专题03 平面向量奔驰定理与三角形四心问题七种考法-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）

专题03 平面向量奔驰定理与三角形四心问题七种考法 一、方法讲解 1.奔驰定理：----解决面积比例问题 ，则、、的面积之比等于 奔驰定理证明：如图，令，即满足 ，，，故． 2.三角形四心与推论： （1）是的重心：． （2）是的内心：． （3）是的外心： ． （4）是的垂心： ． 3.常见结论 （1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上． 为的内心． （2）外心：为的外心． （3）垂心：为的垂心． （4）重心：为的重心． 4.三角形的四心与奔驰定理的关系 (1)O是△ABC的重心：. (2)O是△ABC的垂心：. (3)O是△ABC的内心：. (4)O是△ABC的外心： . 二、重难点例题及变式 类型一、奔驰定理 例．已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】由，得， 如图，分别是的中点， 则， 所以在线段上，且， 得，设，则，所以， 因为，，， 所以，则，解得. 故选：B 【变式训练1】奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】为三角形内一点，且满足， ， ． ， 故选：D． 类型二、重心问题 例．（1）已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的 .（选填：外心、内心、垂心、重心） 【答案】重心 【解析】过作，垂足为，取中点为，连接，如下所示： 则， 则，则， ，又为非负实数， 故共线，也即三点共线，又为三角形中线，故的轨迹过三角形的重心. 故答案为：重心. （2）在中，已知，点G为的外心，点O为重心，则= ． 【答案】 【解析】设的中点为，连接， 由点G为的外心，可得， 由点O为重心，可得， 故 .      故答案为：. （3）设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接并延长，则通过的中点，过，分别向所在直线作垂线，垂足分别为，， 如图所示 与的面积之比为 根据三角形相似可知，则 即 由平行四边形法则得 根据待定系数法有，则 故选：D 【变式训练1】已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（  ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以， 所以，即， 因为三点共线，可得，所以. 故选：A．    【变式训练2】点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（  ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【解析】设的中点为点，所以， 则， 若四点共线时，即点都在中线上，所以经过三角形的重心， 若四点不共线时，，且，连结，交于点， 如图， ，即点是三角形的重心，即经过的重心， 综上可知，经过的重心. 故选：A. 【变式训练3】如图所示，中为重心，过点，，，则 ．    【答案】3 【解析】设 根据题意，； ，，，三点共线，则存在，使得， 即，即， ，整理得，所以； 故答案为：3 类型三、垂心问题 例．（1）在中，若，则点H是的（  ） A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心 【答案】D 【解析】因为，则， 所以，即点H在边的高线所在直线上， 同理可得：， 所以点H为的三条高线的交点，即点H是的垂心. 故选：D （2）已知在中，，点为的垂心，则=（  ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【解析】延长交于点， 因为，点为的垂心， 所以为的中点，， 所以 ， 故选：D 【变式训练1】已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（  ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以，即直线一定经过三角形的边上的高，即直线一定经过三角形的垂心. 故选：D. 【变式训练2】已知的垂心为点，面积为15，且，则 ；若，则 . 【答案】 30 5 【解析】如图，     是的边上的高，则；设， 因为，面积为15，所以，即； . 由第一空可知，所以； 所以，由可得，即； 因为， 所以， . 故答案为：30;5. 类型四、内心问题 例．在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（  ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】B 【解析】延长AC，使得AC=CD， 则， 因为，所以， 因为，所以， 所以是等腰三角形， 所以点M在BD的中垂线上，所以AM平分， 直线AM一定经过的内心. 故选：B. 【变式训练1】设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（  ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【解析】因为 ， 所以 ， ， 即 ， ， 所以 ， ． 所以，， 又， 所以 ， ， 所以 在 的平分线上， 在 的平分线上， 所以点 是 的内心． 故选：C． 【变式训练2】设O为的内心，，，，则 （  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连， 因为，，所以，， 所以的内心在线段上，为内切圆的半径， 因为， 所以， 所以，得， 所以， 所以， 又，所以， 又已知，所以， 所以. 故选：B. 【变式训练3】已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（  ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【解析】因为 ， 根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上， 而向量与共线， 点的轨迹过的内心. 故选：C． 类型五、外心问题 例．（1）已知点在所在平面内，满足，则点是的（  ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【解析】因为，即点到的距离相等， 所以点是的外心. 故选：A （2）在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（  ） A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【解析】因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接， 所以，，设， 则 ， 又是的外心，所以 ， 所以. 故选：B 【变式训练1】为所在平面内一点，且满足，则是的（  ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】依题意，， ， ， 则，于是， 所以是的外心. 故选：B 【变式训练2】已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，所以是的中点，又是的外心， 则，再由，， 则为正三角形，， 角度一：如图，过点作，垂足为，则，， 所以向量在向量上的投影向量等于. 角度二：设，则，所以， 所以向量在向量上的投影向量等于. 故选：C. 【变式训练3】已知O为的外心，，则（  ） A．8 B．10 C．12 D．1 【答案】A 【解析】如图，O为的外心，过作于 因为，所以 则. 故选：A. 类型六、奔驰定理与四心问题 例．（1）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题错误的是（  ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【答案】C 【解析】对于A：取的中点D，连接， 由，则， 所以， 所以A，M，D三点共线，且， 设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以为的重心，故A正确； 对于B：由为的内心，则可设内切圆半径为， 则有， 所以， 即，故B正确； 对于C：由为的外心，则可设的外接圆半径为， 又， 则有， 所以， ， ， 所以，故C错误； 对于D：如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E， 由为的垂心，，则， 又，则，， 设，则， 所以，即， 所以，所以，故D正确． 故选：C． （2）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（  ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，，，则 D．若为的垂心，则 【答案】ABD 【解析】对于A：如下图所示， 假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上， 同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确； 对于B：由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为， 则有可知， 若，可得，即B正确； 对于C：由，可知， 又，所以， 由可得； 所以，即C错误； 对于D：由四边形内角和可知，， 则， 同理， 因为O为的垂心，则， 所以， 同理得，， 则， 令， 由， 则， 同理：， ， 综上，， 根据奔驰定理得，即D正确. 故选：ABD. 【变式训练1】如图，已知是的垂心，且，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，如图， 则，，，，， 因此，， 同理， 于是得， 又 由“奔驰定理”有 即，所以， 故选：A. 【变式训练2】在中，，，，O是的内心，且，则=（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先证明：引理（“奔驰”定理）如图1，O是内的一点，，，的面积分别为，，，则． 证明  如图3，延长AO，与BC边相交于点D， 则． 记，则，即， 所以， 又，所以， 从而． 接下来证明定理3    O是的内心（其中是的三边长）． 证明：设的内切圆半径为r，O是的内心， 则． 根据引理得，O是的内心． 由，可得， 即， 因为O为的内心，，，， 根据定理3，可知，解得，，故． 故选：D． 【变式训练3】在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（  ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心. 故选：B 【变式训练4】“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】   如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，所以， 又，则，同理可得，所以， 设，，则，， 所以，即，， 所以， 所以. 故选：B. 三、能力测试练 1．已知在中，为的重心，为边中点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，为的重心，为边中点， 对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为在中，为边中点， 则， 所以，故C正确； 对于D，若成立， 则，即，则， 又为边中点，故，这不一定成立，故D错误. 故选：C． 2．在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（  ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【解析】 因为，且D为中点，， 则， 又因为，则可得四边形为菱形， 即为菱形的对角线， 所以平分，即直线经过的内心 故选：A. 3．已知平面向量 ，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，， ∵，解得：， ∴两向量夹角， ∵， 以为坐标原点, ,垂直于所在直线为,轴建立平面直角坐标系, 如图所示, 则, 设, 由, 知, 解得, ∴ 又E为的外心， ∴ ， ∴为等边三角形, ∴， ∴, ∴. 故选：B. 4．平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，， 所以， 因为O为的内心，设，由题意， 则， 同理可得 所以根据“奔驰定理”有， 所以， 即， 所以， ． 故选：A． 5．（多选）在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（  ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则 【答案】BCD 【解析】在中，，，为内的一点， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 对于选项A：若为的重心，则，，则， 所以， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，故选项A不正确； 对于选项B：若为的外心，其必在直线上， 所以，故选项B正确； 对于选项C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，故选项C正确； 对于选项D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，即选项D正确． 故选：BCD． 6.（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（  ） A．若，则点为的外心（外接圆圆心） B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，，分别表示，的面积，则 D．若，则点是的内心 【答案】BCD 【解析】A选项，，即，故⊥， 同理可得⊥，⊥，则点为的垂心，A错误； B选项，过点作⊥于点，取的中点，连接， 则，， 则， 故点在中线上，故向量一定经过的重心，B正确； C选项，如图，分别为的中点， ， 则，故， 所以， 故，C正确； D选项，分别表示方向上的单位向量， 故， ，故⊥， 由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上， 则点是的内心，D正确. 故选：BCD. 7.已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 . 【答案】 【解析】延长交于点，连接，作于点，则分别为的中点，如下图所示： 易知， 同理可得， 由重心性质可知； 所以； 又，即，可得； 所以，可得； 因此，即. 故答案为：. 8．已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】 因为， 则，所以，即B，O，C三点共线． 因为为的外心，即有， 所以为直角三角形，因此，为斜边的中点．因为，所以为锐角． 如图，过点作，垂足为． 因为在上的投影向量为 ，所以， 所以在上的投影向量为． 又因为，所以． 因为，所以， 故的取值范围为． 故答案为： 9．在中，，为所在平面内的两点，，，，，， (1)以和作为一组基底表示，并求； (2)为直线上一点，设，若直线经过的垂心，求，. 【答案】（1）; （2） 【解析】（1）因为，所以为线段上靠近的三等分点， 因为，所以为线段的中点，    所以， 因为，，， 所以， 所以 ； （2）因为为直线上一点，设， 则 ， 所以 ， 因为直线经过的垂心，所以，即， 所以，解得， 所以， 因为，所以. 10．在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值； (3)若点在的角平分线上，当时，求的取值范围． 【答案】（1）; （2） ;（3） 【解析】（1）因为，所以， 化简后可得，所以， 若，则. （2）如图，设的中点分别为，连接， 则， 又，同理， 又， 即，同理， 整理得到，解得； （3）如图，为的平分线，则， 所以， 设，. 故， 因为不共线，故，所以， 因为，所以，故. 又, 所以，所以. 故的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面向量奔驰定理与三角形四心问题七种考法 一、方法讲解 1.奔驰定理：----解决面积比例问题 ，则、、的面积之比等于 奔驰定理证明：如图，令，即满足 ，，，故． 2.三角形四心与推论： （1）是的重心：． （2）是的内心：． （3）是的外心： ． （4）是的垂心： ． 3.常见结论 （1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上． 为的内心． （2）外心：为的外心． （3）垂心：为的垂心． （4）重心：为的重心． 4.三角形的四心与奔驰定理的关系 (1)O是△ABC的重心：. (2)O是△ABC的垂心：. (3)O是△ABC的内心：. (4)O是△ABC的外心： . 二、重难点例题及变式 类型一、奔驰定理 例．已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【变式训练1】奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（  ） A． B． C． D． 类型二、重心问题 例．（1）已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的 .（选填：外心、内心、垂心、重心） （2）在中，已知，点G为的外心，点O为重心，则= ． （3）设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（  ） A． B． C．2 D． 【变式训练2】点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（  ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式训练3】如图所示，中为重心，过点，，，则 ．    类型三、垂心问题 例．（1）在中，若，则点H是的（  ） A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心 （2）已知在中，，点为的垂心，则=（  ） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式训练1】已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（  ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式训练2】已知的垂心为点，面积为15，且，则 ；若，则 . 类型四、内心问题 例．在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（  ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【变式训练1】设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（  ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式训练2】设O为的内心，，，，则 （  ） A． B． C． D． 【变式训练3】已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（  ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 类型五、外心问题 例．（1）已知点在所在平面内，满足，则点是的（  ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 （2）在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（  ） A．3 B．6 C．7 D．9 【变式训练1】为所在平面内一点，且满足，则是的（  ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变式训练2】已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【变式训练3】已知O为的外心，，则（  ） A．8 B．10 C．12 D．1 类型六、奔驰定理与四心问题 例．（1）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题错误的是（  ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 （2）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（  ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，，，则 D．若为的垂心，则 【变式训练1】如图，已知是的垂心，且，则等于（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】在中，，，，O是的内心，且，则=（  ） A． B． C． D． 【变式训练3】在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（  ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式训练4】“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（  ）    A． B． C． D． 三、能力测试练 1．已知在中，为的重心，为边中点，则（  ） A． B． C． D． 2．在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（  ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 3．已知平面向量 ，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（  ） A． B． C． D． 4．平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（  ） A． B． C． D． 5．（多选）在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（  ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则 6.（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（  ） A．若，则点为的外心（外接圆圆心） B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，，分别表示，的面积，则 D．若，则点是的内心 7.已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 . 8．已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为 . 9．在中，，为所在平面内的两点，，，，，， (1)以和作为一组基底表示，并求； (2)为直线上一点，设，若直线经过的垂心，求，. 10．在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值； (3)若点在的角平分线上，当时，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$