精品解析：江苏省太湖高级中学2024-2025学年高一下学期3月阶段性训练数学试卷

江苏省太湖高级中学高一3月阶段性训练 数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在四边形中，若，则（ ） A. 四边形一定是等腰梯形 B. 四边形一定是菱形 C. 四边形一定是直角梯形 D. 四边形一定是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】运用同起点的向量加法的平行四边形法则易得. 【详解】对于同起点的向量的和一般通过作平行四边形得到， 由可知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形. 故选：D. 2. 已知向量，若，则等于（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量加法的坐标运算求出的坐标，再根据两向量平行的坐标关系列出方程，进而求解的值. 【详解】已知，，可得. 因为，且，可知，.解得. 故选：C 3. 设是平面内两个不共线的向量，则以下不可作为该平面内一组基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，若向量不共线，则可作为该平面内一组基底，由此对各选项加以判断即可. 【详解】对于A，若共线，则存在唯一实数，使，则， 因为是平面内两个不共线的向量，所以不成立， 所以向量不共线，所以可作为该平面内一组基底，所以A错误， 对于B，因为，所以， 所以共线，所以不可作为该平面内一组基底，所以B正确， 对于C，若共线，则存在唯一实数，使，则， 因为是平面内两个不共线的向量，所以不成立， 所以向量不共线，所以可作为该平面内一组基底，所以C错误， 对于D，若共线，则存在唯一实数，使，则， 因为是平面内两个不共线的向量，所以不成立， 所以向量不共线，所以可作为该平面内一组基底，所以D错误， 故选：B 4. 在中，角所对的边分别为，若，且，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理角化边，可得，再由余弦定理即可得到结果. 【详解】因为，则， 又， 所以. 故选：B. 5. 在中，角所对的边分别为，若，则一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角，逆用和角公式即得结论. 【详解】由，利用正弦定理，， 即，因，则或（不合题意舍去）， 故△ABC一定是等腰三角形. 故选：B. 6. 如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】由题意：，因为是线段的靠近的三等分点， 所以， 因为是线段的中点， 所以， 故选：D 7. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直得到，再根据向量数量积运算得，最后利用投影向量计算公式即可得到答案. 【详解】由于，所以， 即，所以， 又，则， 即，所以， 则向量在向量上的投影向量等于： . 故选：A 8. 如图，在平面四边形中，，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先在中，根据已知条件求出的长度.然后在中，利用余弦定理建立的关系，最后结合基本不等式求出的最小值. 【详解】在中，已知，，，即. 所以，同时.  在中，，根据余弦定可得：，即.  由基本不等式（当且仅当时取等号）. 将代入中，得到. 设，则.解得，即. 当且仅当取得最值. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量的模长为1 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由向量数量积坐标计算公式可得答案；对于B，由向量模计算公式可得答案；对于C，由向量夹角公式求解可得答案；对于D，由投影向量定义可得答案. 【详解】根据题意，，A正确； ， 所以， ，所以B错误； ，又向量夹角在， 所以与的夹角为，C正确； 在上的投影向量的模长为,D错误. 故选：AC 10. 在中，角的对边分别为，，，且，则（ ） A. B. C D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知和余弦定理可求得，进而求得，即可判断A，B；利用三角形面积公式可求得，判断C；由已知和可得，再由可求得，判断D. 【详解】在中，因为，即， 由余弦定理， 又，所以，，故A错误，B正确； 因为，则，所以，故C正确； 因为， ，， 则， 所以， 因为，所以，故D正确. 故答案为：BCD. 11. 在，角的对边分别为，且的面积满足，为的外心．若，下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由余弦定理、面积公式、辅助角公式化简条件可判断A；利用面积公式计算可判断B；分别取的中点可得，求出、，再计算可判断D；对两边分别乘以，结合D选项，可判断C． 【详解】对于A，由，得， 由余弦定理得，即， 得，又，故， ∴，即，所以A正确； 对于B，，所以B正确； 对于D，如图，分别取的中点，连接，， 所以， ， ，所以D错误； 对于C，， 由，可知， 得，解得：，，故，所以C错误． 故选：AB. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设是平面内的一个基底，若三点共线，且，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三点共线，得到，由此列方程组，解方程组求得的值. 【详解】由于三点共线，所以，即， 所以，解得. 故答案为： 13. 如图，某侦察飞机沿水平直线匀速飞行．在A处观测地面目标，测得俯角．飞行后到达处，此时观测地面目标，测得俯角．又飞行一段时间后到达处，此时观测地面目标，测得俯角的余弦值为，则该侦察飞机由至的飞行时间为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形，利用解三角形的知识，以及三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】设飞机的飞行速度为，根据飞机的飞行图形， 测得俯角为，飞行后到达B处观测地面目标P，测得俯角， 所以为直角三角形， 过点作于点，则， 则， 设飞机由B至C的飞行时间为分钟，则， 由，可得， 则， 又由，解得. 故答案为：. 14. 在四边形中，，，，，，则实数的值为__________，若，是线段上的动点，且，则的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据向量平行得到，根据向量公式得到，设，，根据，展开化简得到答案. 【详解】，故，故， ，解. 不妨设在左侧，，， 则 ， 当时，的最小值为. 故答案为：； 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知平面向量． （1）若，求的值； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算出向量，，再根据向量垂直列出方程求解即可. （2）先根据与的夹角为锐角得出，且夹角不为，再分别求出和夹角不为时的取值范围即可. 【小问1详解】 因为 所以，. 又因为，所以，解得. 【小问2详解】 因为， 所以. 因为与的夹角为锐角， 所以，且夹角不为. 当时，，解得； 当与夹角为时，，解得， 故与的夹角不为时，； 综上可得：的取值范围是. 16. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足. （1）求A的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求出； （2）先根据正弦定理可求出，再由余弦定理可求出，根据三角形面积公式即可求出的面积. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得，即， 所以， 因为，所以. （2）由正弦定理，得. 由余弦定理，得， 解得. 所以的面积. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查三角形面积公式，属于中档题. 17. 在平面直角坐标系中，已知，，． （1）求以线段、为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）若存在轴上一点满足，求． 【答案】（1）和；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算以及向量模的坐标表示即可求解. （2）设，利用向量垂直的坐标表示可得，再由向量数量积的夹角表示即可求解. 【详解】解：（1）由题意，，则 所以所求对角线长为和. （2）设，则，， 由得，即，解得， 即，，，． 18. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行化简，即可求得结果； （2）利用正弦定理得出，，将转化为，并利用三角恒等变换进行化简，再借助角的取值范围即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以：，所以. （2）， 所以，， 所以 ， ， 因为， 所以取值范围为. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，三角恒等变换以及三角函数的取值范围问题，属于中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，一 般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理. 19. 如图，设是平面内相交成两条射线，分别为同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为. （1）在斜坐标系中，，求； （2）在斜坐标系中，，且与夹角. ①求； ②分别在射线上，为线段上两点，且，，求的最小值及此时的大小. 【答案】（1） （2）①②最小值为， 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义以及运算律直接运算即可求解； （2）①分别得出，，，然后列方程求解即可； ②得出，再结合正弦定理、余弦定理得出的最小值以及何时取最小值，即可求解. 【小问1详解】 因为，则， ， 所以； 【小问2详解】 ①因为，， ，， ， 则， 化简并整理得， 解得或（舍去，因为）， 则； ②依题意设，， 因为为AB中点，则， 同理， 则， 在中，，依据余弦定理得， 所以 在中，，由正弦定理， 设，则，， ，， 所以，当时，取最小值，此时取最小值， . 【点睛】关键点点睛：第（2）问②的关键是得出，再结合正弦定理、余弦定理得出的最小值以及何时取最小值，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省太湖高级中学高一3月阶段性训练 数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在四边形中，若，则（ ） A. 四边形一定是等腰梯形 B. 四边形一定是菱形 C. 四边形一定是直角梯形 D. 四边形一定是平行四边形 2 已知向量，若，则等于（ ） A. 4 B. C. D. 3. 设是平面内两个不共线的向量，则以下不可作为该平面内一组基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角所对边分别为，若，且，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 在中，角所对的边分别为，若，则一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面四边形中，，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量的模长为1 10. 在中，角的对边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 在，角的对边分别为，且的面积满足，为的外心．若，下列结论中正确的有（ ） A B. C D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设是平面内的一个基底，若三点共线，且，则实数的值为______． 13. 如图，某侦察飞机沿水平直线匀速飞行．在A处观测地面目标，测得俯角．飞行后到达处，此时观测地面目标，测得俯角．又飞行一段时间后到达处，此时观测地面目标，测得俯角的余弦值为，则该侦察飞机由至的飞行时间为______． 14. 在四边形中，，，，，，则实数的值为__________，若，是线段上的动点，且，则的最小值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知平面向量． （1）若，求的值； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围． 16. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足. （1）求A的大小； （2）若，，求的面积. 17. 在平面直角坐标系中，已知，，． （1）求以线段、为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）若存在轴上一点满足，求． 18. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 19. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为. （1）在斜坐标系中，，求； （2）在斜坐标系中，，且与的夹角. ①求； ②分别在射线上，为线段上两点，且，，求的最小值及此时的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$