精品解析：广东省汕头市濠江区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年度第一学期期末质量检测 九年级数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 抛掷两枚均匀硬币，硬币落地后，朝上一面的情况如下，则下列选项中的说法正确的是（　　） ①全是正面；②一正一反；③全是反面． A. 事件①发生的可能性最大 B. 事件②发生的可能性最大 C. 事件③发生的可能性最大 D. 事件①②③发生的可能性相等 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 顶点，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在上，连接，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. D. 7. 国产动画电影《舒克贝塔·五角飞碟》于2024元旦档上映．电影的点映及预售总票房破400万，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达4000万．设票房收入的增长率为x，则方程可列为（ ） A. B. C. D. 8. 中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约为，则的长约为（ ） A B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，若最后点C的坐标为，则旋转次数可以是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 10. 如图①，点A，是上两定点，圆上一动点从圆上一定点出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是随变化的关系图象，则图中的值是（ ） A. B. C. 6 D. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 一元二次方程的两根分别是，则______． 12. 某大型生鲜超市购进一批草莓，在运输、储存过程中部分草莓损坏（不能出售），超市工作人员从所有草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如下表： 草莓总质量n/斤 20 50 100 200 500 损坏草莓质量m/斤 草莓损坏的频率 根据表中数据可以估计，这批草莓的损坏率为________．（结果保留两位小数） 13. 如图，将一个直角三角尺绕直角顶点O旋转到如图所示的位置．若，则__________． 14. 如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是____________． 15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 实数范围内，对于任意实数m、规定一种新运算：，例如：． （1）计算：； （2）若的值为4，求的值． 17. 随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成． （1）某兴趣小组从某个二维码中截取部分开展数学活动．如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.6附近，据此可以估计这个区域内黑色部分的总面积为______． （2）另一兴趣小组对由三个小正方形组成“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好是一个黑色小正方形和两个白色小正方形的概率为多少？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）如图①，当点D落在边上时，求点D的坐标； （2）如图②，当点D落在线段上时，连接．求证：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可用二次函数 的图象表示, 斜坡可以用一次函数的图象表示． （1）求小球到达最高点的坐标； （2）若小球的落点是A,求点A的坐标． 20. 如图，是的直径，，都是上的点，且平分，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 综合与实践： 项目化学习： 主题 “校庆主题”草坪设计 情境 为了迎接第60周年校庆，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“校庆主题”草坪方案设计，以下为小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案． 驱动问题一 （1）请直接写出小组设计出来的四种方案小路面积，，，的大小关系； 活动任务二 为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米． 驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 活动任务三 为了展示校庆元素，打算在草坪上的校庆宣传主题墙前，靠墙用篱笆围（三边）建成一个矩形，且，如图． 驱动问题三 （3）数学之星小聪查阅资料发现：短边为长边的倍的矩形称为黄金矩形．黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．为了使长40米的篱笆恰好用完同时围住矩形的三面，且矩形的形状更接近黄金矩形．应设计成多少米？（参考数据：，，结果取整数） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题： “如图1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF．” 小明同学的思路：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°． 把△ABE绕点A逆时针旋转到的位置，然后证明，从而可得． ，从而使问题得证． （1）【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题： 如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，，直接写出EF，BE，DF之间的数量关系． （2）【应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，，求证：EF＝BE＋DF． （3）【知识迁移】如图4，四边形ABPC是内接四边形，BC是直径，AB＝AC，请直接写出PB＋PC与AP的关系． 23. 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题： 如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 作法如下：如图1，从出发向河岸引垂线，垂足为，在的延长线上，取关于河岸的对称点，连接，与河岸线相交于，则点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到，饮马之后，再由沿直线走到，所走的路程就是最短的． （1）观察发现 如图2，在等腰梯形中，，点、是底边与的中点，连接，在线段上找一点，使最短． 作点关于的对称点，恰好与点重合，连接交于一点，则这点就是所求的点，故的最小值为_______． （2）实践运用 如图3，已知的直径，点A在圆上，且的度数为，点是弧的中点，点在直径上运动，求的最小值． （3）拓展迁移 如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过两点，与轴交于另一点． ①求这条抛物线所对应的函数关系式； ②在抛物线的对称轴直线上找到一点，使周长最小，请求出此时点的坐标与周长最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末质量检测 九年级数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形； 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以是中心对称图形； 故选：D． 2. 抛掷两枚均匀硬币，硬币落地后，朝上一面的情况如下，则下列选项中的说法正确的是（　　） ①全是正面；②一正一反；③全是反面． A. 事件①发生的可能性最大 B. 事件②发生的可能性最大 C. 事件③发生的可能性最大 D. 事件①②③发生的可能性相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件发生的可能性，可得抛掷两枚均匀的硬币，可能的结果为：正正，正反，反正，反反，然后利用可能性大小的计算方法求解即可求得各个事件发生的可能性，继而求得答案，熟练掌握求可能性的方法分析题目是解决此题的关键． 【详解】抛掷两枚均匀的硬币，可能的结果为：正正，正反，反正，反反， ∴全是正面的可能性：， 一正一反的可能性：， 全是反面可能性：， ∴“一正一反”发生的可能性大． 故选：B． 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 先计算，解不等式即可． 【详解】解：， ∵一元二次方程有实数根， ∴， ， ∴． 故选：D． 4. 顶点，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点式解析式特点即可解答． 【详解】由抛物线顶点式可知，顶点为， ∵顶点为， ∴抛物线为， ∵该抛物线开口，形状与函数的图象相同， ∴， 即抛物线解析式为， ∴C选项正确， 故选：C． 【点睛】此题考查了抛物线的解析式—顶点式，正确理解顶点式解析式各字母的意义是解题的关键． 5. 如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解题的关键是根据切线的性质可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵与相切于点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 即的度数是． 故选：A． 6. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在上，连接，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，利用勾股定理求出长是解题的关键． 在中，利用勾股定理可求，由旋转的性质可得，，，在中，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：，，， ， ∵将绕点A逆时针旋转得到， ，，， ， 故答案为：C. 7. 国产动画电影《舒克贝塔·五角飞碟》于2024元旦档上映．电影的点映及预售总票房破400万，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达4000万．设票房收入的增长率为x，则方程可列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据每天票房按相同的增长率增长，可以列出方程，本题得以解决． 【详解】解：设票房收入的增长率为x， 则第二天的票房收入为， 第三天的票房收入为， 由题可知． 故选：D． 8. 中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约为，则的长约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆的性质和等边三角形的判定与性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键． 连接与交于点，证明为等边三角形，从而，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接与交于点， ∵为正六边形， ， ∴为等边三角形， ， ∵正六边形的周长约为， ， ， 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，若最后点C的坐标为，则旋转次数可以是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了点的坐标变化规律．每旋转4次则回到原位置，根据点C的坐标为，可得图形旋转次，即可求解． 【详解】解：如图，    由题可知，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转4次则回到原位置， ∵点C的坐标为， ∴旋转后点C在第二象限内， ∴图形旋转次点C的坐标为， ∵，，，， ∴最后点C的坐标为，则旋转次数可以是2025． 故选：C 10. 如图①，点A，是上两定点，圆上一动点从圆上一定点出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是随变化的关系图象，则图中的值是（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系． 从图2看，当时，，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为，当时，由勾股定理逆定理可知，，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时，走过的角度为，可求出点P运动的速度，当时，，即是等边三角形，进而求解． 【详解】解：从图②看，当时，，即此时A、O、P三点共线， 则圆的半径为 ， 当时，， 是直角三角形，且， 则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，如图所示， 此时，走过的角度为，则走过的弧长为， ∴点P的运动速度是, 当时，，即是等边三角形， ， ， 此时点P走过的弧长为：， ， 故选：D． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 一元二次方程的两根分别是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根与系数的关系，掌握相关公式是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系： 代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别是， ∴根据根据一元二次方程根与系数的关系代入： ∴ 故答案为：． 12. 某大型生鲜超市购进一批草莓，在运输、储存过程中部分草莓损坏（不能出售），超市工作人员从所有草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如下表： 草莓总质量n/斤 20 50 100 200 500 损坏草莓质量m/斤 草莓损坏的频率 根据表中数据可以估计，这批草莓的损坏率为________．（结果保留两位小数） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率．根据表格中的草莓损坏的频率为，估计草莓损坏的概率即可． 【详解】解：根据表中数据可以估计，这批草莓的损坏率为， 故答案为：． 13. 如图，将一个直角三角尺绕直角顶点O旋转到如图所示位置．若，则__________． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查角的和差计算．由题意可知，根据角的和差可求出，进而可求得． 【详解】由题意可得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：70 14. 如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键．根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵是正三角形， ∴， ∴的长为：， ∴“莱洛三角形”的周长． 故答案为：． 15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可． 【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示， 可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值， ∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴BC=6， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=， ∴BF=BD－DF=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 在实数范围内，对于任意实数m、规定一种新运算：，例如：． （1）计算：； （2）若的值为4，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了新定义实数运算、解一元二次方程、有理数的混合运算等知识． （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义得到，用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 【小问2详解】 ∵，的值为4， ∴， 即， 则， ∴， ∴， ∴ 17. 随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成． （1）某兴趣小组从某个二维码中截取部分开展数学活动．如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.6附近，据此可以估计这个区域内黑色部分的总面积为______． （2）另一兴趣小组对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好是一个黑色小正方形和两个白色小正方形的概率为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法求概率，频率与概率，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （1）利用频率估计概率，再计算面积即可； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为： 【小问2详解】 画树状图如图： 由树状图知，共有8种等可能结果，其中恰好是一个黑色小正方形和两个白色小正方形的有3种结果， 所以恰好是一个黑色小正方形和两个白色小正方形的概率为 18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）如图①，当点D落在边上时，求点D的坐标； （2）如图②，当点D落在线段上时，连接．求证：． 【答案】（1）； （2）见解析； 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，将四边形问题转化为等腰三角形问题是解题的关键． （1）根据点A、B的坐标可得的长度，再利用勾股定理可得的长，从而得出点D的坐标； （2）利用证明即可； 【小问1详解】 解：∵点，点． ，， ∵四边形是矩形， ，，， ∵顺时针旋转矩形，得到矩形， ， 在中，， ， ； 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ， ∵点D在线段上， ， 由（1）可知：， 又，， ） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可用二次函数 的图象表示, 斜坡可以用一次函数的图象表示． （1）求小球到达最高点的坐标； （2）若小球的落点是A,求点A的坐标． 【答案】（1）最高点的坐标是（4,8）；（2）点A的坐标是（7，） 【解析】 【详解】解：(1)由题意得=− (x−4)2+8， 故可得小球到达的最高点的坐标为(4，8). (2)联立两解析式可得：， 解得：或. 故可得点A的坐标为(7,). 20. 如图，是的直径，，都是上的点，且平分，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，根据已知条件，即可得证； （2）连接，交于，勾股定理求得，垂径定理可得，根据中位线的性质可得，证明四边形是矩形，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， 平分， ， ， ， ， ， 且在上， 是的切线； 【小问2详解】 连接，交于， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，． 【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，中位线定理，矩形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21. 综合与实践： 项目化学习： 主题 “校庆主题”草坪设计 情境 为了迎接第60周年校庆，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“校庆主题”草坪方案设计，以下为小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案． 驱动问题一 （1）请直接写出小组设计出来的四种方案小路面积，，，的大小关系； 活动任务二 为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米． 驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 活动任务三 为了展示校庆元素，打算在草坪上的校庆宣传主题墙前，靠墙用篱笆围（三边）建成一个矩形，且，如图． 驱动问题三 （3）数学之星小聪查阅资料发现：短边为长边的倍的矩形称为黄金矩形．黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．为了使长40米的篱笆恰好用完同时围住矩形的三面，且矩形的形状更接近黄金矩形．应设计成多少米？（参考数据：，，结果取整数） 【答案】（1）；（2）；（3）11米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，平移的性质： （1）根据平移的性质可得，四幅图的面积都可以看做是一个长为，宽为的长方形面积，据此可得答案； （2）设小路的宽为，根据平移的性质可得，四幅图的面积都可以看做是一个长为，宽为的长方形面积，据此建立方程求解即可； （3）设矩形宽，长．则，进而得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）设小路的宽度为a米， 由平移的性质可得，四幅图的面积都可以看做是一个长为，宽为的长方形面积， ∴； （2））设小路的宽为， 由题意得，， 整理得，， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴小路的宽为； （3）设矩形宽，长． ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴应设计成11米． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题： “如图1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF．” 小明同学的思路：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°． 把△ABE绕点A逆时针旋转到的位置，然后证明，从而可得． ，从而使问题得证． （1）【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题： 如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，，直接写出EF，BE，DF之间的数量关系． （2）【应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，，求证：EF＝BE＋DF． （3）【知识迁移】如图4，四边形ABPC是的内接四边形，BC是直径，AB＝AC，请直接写出PB＋PC与AP的关系． 【答案】（1）BE＋DF＝EF （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将△ABE绕A点逆时针旋转，旋转角等于∠BAD得△，证明△AEF≌△，等量代换即得结论； （2）将△ABE绕点A逆时针旋转，旋转角等于∠BAD，先证明∠EAF=，再证明△AEF≌△，等量代换即得结论； （3）将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到，先利用圆内接四边形的性质证明P，C，在同一直线上，再证明△为等腰直角三角形，等量代换即得结论． 【小问1详解】 解：结论：BE＋DF＝EF，理由如下： 证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，旋转角等于∠BAD，使得AB与AD重合，点E转到点的位置，如图所示， 可知， ∴． 由∠ADC+∠=180°知，C、D、共线， ∵， ∴∠BAF+∠DAF=∠EAF， ∴∠+∠DAF=∠EAF=， ∴△AEF≌△， ∴EF==BE+DF． 【小问2详解】 证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，旋转角等于∠BAD，使得AB与AD重合，点E转到点的位置，如图所示， 由旋转可知， ∴，，，． ∵∠B＋∠ADC＝180°， ∴， ∴点C，D，同一条直线上． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵AF＝AF， ∴， ∴，即BE＋DF＝EF． 【小问3详解】 结论：，理由如下： 证明：将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到，使得AB与AC重合，如图所示， 由圆内接四边形性质得：∠AC+∠ACP=180°， 即P，C，在同一直线上． ∴，， ∵BC为直径， ∴∠BAC=90°=∠BAP+∠PAC=∠CA+∠PAC=， ∴△为等腰直角三角形， ∴， 即． 【点睛】本题考查了旋转与全等三角形的综合应用、直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的判定及性质等知识点．解题关键是利用旋转构造全等三角形． 23. 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题： 如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 作法如下：如图1，从出发向河岸引垂线，垂足为，在的延长线上，取关于河岸的对称点，连接，与河岸线相交于，则点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到，饮马之后，再由沿直线走到，所走的路程就是最短的． （1）观察发现 如图2，在等腰梯形中，，点、是底边与的中点，连接，在线段上找一点，使最短． 作点关于的对称点，恰好与点重合，连接交于一点，则这点就是所求的点，故的最小值为_______． （2）实践运用 如图3，已知的直径，点A在圆上，且的度数为，点是弧的中点，点在直径上运动，求的最小值． （3）拓展迁移 如图，已知抛物线对称轴为，且抛物线经过两点，与轴交于另一点． ①求这条抛物线所对应的函数关系式； ②在抛物线对称轴直线上找到一点，使周长最小，请求出此时点的坐标与周长最小值． 【答案】（1） （2）的最小值为 （3）①；②点M的坐标为；周长的最小值为 【解析】 【分析】（1）过点A作于点M，作于点N，求出，，，证明四边形为平行四边形，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案； （2）取点A关于的对称点，连接、、、、，与交于点，当点P在点时，最小，且最小值为，证明，根据，利用勾股定理求出即可； （3）①先利用对称性求出点B的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式即可； ②连接交直线于一点，该点即为点M，连接，，根据勾股定理求出周长的最小值为；求出直线的解析式为，把代入求出点M的坐标即可． 【小问1详解】 解：过点A作于点M，作于点N，如图所示： 则， ∵四边形为等腰梯形， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：取点A关于的对称点，连接、、、、，与交于点，当点P在点时，最小，且最小值为，如图所示： ∵A关于的对称点，为直径， ∴点在上， ∵， ∴， ∵点A关于的对称点， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵直径， ∴， ∴， 即的最小值为． 【小问3详解】 解：①∵抛物线的对称轴为，且抛物线经过， ∴抛物线与x轴另外一个交点B的坐标为：， ∴抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． ②连接交直线于一点，该点即为点M，连接，，如图所示： ∵点A、B关于直线对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小， ∵，， ∴周长的最小值为； 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴点M的坐标为． 【点睛】本题主要考查了将军饮马问题，二次函数的应用，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰梯形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，求出二次函数解析式，求一次函数解析，解题的关键是理解题意，数形结合，作出相应的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $