精品解析：辽宁省鞍山市海城高级中学2024-2025学年高二上学期第一次抽测数学试题

2024—2025学年高二（上学期）第一次抽测 数学 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知点关于z轴的对称点为B，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线：与：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或2 D. 8. 已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 空间任意三个向量都可以作为一组基底 B. 已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C. 、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面 D. 已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 10. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量 11. 在正方体中，有下列说法，其中正确的有（） A. B. C. 的夹角为60° D. 正方体的体积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为______. 13. 在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数______. 14. 已知在空间直角坐标系中，点的坐标分别是，则点到直线的距离为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知、在直线上. （1）求直线的方程； （2）若直线倾斜角是直线倾斜角的2倍，且与的交点在轴上，求直线的方程. 16. 如图，在正四棱锥中，底面是边长为1的正方形，是与的交点，，是的中点． （1）设，，，用，，表示向量； （2）在如图的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 18. 如图，为正方体． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 19. 已知直线 （1）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （2）判断直线与直线的位置关系 （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高二（上学期）第一次抽测 数学 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果. 【详解】由空间直角坐标系的性质可知， 点关于平面对称的点的坐标是. 故选：A 2. 已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用向量加法法则、减法法则计算即可. 【详解】. 故选：B. 3. 已知点关于z轴的对称点为B，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解. 【详解】点关于z轴的对称点为B， 所以. 故选：A. 4. 已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点斜式方程求解即可. 【详解】直线在轴上的截距为，点在直线上， 又直线的斜率为,根据点斜式方程得即. 故选：B. 5. 已知直线：与：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由两线平行的判定列方程求参数a，注意验证是否存在重合情况，结合充分、必要性定义判断条件间的关系》 【详解】由，则，即，故或， 时，，，即，显然两线重合； 时，则，，即，故. 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C 6. 已知，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，利用向量相等，列方程组求实数的值. 【详解】若共面，则， 即， 所以，解得：. 故选：B 【点睛】本题考查空间向量共面，重点考查共面的公式，计算能力，属于基础题型. 7. 已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 8. 已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线恒过的定点，根据斜率公式即可求解. 【详解】由直线， 变形可得，由，解得， 可得直线恒过定点， 则， 又直线的斜率为， 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为. 故选：A. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 空间任意三个向量都可以作为一组基底 B. 已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C. 、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面 D. 已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量组成基底的条件逐项判断即可. 【详解】对于A项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底，故A错误； 对于B项，若，则、与任何向量都共面，故不能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C项，若、、不能构成空间的一组基底，则、、共面， 又、、过相同的点，则、、、四点共面，故C正确； 对于D项，若，，共面， 则，可知，，共面， 与为空间向量的一组基底相矛盾，故，，可以构成空间向量的一组基底. 故选：BCD. 10. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入的值，得到向量的坐标，利用向量的坐标运算，判断向量的平行垂直，求向量夹角的余弦和投影向量的坐标. 【详解】向量 若，则，，所以，A选项正确； 若，，，不满足则，B选项错误； 若，，则，C选项正确； 若，，则向量在向量上的投影向量: ，D选项正确. 故选：ACD 11. 在正方体中，有下列说法，其中正确的有（） A. B. C. 的夹角为60° D. 正方体的体积为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用空间向量的加减运算法则及向量夹角的定义判断即可. 【详解】如图所示， ，故A正确； ，故B正确； 与的夹角是夹角的补角， 而的夹角为，故的夹角为，所以C错误； 正方体的体积为. 故选：AB. 【点睛】本题考查空间向量的线性运算及空间向量的夹角问题，较简单，解答时类比平面向量的解法进行即可. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式代入计算即可得出结果. 【详解】将直线化为一般方程可得， 由点到直线距离公式可得坐标原点到直线的距离为. 故答案为： 13. 在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数______. 【答案】2 【解析】 【分析】结合空间向量基本定理，利用向量的线性运算求得，即可解答. 【详解】因为 ， 又， 所以，，，所以. 故答案为：2 14. 已知在空间直角坐标系中，点的坐标分别是，则点到直线的距离为______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用空间向量点到线的距离公式即可得解. 【详解】，， 所以， 则点到距离为 . 故答案为：1. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知、在直线上. （1）求直线的方程； （2）若直线倾斜角是直线倾斜角的2倍，且与的交点在轴上，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程； （2）设直线的倾斜角为，则，利用二倍角公式求出，再求出直线与轴的交点，再由斜截式得到直线的方程. 【小问1详解】 因为、在直线上， 所以，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 设直线的倾斜角为，则， 所以， 所以直线的斜率， 对于，令得，即直线与轴交于点， 所以直线的方程为. 16. 如图，在正四棱锥中，底面是边长为1的正方形，是与的交点，，是的中点． （1）设，，，用，，表示向量； （2）在如图的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的线性运算法则计算可得． （2）由于，，再求出点坐标，即可得到的坐标，再代入即可得出． 【小问1详解】 解： ，，，，， ． 【小问2详解】 解：因为，，，，． ． ． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）平面平面，且两平面交于，又， 平面. 在中，，，. 且，是等腰直角三角形， ，. ，， 又，为等腰直角三角形，. ，， 又，所以，平面,平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形边角关系可证明相似，即可得,即可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面，且，所以建立如图所示空间直角坐标系. 可得，，， 即，. 设平面的法向量为，则， 解得. 平面的法向量为. 设二面角为，所以， 则. 18. 如图，为正方体． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则 因为 ， 且， 所以 ， 又，平面， 所以 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由向量垂直证明； （2）利用向量法，线面角的求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，为平面AB1C的一个法向量， 又， 所以 所以直线B1C1与平面AB1C所成角的正弦值为， 故直线B1C1与平面AB1C所成角的余弦值为 19. 已知直线 （1）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （2）判断直线与直线的位置关系 （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）； （2）当时，两直线平行，当时，两直线相交； （3）4， 【解析】 【分析】（1）根据直线不经过第四象限，得到不等式，求出； （2）先根据平行的条件得到方程，求出，验证后得到两直线平行；当时，两直线相交； （3）根据题意得到不等式，求出，表达出，由基本不等式求出最值，并求出直线方程. 【小问1详解】 由直线不经过第四象限，又， 则，解得； 【小问2详解】 令，解得，此时直线，显然与平行； 当时，两直线相交， 综上，当时，两直线平行，当时，两直线相交； 【小问3详解】 直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面为， 由直线的方程可得与坐标轴的交点，， 则，解得：． ， 当且仅当，即时取等号． 的最小值为4，及此时直线的方程为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $