、0分的概率相等，且每道题答对与否相互独立，求的概率； （3）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）通过列举分析的方式确定的值. （2）确定时分两种情况，分别计算相加即可. （3）分情况讨论每种情况下总得分的取值个数，相加计算，表示，用裂项相消法计算前项和. 【小问1详解】 ①当时，的取值可能为0，2，5，共3个，故； ②当时，的取值可能为0，2，4，5，7，10，故； ③当时，的取值可能为0，2，4，5，6，7，9，10，12，15，故； 【小问2详解】 由题意得，每道题得5分、2分、0分的概率均为. 当两题得5分，三题得0分时，，概率为， 当5个题得分均为2分时，，概率为， ∴的概率为. 【小问3详解】 当时，根据规则，得分情况如下： 0 2 5 4 7 10 6 9 12 15 因为奇数列的得分为偶数，偶数列的得分为奇数，最后一行得分的前一个项得分（第列最后一个数），与第列第一个得分，得分恰好差2，所以刚好连接上来（所有的偶数和奇数没有缺）； 因为最后一行得分（第列最后一个数），与第列第一个得分，得分恰好差4，所以连接起来后恰好缺了得分， 则在，1，2，，中不能取到的值构成的集合为，3，，，，， 所以也适合． 结合（1）可得， 所以当时，；当时，； 当时，， 则， 当时，满足上式， 所以． 【点睛】本题解题的关键是正确理解题意，对（2）的解答是本题的难点，解题的关键是根据得分情况列出去表格求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高三（上学期）第一次抽测 数学 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. 5 D. 13 2. 已知函数，则（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 3. 设等比数列的前n项和为，且，则（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 4. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 6. 若，则（ ） A. B. 10 C. 15 D. 16 7. 已知函数在上恰有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系xOy中，，，，其中，，，则当面积最小时，（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设样本空间含有等可能的样本点，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 若直线是图象的对称轴，则 C. 在上的值域为 D. 若，且，则 11. 在长方体中，分别是棱的中点，是的中点，直线与平面交于点，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值是 B. 点到平面的距离是 C. 三棱锥的体积为 D. 四面体外接球的表面积是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_________. 13. 记的内角的对边分别为，若，则的面积为__________. 14. 在平面直角坐标系xOy中，射线，，半圆C：.现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线、时会发生镜面反射.设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆C：的离心率是，且点在椭圆C上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的左焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积是，求直线l的方程. 16. 在中，角的对边分别是，且． （1）证明：． （2）若是锐角三角形，求的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为等腰梯形，其中，． （1）证明：平面平面． （2）若，求二面角的余弦值． 18. 已知函数，. （1）设直线与曲线交于点P，求P点纵坐标的最小值； （2）a取遍全体正实数时，曲线在坐标平面上扫过一片区域，该区域的下边界为函数，求的解析式； （3）证明：当时，对任意正实数a，.（附：） 19. 某项测试共有道多项选择题，每道题的评分标准如下：全部选对得5分；部分选对得2分；有选错或不答得0分．记道题的总得分为的取值个数为． （1）求的值； （2）当时，若某人参加这项测试，每道题得5分、2分、0分的概率相等，且每道题答对与否相互独立，求的概率； （3）求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $