2025年九年级中考复习数学几何模型研究大讲堂 专题十 ”风筝“模型

初中数学]何模型研穷大讲堂 专题十:风筝模型 PART1 模型认知 已知 图示 结论(性质) B、C为DAE边AD # DBF+ ECF= A+F AE上一点,点F为乙DAE 内部一点,连接BF、CF 在之DAE内部形成凸四 边形ABCF.形成“风筝 模型. 将△ABC沿BC折叠 DBF+ ECF=2A 得到△BCF,形成“角内 翻”模型. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 三角形外角等于它不相邻 考法1 “风筝” 常在选择或填空题中考查的两个内角之和 利用模型求角 模型进行的相关角度、多结论判断 度计算 PART2 模型思路。 这是一种常考的模型,实际以中档题偏向难题一点往往是利用模型求角度,并 结合翻折,如果不了解该模型,做题有一定难度 常见辅助线作法 图示 类型 辅助线作法 连接利用外角证明,(“角内翻”模 “风筝”“角内 型本质是翻折对应的角相等,是“风筝 翻”模型. 模型中的特殊类型,所以辅助线可归纳 为一类) 证明过程: :DBF、ECF分别是△ABF、△ACF的外角 . DBF= BAF+ AFB,ECF= CAF+ AFC.$ . DBF+ ECF= A+ F PART3- 模型解析. 预备层--抽离模型练 1.(2023·浙江衡州)如图是脊柱侧弯的检测示意图,在体检时为方便测出Cobb 角之O的大小,需将之O转化为与它相等的角,则图中与之O相等的角是 ). A: 乙BEA C.乙ECA B. 乙DEB D.2ADO 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质可知:乙O与ADO互余,乙DEB与 ADO互余,根据同角的余角相等可得结论 【详解】由示意图可知:△DOA和△DBE都是直角三角形 :O+ADO=90DEB+ADO=90 .DEB-乙O 故选:B. 【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用,掌握直角三角形的两个锐角 互余是解题的关键 凸面 回面 宽当cobb>10为脊侧弯 D C A 第1题图 第2题图 第3题图 2.(原创)如图,将△4BC沿BC折叠,得到△BCF,若点F在△4DE外部且 A=50*,则乙DBF+乙ECF=( ). A.50* B.75* C.100d D.125 【答案】C 【分析】根据模型结论进行角度转换即可 【详解】:DBF、ECF分别是△4BF、△4CF的外角 DBF= BAF+$AFB,$ECF= CAF+ AF$C . DBF+ ECF=A+ F ..A-乙F . DBF+乙ECF-100。. 故选:C. 2. (2022重庆一外入学)如图,在Rt△ABC中,乙A=90*,点E,F分别为AB, AC上一点,将AABC沿直线EF翻折至同一平面内,点4落在点A处,EA,F4分 别交BC边于点M,N. 若乙BEA-80*,则2CFA的度数为_. 【答案】100。 【分析】本题考查了翻折变换(折叠问题),先根据平角定义可得之AEA=100 然后利用折叠的性质可得:乙AFA-2乙AFE,乙AEF=乙A'EF-1 -乙AEA'=50o,从 而利用直角三角形的两个锐角互余可得 AFE=90{*=40{。,进而可得之AFA80。 最后利用平角 定义进行计算,即可解答. 【详解】解:.乙BEA'=80*. .: AEA'=180*- BEA'=100*. 2 .A-90, ..AFE=90-AEF-40 ../AFA'=2/AFE=80*, . CFA'=180*- AFA'=100* 故答案为:100. A层 基础模型练 4.(2024·重庆合川期末) 如图,在AABC中,2BAC=60。,将AABC沿DE折 叠,使点A落在BC边上A处,下列结论正确的是( ). A.乙1+ 2= B+ C B. 1+ 2> B+ C C.乙1+z2 zB+C D.无法判断 1+z2与乙B+ C的大小关系 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质,三角形内角和定理,熟练掌握折叠的性质是解 答本题的关键。由折叠的性质得,3=5.4=6从而求出1+2=120* ,由三角形内角和可求出 B+C=120,从而可得 1+ 2= B+C 【详解】解:如图, 由折叠的性质得,乙3= 5.乙4- 6 1=180-3-5-180-25.2-180-4-6=180-26$$$ .1+ 2=360-2( 5+6) ·5+ 6=180o-BAC=120 1+2=360-2120=120 B+ C=180*- BAC-120 1+2-B+C 故选:A. 5.(2024·重庆渝北校级阶段练习)如图,M,N分别是AABC的边AB,AC上一 点,将AABC沿MN折叠,使点A落在边BC上,若乙1+Z2+Z3+24=235*, 则2A()。 B.45。 A.35。 C. 65 D.55。 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理,先根据三角形内角和定理求出C+ B-125,再求出之A的度数即可得到答案; 【详解】解:1+2+3+ 4=235°1+ 4+B=1802+3+ C-180", C+B=360-(1+2+3+ 4)-125 ·:ZA+/C+/B=180*, .'. A=180-(C+ B)=55”. 故选:D #_ A 7 第4题图 第5题图 第6题图 6.(2024·山东德州校级期中)如图,将四边形纸片ABCD沿MN折叠,点A、 D分别落在点A、D处,若 1+2=130,则乙B十 C=(). C.135 A.115* B.30* D.150 【答案】B 【分析】先根据 1+2=140*得出乙AMN+DNM的度数,再由四边形内角和 定理得出结论 【详解】解::1+乙2-140。 A+ D+AMN+DNM=360*, {A+ D+ B+ C=360:B+C= AMN+DNM-110 故选:B. 【点睛】本题主要考查的是翻折变换,四边形的内角和,熟知图形的翻折不变性是解 答此题的关键 7.(2025·山西大同期末)将AABC按如图所示的方式折叠,点A的对应点是点 A,点B的对应点是点B,DE为折痕,若乙A+2B=135*,则21+22的度数 为 7 【答案】90* 【分析】本题考查图形的折叠和三角形的内角和定理的应用,根据折叠的性质得出 B=乙B’,乙A=乙A然后根据三角形的内角和定理和对顶角相等即可得出结论,解 题的关键是明确题意; 列出相等关系的式子 【详解】解:设4'B'交CD于点E交CE于点G # 由折叠得:乙B-乙B’,乙A-乙A’. : C+ CFG+ CGF=180”且 CFG= A'FD , CGF= EGB .C+乙A'FD+乙EGB'-180* .A'FD=180*- 1- A', EGB'=180- 2- B$ C+(180-1- A)(180-2-B)-180 A+ B+ C=180 A+ B=135$$$ ' C=180- A- B-45* .C+C- 1+180-2=180 .2 C= 1+ 2=90 故答案为:90%. B层 进阶模型练 8. (2025·重庆永川期末)如图,将AABC沿DE折叠,使点A落在点A处 且BA平分乙ACB,CA平分乙ACB,若乙BAC=110*,则乙1+22的度数为 B.90 A.100。 C.80。 D.70 【答案】C 【分析】连接AA',根据三角形内角和求出之BAC.再根据 1= DA'A+DAA',2= EA'A+ EAA'.得 出1+2=2 BAC从而 得出答案。 【详解】解:如图,连接44。 :2BAC=110*, :乙A'BC +乙A'CB =70* ·.BA平分2ACB,CA平分2ACB ABC=2 ABC$ACB=2 ACB :ABC+ ACB=I40$ .BAC-180-140=40 · 1=DA'A+DAA'2=乙EA'A+ EAA' 由折叠知:DA=DA',EA=EA' : DAA'= DA'A, EAA'= EA'A +2=2DAA'+EAA'=2(DAA'+EAA')=2BAC=8 0$* 故选:C. 【点晴】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、角平分线的 定义、等腰三角形的性质,三角形的外角的性质等知识,解题的关键 是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识。 9.(2024河南信阳期中)如图,在四边形ABCD中,点E,F分别在AD,AB边上 ,将2A沿FF折叠,使点A落在点G处,连接GE,GF,有下面四个结论 ①AF=GF:②直线EF是线段AG的垂直平分线;③ $ B+$ C+ $D+ $G=360*$:$④ BFG$= $DEG+2 A$$ 所有正确结论的序号为(). A.①③ B.①②③ C.②③④ D.①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换,线段垂直平分线的判定,多边形内角和 公式,三角形外角性质,掌握翻折不变性,以及相关性质是解题的关 键由翻折不变性,可判断①正确;由翻折不变性,可得AF=GF,AE-GE 可判断②正确;由多边形内角和公式和翻折不变性,可判断③正确; 由三角形外角性质和翻折不变性,可判断④正确;即可解答。 【详解】解::GF是由AF翻折得到的, .AF-GF, 故①正确; .GF是由AF 翻折得到的,GE 是由AE 翻折得到的, AF-GFAE=GE. . 点E,点F都在AG的垂直平分线上, .真线EF是线段AG的垂直平分线 故②正确; G是由乙A翻折得到的, G=乙A .B+C+D+ A=360* .. B+C+ D+G=360{ 故③正确;设AD与GF交于点H :G是由乙A翻折得到的,G-乙A, .' BFG=$$FHA+ $A=$$DEG$+$$G+$A=36 0 ,.' BFG= DEG+2 A$$$$ 故④正确; 综上,正确的有:①②③④. 故选:D E E 第8题图 第9题图 第10题图 $1. (原创)如图,A=60{*},F=70^{}, G=55^{},ACF的平分线交 DBF平分线的反向延长线,若AD//CF,则ECF= 【答案】20* 【分析】设。DBF=x,ECF=y,利用模型结论并表示出G,则会 出现方程组,解出y即可。 【详解】解:设DBF=x,ECF=y. A-60。,F-70。. ..x+y=130* ·.CG、GB的反向延长线分别平分乙ACF、DBF :. ABG= ABD,GCF=(180*- ECF).$$ .'AD//CF :(x+180-y)+55=180 .y=20. ..ECF=20* 11.(2023·甘肃天水联考期末)如图①,21、乙2是四边形ABCD的两个不相邻 的外角. (1)猜想并说明21+62与<A、乙C的数量关系; (2)如图②,在四边形ABCD中,乙ABC与乙ADC的平分线交于点O.若乙A=60。 ,乙C=130。,求乙BOD的度数; (3)如图③,BO、DO分别是四边形ABCD外角乙CBE、2CDF的角平分线。请直 接写出乙A、2C与乙O的数量关系_. ,E E ,E E ① ② ③ 【答案】(1)z1+乙2=乙A+C (2)145°; (3)C-乙A-2O. 【分析】(1)根据多边形内角和与外角即可说明/1+乙2与乙A、C的数 量关系; (2)结合(1)的结论,根据 ABC 与 ADC 的平分线,A=60*C=130 即可求BOD的度数; (3)结合(1)的结论,根据BO、DO分别是四边形ABCD外角/CBE、 CDF的角平分线进而可以写出之A、C与之O的数量关系 【详解】(1)猜想:1+2=乙A+C,理由如下: 1+ABC+2+ ADC=360*A+ ABC+C+ADC=360 .乙1+2=乙A+C $):A=60*C=130* A+ ABC+C+ ADC=360*$$$ . ABC+ ADC=360*-190*=170 :BO、BO分别平分乙ABC与ADC. 2OBC-2ABC.20DC-/ADC 20BC+ 0DC-(2ABC+2ADC)-85* . BOD=360-(OBC+ODC+ C)-360-85-130=145$$ (3)乙A、C与O的数量关系为:C-乙A=2O.理由如下: :BO、DO分别是四边形ABCD外角CBE、CD的角平分线, $ FDC=2 FDO=2 ODC.EBC=2 EBO=2 $CB$O$ 由(1)可知:FDO+EBO= A+O.2FDO+2 EBO= A+C 2 A+2O= A+CC-A=2O 故答案为:乙C-乙A-2乙O 【点睛】此题考查了多边形内角与外角、三角形内角和定理,解决本题的关键 是掌握多边形外角 C层--压轴模型练 12.(2023·四川南充)如图,在等边AABC中,过点C作射线CD1BC,点M, V分别在边AB,BC上,将AABC沿MN折叠,使点B落在射线CD上的点B'处, 连接AB',已知AB-2. 给出下列四个结论:①CN+NB'为定值;②当 BN=2NC时,四边形BMB'N为菱形;③当点N与C重合时,2AB'M=18*; ④当AB'最短时 其中正确的结论是 (填写序号). D M B 【答案】①②④ 【分析】根据等边三角形的性质可得BC=2,根据折叠的性质可得NB'=NB,由此即可判 断①正确;先解直角三角形可得/CBV=30{*,从而可得/B'NC=60{*}=ZB,然后根据平行 线的判定可得BM//BN,MB'//BN,根据菱形的判定即可得②正确:先根据折叠的性质可 得BC=BC, MB'C= B=60*,从而可得AC=B'C,再根据等腰三角形的性质可得 乙AB'C=CAB'=75*,然后根据 AB'M= AB'C-ZMB'C即可判断③错误;当AB'最短时, 则AB'1CD,过点M作ME1BC于点E,连接BB',交MN于点O,先利用勾股定理求出初中数学几何模型研究大讲堂 专题十：风筝模型 PART 1- 模型认知. 已知 图示 结论（性质） B、C为∠DAE边AD ∠DBF+∠ECF=∠A+∠F AE上一点，点F为∠DAE 内部一点，连接BF、CF 在∠DAE内部形成凸四 边形ABCF.形成“风筝 模型. 将△ABC沿BC折叠 ∠DBF+∠ECP=2∠A 得到△BC.形成“角内 翻”模型. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 三角形外角等于它不相邻 考法1“风筝” 利用模型求角度 常在选择题或填空题中考的两个内角之和、三角形内 查 角和为180° 模型的相关角度计 算 PART 2 一模型思路 这是一种常考的模型，实际以中档题偏向难题一点往往是利用模型求角度，并 结合翻折，如果不了解该模型，做题有一定难度 常见辅助线作法： 类型 图示 辅助线作法 连接利用外角证明.(“角内翻”模 “风筝”“角内 型本质是翻折对应的角相等，是“风筝 翻”模型 模型中的特殊类型，所以辅助线可归纳 为一类) 证明过程： :∠DBF、∠ECF分别是△ABF、△ACF的外角. ·∠DBF-∠BAF+∠AFB,∠ECF-∠CAF+∠AFC ∴，∠DBF+∠ECF=∠A+∠F PART 3 模型解析。 预备层—一抽离模型练 1.(2023·浙江衢州)如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb 角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是(). A.∠BEA B.∠DEB C.∠ECA D.∠ADO 凸面 凹面 宽 长宽当cobb>10°为脊柱侧弯 R 宽 E cobb角> 0 宽 第1题图 第2题图 第3题图 2.(原创)如图，将△ABC沿BC折叠，得到△BCF,若点F在△ADE外部且∠ A=50°，则∠DBF+∠ECF=(), A.50 B.75 C.100 D.125 3.(2022重庆一外入学)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点E,F分别为AB,AC 上一点，将△ABC沿直线EF翻折至同一平面内，点A落在点A处，EA,FA分别 交BC边于点M,N.若∠BEA=80°，则∠CFA的度数为· A层 基础模型练 4.(2024·重庆合川期末)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，将△ABC沿DE折 叠，使点A落在BC边上A处，下列结论正确的是()· A.∠1+∠2=∠B+∠CB.∠1+∠2>∠B+∠C C.∠1+∠2<∠B+∠CD.无法判断∠1+∠2与∠B+∠C的大小关系 5.(2024·重庆渝北校级阶段练习)如图，M,N分别是△ABC的边AB,AC上一 点，将△ABC沿MN折叠，使点A落在边BC上，若∠1+∠2+∠3+∠4=235°， 则∠A=(), A.35 B.45 C.65 D.55 A A M B 第4题图 第5题图 第6题图 6.(2024·山东德州校级期中)如图，将四边形纸片ABCD沿N折叠，点A、 D分别落在点A1、D1处.若∠1十∠2=130°，则∠B+∠C=(). A.115 B.130 C.135 D.1509 7.(2025·山西大同期末)将△ABC按如图所示的方式折叠，点A的对应点是点 A,点B的对应点是点B,DE为折痕.若∠A+∠B=135°，则∠1+∠2的度数 为 A B层一一进阶模型练 8.(2025·重庆永川期末)如图，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A处， 且BA平分∠ACB,CA平分∠ACB,若∠BAC=110°，则∠1+∠2的度数为 (). A.100°B.90°C.80°D.70° 9.(2024河南信阳期中)如图，在四边形ABCD中，点E,F分别在AD,AB边上 ,将∠A沿EF折叠，使点A落在点G处，连接GE,GF,有下面四个结论： ①AF=GF:②直线EF是线段AG的垂直平分线；③ ∠B+∠C+∠D+∠G=360°；④∠BFG=∠DEG+2∠A. 所有正确结论的序号为(). A.①③ B.①2③ C.②③④ D.①②③④ B B 第8题图 第9恩图 第10题图 10.(2025·浙江杭州联考期末)如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A落在点A处， 恰好满足AB平分LABC,AC平分∠ACB,若∠1=125°，则∠2度数为 11.(原创)如图，∠A=40°，∠F=70°，∠G=55°，若∠ACP的平分线交∠ DBF平分线的反向延长线，则∠ECF=· D C层—一压轴模型练 11.(2023·四川南充)如图，在等边△ABC中，过点C作射线CD⊥BC,点M, N分别在边AB,BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B'处， 连接AB',已知AB=2.给出下列四个结论：①CN+NB'为定值：②当 BN=2NC时，四边形BMB'N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB'M=I8°： 7W21 ④当AB'最短时，MN= 20. 其中正确的结论是 (填写序号)， B C 12.(2023·甘肃天水联考期末)如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻 的外角。 F D02 D B E B ① ② ③ (1)猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系： (2)如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O.若∠A=60 ,∠C=130°，求∠BOD的度数： (3)如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线.请直 接写出∠A、∠C与∠O的数量关系 13.(2025·山西晋中期末)△ABC中，∠C=70°，点D,E分别是△ABC边AC ,BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠a. 图4 图1 图2 图3 初探： (1)如图1，若点P在线段AB上，且∠a=60°，则∠1+∠2= (2)如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2，∠a之间的关系为 (3)如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1，∠2，∠a之间的关系为 再探： (4)如图4，若点P运动到△ABC的内部，写出此时∠1，∠2，∠a之间的关系， 并说明理由. 14.(2025·四川广安期末)如图1，等边△ABC中，点D为BC中点，点E为边 AC上一动点（不与点C重合），ACDE关于DE的轴对称图形为△FDE. A E B D B D B 图1 图2 图3 (I)如图1，当点F在AC上时，求证：DF∥AB: (2)如图2，当点F在△ABC内部时，求∠BDF+∠AEF的度数； (3)如图3，当点F在△ABC外部，AC上方时，直接写出∠BDF-∠AEF的度数. 15.(2023·江苏扬州期末)(1)如图1，把三角形纸片ABC折叠，使3个顶点重 合于点P.这时，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= G M B G 图1 图2 图3 图4 (2)如果三角形纸片ABC折叠后，3个顶点并不重合于同一点，如图2，那么(1) 中的结论是否仍然成立？请说明理由： (3)折叠后如图3所示，直接写出∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6之间的数量关 系 (4)折叠后如图4，直接写出∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6之间的数量关系： PART4 模型变式. 变式层一一回顾模型练 【变式1】(2023·四川成都校级期中)如图，将等边三角形ABC纸片折叠，使 得点A的对应点D落在BC边上，其中折痕分别交边AB,AC于点E,F,连接 DE,DF.若DF⊥BC,则LAEF的度数是()， A.15 B.30° C.45° D.60° D E D B 【变式1】题图 【变式2】题图 【变式3】题图 【变式2】(2024安徽准北期末)如图，四边形纸片的边AB‖CD,E是边CD上任 意一点，三角形BCE沿BE折叠，点C落在点F的位置.∠C=60°， ∠FED=46°，则∠ABF的度数为()， A.13 B.14° C.15° D.16 【变式3】(2024云南校级月考)如图，已知点E,F分别在△ABC的边AB,AC上， 将∠A沿EF折叠，使点A落在点P的位置，已知∠A=70°，则∠1+∠2的度数为 )· A.100 B.120 C.1409 D.135 【变式4】（原创）如图，若∠DBF+∠ECF-140°，则∠A+∠BFC= B E D D E 【变式4】题图 【变式5】题图 【变式5】（原创）如图，若∠DBF=50°，∠ECF=30°，∠A=40°时，∠F=