精品解析：河南省信阳市罗山县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年度上期期末质量监测试卷九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（ ） A. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 B. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 C. 成语“守株待兔”是随机事件 D. 成语“水中捞月”是随机事件 2. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( ) A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 5. 已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 6. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行才能停下来，若急刹车时汽车的行驶路程s（米）与时间t（秒）的函数关系式为，则下列说法正确的是（　　） A. 汽车可以滑行4秒后才停止 B. 汽车滑行2秒时停止 C. 滑行速度先变大后变小 D. 滑行的最远距离是22米 8. 如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ） A. 20° B. 35° C. 40° D. 55° 9. 已知点在反比例函数的图象上，则下列说法正确的是( ) A. 图象位于第一、三象限 B. 点(2，6)在该函数图象上 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时， 10. 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 安全教育是学校的生命线．某学校政教处举行了主题为“安全教育”的手抄报评比活动，设置了“交通安全”“消防安全”和“校园安全”三个主题内容．小颖与小莉参加活动选中的主题不相同的概率是______． 12. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 13. 《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是______. 14. 如图，，分别切于点，，是劣弧上一点，若，则______． 15. 如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙两位班干部准备从A．牛郎织女传说、B．蔡伦造纸传说、C．仓颉传说、D．陕北民谚、E．三顾茅庐这五个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了5张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这5个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这5张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的卡片中随机抽取一张，以所抽取的卡片正面内容为准进行讲解． （1）甲所抽取的卡片正面是C（仓颉传说）的概率为________； （2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙二人中，有一个讲解E（三顾茅庐）这个故事传说的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）以点O为对称中心，画出与成中心对称的图形； （2）以点B为旋转中心，将顺时针旋转90°，得到，画出． 19. 已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+m相交于第一象限内不同的两点A（4，n），B（1，4）， （1）求此抛物线的解析式． （2）抛物线上是否存点P，使直线OP将线段AB平分？若存在直接求出P点坐标；若不存在说明理由． 20. 2024“夏爽中原老家河南”全省户外运动旅游产品宣传推广活动在新乡八里沟景区启动，现场发布了徒步、蹦极、露营、戏水等河南省户外运动产品主题旅游线路．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以任满．客房定价每提高10元，就会有1间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出每天20元的维护费用，设每间客房的定价提高了元． （1）填表（不需化简）： 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 提价后 __________ __________ __________ （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入-维护费用） 21. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为 ，锅盖纵断面的抛物线记为 ． （1）求和的解析式： （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 22. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 23. （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”．如图1，在中，，D是外一点，且， 求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（请你在图1上画圆），则点C，D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ． ②类型二，“定角+定弦”．如图2，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解∶ ∵， ∴． ∵， ∴． ∴ ．（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上．易求得的最小值为 ． （2）【问题解决】如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． （3）【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上期期末质量监测试卷九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（ ） A. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 B. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 C. 成语“守株待兔”是随机事件 D. 成语“水中捞月”是随机事件 【答案】C 【解析】 【分析】随机事件在随机试验中，可能出现也可能不出现；不可能事件在随机试验中一定不会出现；必然事件在随机试验中一定会出现． 【详解】解：A：清明节不一定会下雨，A为随机事件，故A错误； B：古原上的野草乱生乱长，每年春来茂盛秋来枯黄，B为必然事件，故B错误； C：守株不一定能等来兔子，C为随机事件，故C正确； D：水中不能捞到月亮，故D为不可能事件，故D错误． 故选：C 【点睛】本题考查对于事件类型的判断．掌握各事件的定义即可． 2. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，“如果一个图形绕某点旋转，和自身能够完全重合，那么这个图形叫中心对称图形”，据此即可求解． 【详解】解：各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，是中心对称图形的是 故选：C． 3. 如图，该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：由该图形类同正五边形，正五边形的圆心角是．根据旋转的性质，当该图形围绕点O旋转后，旋转角是72°的倍数时，与其自身重合，否则不能与其自身重合．由于108°不是72°的倍数，从而旋转角是108°时，不能与其自身重合． 故选B． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值．根据一元二次方程的根的定义代入计算即可． 【详解】解：因为一元二次方程有一个根是0， 所以， 解得． 故选：C． 5. 已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设另一个根为x，则 x+2＝﹣5， 解得x＝﹣7． 故选：A． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 6. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象开口向上、离对称轴距离越远、函数值越小成为解题的关键． 根据二次函数的图象的性质解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象上， ∴对称轴为：直线，抛物线开口向上， ∵， ∴． 故选D． 7. 公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行才能停下来，若急刹车时汽车的行驶路程s（米）与时间t（秒）的函数关系式为，则下列说法正确的是（　　） A. 汽车可以滑行4秒后才停止 B. 汽车滑行2秒时停止 C. 滑行速度先变大后变小 D. 滑行的最远距离是22米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，即考查二次函数的最值问题，解答关键是弄懂题意，熟练对函数式变形，从而取得最值．由函数关系式为，变形得，，即求函数的最值问题，则汽车滑行2秒，到达最远距离为20米停止． 【详解】解：∵， ∴由于惯性汽车速度变小，汽车滑行2秒，滑行的最远距离是20米， 故选项A，C，D不合题意， 故选：B． 8. 如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ） A. 20° B. 35° C. 40° D. 55° 【答案】B 【解析】 【分析】连接FB，由邻补角定义可得∠FOB=140°，由圆周角定理求得∠FEB=70°，根据等腰三角形的性质分别求出∠OFB、∠EFB的度数，继而根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可求得答案. 【详解】连接FB， 则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°， ∴∠FEB＝∠FOB=70°， ∵FO＝BO， ∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°， ∵EF＝EB， ∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°， ∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°， 故选B. 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 9. 已知点在反比例函数的图象上，则下列说法正确的是( ) A. 图象位于第一、三象限 B. 点(2，6)在该函数图象上 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，先求出，然后由反比例函数的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴； ∴图象位于第二、四象限；故A错误； 点不在该函数图象上；故B错误； 当时，y随x的增大而增大，故C正确； 当时，或；故D错误； 故选：C 10. 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意代入数据求得，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，函数为反比例函数， 当时，， 即函数图象经过点． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 安全教育是学校的生命线．某学校政教处举行了主题为“安全教育”的手抄报评比活动，设置了“交通安全”“消防安全”和“校园安全”三个主题内容．小颖与小莉参加活动选中的主题不相同的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中小颖与小莉他们两人选取不同主题的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“交通安全”“消防安全” “校园安全”三个主题内容分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小颖与小莉两人选取主题不相同的结果有6种， ∴小颖与小莉两人选取主题不相同的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 12. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故答案为：4． 13. 《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽就为，根据整个挂图的面积是列出方程即可，读懂题意，数形结合是正确列方程的关键． 【详解】解：设金色纸边的宽为，则挂图的长为，宽就为， 根据题意得：， 故答案为：． 14. 如图，，分别切于点，，是劣弧上一点，若，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．在优弧上任取点，连接、、、．由圆内接四边形的性质可求得，由圆周角定理可求得，由切线的性质可知、，从而得到，于是可求得． 【详解】解：在优弧上任取点，连接、、、． 四边形是圆内接四边形， ． ． ， ． ，切于点，， 、． ． ． 故答案为：． 15. 如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可得，， ∴，， 又∵， ∴H为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴中，， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）先移项，然后再用分解因式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解： ， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算． 17. 为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙两位班干部准备从A．牛郎织女传说、B．蔡伦造纸传说、C．仓颉传说、D．陕北民谚、E．三顾茅庐这五个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了5张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这5个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这5张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的卡片中随机抽取一张，以所抽取的卡片正面内容为准进行讲解． （1）甲所抽取的卡片正面是C（仓颉传说）的概率为________； （2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙二人中，有一个讲解E（三顾茅庐）这个故事传说的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）直接利用概率公式进行计算即可； （）画出树状图，利用概率公式计算即可； 本题考查了概率公式求概率，树状图法或列表法求概率，熟练掌握树状图法或列表法求概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵一共有A．牛郎织女传说、B．蔡伦造纸传说、C．仓颉传说、D．陕北民谚、E．三顾茅庐这五个故事传说， ∴甲所抽取的卡片正面是C．仓颉传说的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果，有一个人讲解E．三顾茅庐的结果数为种， ∴有一个人讲解E．三顾茅庐的概率为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）以点O为对称中心，画出与成中心对称的图形； （2）以点B为旋转中心，将顺时针旋转90°，得到，画出． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质找出点A、B、C的对应点、、，然后用线段连接即可； （2）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点、、，然后用线段连接即可； 【小问1详解】 解：点，，的中心对称点分别为，，， 再直角坐标系总画出点，，， 连接, 如图，即为所求． 【小问2详解】 如图，即为所求． 【点睛】本题考查了中心对称作图和旋转作图，解题的关键是掌握轴对称与旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． 19. 已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+m相交于第一象限内不同的两点A（4，n），B（1，4）， （1）求此抛物线的解析式． （2）抛物线上是否存点P，使直线OP将线段AB平分？若存在直接求出P点坐标；若不存在说明理由． 【答案】（1）y=-x2+4x+1（2）存在点P1（，），P2（，） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出m、n的值，然后根据待定系数法求出二次函数的解析式； （2）根据平分线段AB求出AB的中点M，然后求出OM的解析式，构造方程组求解即可. 【详解】（1）∵点B（1,4）在y＝－x＋m上 ∴4=-1+m 解得m=5 ∴y＝－x＋5 ∵A(4，n)在直线y＝－x＋5上 ∴n=-4+5=1 即A为（4,1） ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x+1 （2）存在 由（1）知：AB的中点M为（，） ∴直线OM为y=x 因此可得 解得 或 即存在点P1（，），P2（，）. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与利用待定系数法求二次函数的解析式，明确直线和抛物线的交点的关系是解题关键． 20. 2024“夏爽中原老家河南”全省户外运动旅游产品宣传推广活动在新乡八里沟景区启动，现场发布了徒步、蹦极、露营、戏水等河南省户外运动产品主题旅游线路．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以任满．客房定价每提高10元，就会有1间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出每天20元的维护费用，设每间客房的定价提高了元． （1）填表（不需化简）： 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 提价后 __________ __________ __________ （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入-维护费用） 【答案】（1）；； （2）每间客房的定价应为元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）住满为间，表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量房间空闲个数，列出代数式； （2）用：每天的房间收费每间房实际定价入住量，每间房实际定价，列出方程． 【小问1详解】 解：增加元，就有一个房间空闲，增加元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为， 入住的房间数量，房间价格是元，总维护费用是． 故答案是：；；； 【小问2详解】 解：依题意得：， 整理，得， 解得，． 当时，有游客居住的客房数量是：（间）． 当时，有游客居住的客房数量是：（间）． 所以当时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为（元）． 答：每间客房的定价应为元． 21. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为 ，锅盖纵断面的抛物线记为 ． （1）求和的解析式： （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1）， （2）此时水面的直径为 （3）锅盖不能正常盖上， 理由如下， 当时，抛物线，， 则， 那么，锅盖不能正常盖上． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质和应用，涉及待定系数法求解析式和二次函数的性质， 根据已知点设二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可； 根据已知的直径所对的圆周角为直角求得对应的y值，代入解析式即可求得水面高度； 将已知的底面直径代入解析式求得各自对应的y，结合已知的高度作判断即可． 【小问1详解】 解：抛物线过点， 设和的解析式为：； ∵抛物线经过， ∴，解得， 则， ∵抛物线还经过， ∴，解得， 则； 【小问2详解】 解：当炒菜锅里的水位高度为时，，即，解得， 则此时水面的直径为； 【小问3详解】 略 22. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 【答案】（1）2， （2）①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图： ； ②函数值逐渐减小 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，， 当时，由得， 当时，， 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：①略 ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小， 故答案为：函数值逐渐减小； 【小问3详解】 解：当时，，当时，， ∴函数与函数的图象交点坐标为，， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图， 由图知，当或时，， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键． 23. （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”．如图1，在中，，D是外一点，且， 求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（请你在图1上画圆），则点C，D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ． ②类型二，“定角+定弦”．如图2，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解∶ ∵， ∴． ∵， ∴． ∴ ．（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上．易求得的最小值为 ． （2）【问题解决】如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． （3）【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【答案】（1）①；②；4； （2）4； （3）①， 理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②点的运动路径长为． 【解析】 【分析】本题主要考查圆的定义、圆周角定理、弧长公式、全等三角形的判定与性质等周四点，熟练掌握圆的定义、构造辅助圆的基本方法是解题的关键． （1）①根据圆的定义、构造辅助圆，运用圆周角定理计算即可；②根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上、构造辅助圆，运用圆的性质计算即可； （2）根据圆的定义、构造辅助圆，运用圆的性质计算即可解答； （3）根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上、构造辅助圆，运用圆的性质、弧长公式计算即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，如图1， ∴． 故答案为：28． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点P，此时最小， ∵点O是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴最小值为4． 故答案为：90°，4． （2）如图3，连接， ∵点B，点M关于直线对称， ∴， ∴点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：4； （3）①略 ②如图4，连接交于点O， ∵点P在运动中保持， ∴点P的运动路径是以为直径的圆的 ∴点P的运动路径长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $