精品解析：湖北省孝感市孝南区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

孝南区2024-2025学年度九年级上学期期末学业水平监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 下列银行图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：由中心对称图形的定义：一个平面图形绕一点旋转180°，与原图形完全重合可知，A、B、C、D四个选项中，只有A符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查中心对称图形：一个平面图形绕一点旋转180°，与原图形完全重合，这样的图形才是中心对称图形． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了顶点式，顶点坐标是，对称轴是． 已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为． 故答案为：D． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 对参加中考进入考场考生的安检用随机抽样抽查 B. 若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则乙组数据比甲组数据稳定 C. 某种彩票中奖的概率是，那么买100张这种彩票一定中奖 D. “篮球队员在罚球线上投篮，命中”是随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，随机事件以及方差．分别利用抽样调查和全面调查的区别，随机事件以及方差的意义，分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、对参加中考进入考场考生的安检用全面调查，故本选项错误； B、若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定，故本选项错误； C、某种彩票中奖的概率为，那么买100张这种彩票不一定会中奖，故本选项错误； D、“篮球队员在罚球线上投篮，命中”是随机事件，故本选项正确； 故选：D． 4. 若一元二次方程的两个实数根为，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴． 故选：B． 5. 如图，将绕原点O逆时针旋转得到，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，根据旋转前后对应线段的长度不变解答即可． 【详解】由图易知，， ，， ∵将绕原点O逆时针旋转得到， ∴ ，，， ∵点D在第二象限， ∴点D的坐标是． 故选：A． 6. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则整数m的最大值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根；一元二次方程有两个相等的实数根；一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键． 根据方程有两个不相等的实数根，求解即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵m为整数， ∴m的最大值为3． 故答选：B． 7. 如图，是的直径，弦，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，根据垂径定理可得，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴， ∴． 故选：B． 8. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、第四象限 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质．根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、在中，当时，，∴图象经过点，原说法错误，故此选项不符合题意； B、在中，，∴反比例函数图象位于第一、三象限，原说法错误，故此选项不符合题意； C、在中，当时，y随x的增大而减小，原说法正确，故此选项符合题意； D、在中，当时，y随x的增大而减小，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 9. 如图， 内接于圆， ，，以C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交 于点N，分别以M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点H，连接 ，并延长交圆于点D，连接， ，则下列结论错误的是（ ） A. 为直径 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线性质，圆内接四边形性质及几何图形的综合推理，解题的关键是结合定理逐一分析选项． 利用圆周角定理，角平分线性质判断各选项：分析 是否为直径，与 的关系，与 的和，以及与的关系． 【详解】A： ，根据圆周角定理，的圆周角所对的弦是直径， 为直径，A正确，不符合题意； B：由作图知平分，即 ．同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故，则，B正确，不符合题意； C： 是直径， ．若，则，但由已知条件无法推出，实际分析：所对的弧为，结合圆的性质，，C错误．符合题意； D：D正确，不符合题意，证明如下： 证明：延长至点E，使，连接 ， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故选：C． 10. 如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线 ，且经过点，与x轴的一个交点位于，之间．有下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查根据二次函数图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 先根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置，确定a、b、c的符号可判断A选项，再根据当时，可确定B选项；由函数图象可知抛物线与x轴有两个交点即可判断C选项；根据对称轴的位置可判断D选项． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，对称轴为直线 ，与y轴交于点， ∴，，，即， ∴，故A选项结合错误，不合题意； 由函数图象可知：当时，即，故B选项结合错误，不合题意； 由函数图象可知：抛物线与x轴有两个交点，即，故C选项结合错误，不合题意； 由抛物线的对称轴为，即， ∴，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 方程的根为__________ 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴ ，， 故答案为： ，． 12. 请写出一个过点（0，1）且开口向上的二次函数解析式_____________． 【答案】y＝x2＋1 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可． 【详解】解：∵开口向上， ∴a＞0， 且与y轴的交点为（0，1）． ∴函数解析式可为y=x2+ 1． 故答案为：y=x2+ 1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a值必须大于0． 13. 有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4．随机抽取1张得到数字是奇数的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．直接根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵2，3，4三个数中有一个奇数， ∴随机抽取1张得到数字是奇数的概率为． 故答案为：． 14. 如图，将 绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质及扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质及扇形面积公式是解题的关键；由旋转的性质可知阴影部分的面积即为扇形的面积，然后根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∵ 与有一个公共部分， ∴； 故答案为． 15. 如图，在中，， ， ，将绕点A顺时针旋转得到，取 的中点D，的中点E．则在旋转过程中，线段 的最小值为________，线段 的最大值为________． 【答案】 ①. 2.5 ②. 6.5 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．连接，根据将 绕顶点顺时针旋转得到，可得，，由为的中点，知，求出 ，即可得当， ，不能构成三角形，且 在上时， 取最小值，当 在延长线上时， 取最大值． 【详解】解：连接，如图： 将 绕顶点顺时针旋转得到， ，， 为的中点， ， ， 为 中点， ， 在中，， 当， ，不能构成三角形，且 在上时， 取最小值，此时， 如图： 的最小值为， 同理，当 在延长线上时， 取最大值，此时， 的最大值为， 故答案为：2.5；6.5 三、解答题（本大题共9个题，满分75分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先化简二次根式，计算零次幂、负整数次幂、绝对值，再进行加减运算． 【详解】解： 17. 如图，将 以点C为旋转中心旋转得到，过点A作，交 的延长线于点F，求证： ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，根据旋转的性质得到，，再由平行线的判定得到 ，进而可证四边形 是平行四边形，得 ，由此即可证明结论． 【详解】证明：∵将 以点C为旋转中心旋转得到， ∴，，． ∴ ． ∵， ∴四边形 是平行四边形． ∴ ． ∴ ． 18. 若是关于x的一元二次方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据一元二次方程解的定义把代入方程即可求出，根据解一元二次方程求出另一根． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， 将代入方程得：，即， ，， 方程另一根为，． 19. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； （2）请补全条形统计图； （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）50， （2） 补全条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，从统计图中获取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键． （1）由B的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，再由 乘以A的占比即可求解圆心角即可解决问题； （2）求出D、C的人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共调查的学生人数为： （名）， ∴图2中A所对应的圆心角度数为： ， 故答案为：50， ； 【小问2详解】 解：D的人数为： （人） ∴C的人数为： （人）， 【小问3详解】 解：画树状图如下：     共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为． 20. 如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）直接写出当时，对应的x的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，利用图象解不等式； （1）将代入反比例函数解析式，求出 的坐标，即可求解； （2）观察图象，即可求解； 能熟练利用待定系数法求解析式，会利用图象解不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得 ， 解得： ， ； ， ， ， 解得， ， 故反比例函数为，一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：有图象得 当或时， ． 21. 如图， 为的直径，E为上一点， 平分交于点C，过点C作，交的延长线于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）连接，先利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，利用平行线的判定与性质可证明 ，进而利用切线的判定可得结论； （2）过O作于F，利用垂径定理可得， ，证明四边形为矩形得到，在 中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：过O作于F， ，， ， ， 又， 四边形为矩形， ， 在 中，，即：， ， 即的半径长为5． 【点睛】本题考查切线的判定、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握切线的判定是解答的关键． 22. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为，另外三边用的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的门，设苗圃园垂直于墙的一边长为，苗圃园的面积为． （1）写出S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）若苗圃园的面积为，求垂直于墙的一边长为多少m？ （3）苗圃园的面积能否达到？若能，请说明理由；若不能，请求出苗圃园的面积最大值． 【答案】（1） （2） （3）不能， 【解析】 【分析】（1）设苗圃园垂直于墙的一边长为，矩形的长，依题意，得：即可． （2）依题意，得：，解方程，取舍根，解答即可． （3）根据题意，得，利用一元二次方程根的判别式解答即可，根据题意，得，根据二次函数性质确定最值即可． 本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，二次函数的最值，熟练掌握矩形的性质，构造二次函数求最值，一元二次方程的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：设苗圃园垂直于墙的一边长为，则矩形的长，依题意，得：， ，， ， ． 【小问2详解】 解：当时，得， 故 ， 解得：，， ， ． 答：花园面积是，此时x的长为12米． 【小问3详解】 解：当时，，， ， 故方程无实数根， 苗圃园的面积不能否达到． 根据题意，得， 故当时，． 23. 在 中，，，D为直线 上一点（点D不与点B、C重合）． （1）如图1，当点D在线段 上时，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．判断线段 与的数量关系和位置关系，并证明； （2）如图2，当点D在线段 的延长线上时，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接 ，写出此时线段、、 之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点F为 外部一点，若，， ，请直接写出的长． 【答案】（1）， ，证明见解析 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转变换的性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明 ，根据全等三角形的性质以及等腰三角形的性质即可解答； （2）证明 ，得到，根据勾股定理以及等量代换计算即可； （3）如图3，将绕点逆时针旋转至，连接、 ，则是等腰直角三角形，易证明得到，由勾股定理可得，最后根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：∵在 中，，， ， ， ，即， 在 和中， ， ， ，， ， ，即 ． 故答案为：， ． 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图2，， ，即， 在 和中， ， ， ，， ， ，即 ． ，即． 【小问3详解】 解：如图3，将绕点逆时针旋转至，连接、 ，则是等腰直角三角形， ， ∵， ， 同理得：， ， 中， ， ， ∵是等腰直角三角形， ，即，解得：． 24. 已知抛物线与x轴交于A， 两点，与y轴交于点C． （1）直接写出结果：________，________； （2）如图1，点是第一象限内抛物线上一点，连接，若N是第二象限内抛物线上一点，，求出N点的坐标； （3）如图2，若点P是抛物线上一点． ①若点P在 右侧时，连接，，求面积的最大值； ②若点P是抛物线上任意一点，且，试确定满足条件的P点个数，请直接写出你的结论． 【答案】（1）2，45 （2） （3）①当时，，②当时，满足条件的P点有3个；当时，满足条件的P点有4个；当时，满足条件的P点有2个 【解析】 【分析】（1）把点B坐标代入二次函数解析式可得b的值，然后令 可得点C坐标，然后可得，进而问题可求解； （2）设交y轴于E，由题意易得，则有，轴，然后可得，则，进而可得直线，最后联立函数解析式即可求解； （3）①连接，设点，根据题意结合割补法可得，然后根据二次函数的性质可进行求解；②如图，由①可得：当时，则，进而可分当时，当时和当时，结合函数图象可进行求解． 【小问1详解】 解：把 代入抛物线得：， ∴， 令 时，则有 ， ∴， ∴， ∴； 故答案为2；45； 【小问2详解】 解：如图，设交y轴于E，当 时，， 解得：（舍去），， ， ，轴， ∴， ， ∵，， ， ， ， ， 设直线，代入 得，， ， ． 由, 解得：或， ． 【小问3详解】 解：①连接，设点， ， 当时，， ②如图，由①可得：当时，则； ∴当时，满足条件的P点有3个；当时，满足条件的P点有4个； 当时，满足条件的P点有2个． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 孝南区2024-2025学年度九年级上学期期末学业水平监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 下列银行图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 对参加中考进入考场考生的安检用随机抽样抽查 B. 若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则乙组数据比甲组数据稳定 C. 某种彩票中奖的概率是，那么买100张这种彩票一定中奖 D. “篮球队员在罚球线上投篮，命中”是随机事件 4. 若一元二次方程的两个实数根为，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 如图，将绕原点O逆时针旋转得到，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则整数m的最大值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、第四象限 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而增大 9. 如图， 内接于圆， ，，以C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点H，连接 ，并延长交圆于点D，连接， ，则下列结论错误的是（ ） A. 为直径 B. C. D. 10. 如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线 ，且经过点，与x轴的一个交点位于，之间．有下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 方程的根为__________ 12. 请写出一个过点（0，1）且开口向上的二次函数解析式_____________． 13. 有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4．随机抽取1张得到数字是奇数的概率为________． 14. 如图，将 绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是________． 15. 如图，在中，， ， ，将绕点A顺时针旋转得到，取的中点D，的中点E．则在旋转过程中，线段 的最小值为________，线段 的最大值为________． 三、解答题（本大题共9个题，满分75分） 16. 计算： 17. 如图，将 以点C为旋转中心旋转得到，过点A作，交 的延长线于点F，求证： ． 18. 若是关于x的一元二次方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 19. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； （2）请补全条形统计图； （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 20. 如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）直接写出当时，对应的x的取值范围． 21. 如图，为的直径，E为上一点， 平分交于点C，过点C作，交的延长线于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 22. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为，另外三边用的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的门，设苗圃园垂直于墙的一边长为，苗圃园的面积为． （1）写出S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）若苗圃园的面积为，求垂直于墙的一边长为多少m？ （3）苗圃园的面积能否达到？若能，请说明理由；若不能，请求出苗圃园的面积最大值． 23. 在 中，，，D为直线 上一点（点D不与点B、C重合）． （1）如图1，当点D在线段 上时，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．判断线段 与的数量关系和位置关系，并证明； （2）如图2，当点D在线段 的延长线上时，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接 ，写出此时线段、、 之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点F为 外部一点，若，， ，请直接写出的长． 24. 已知抛物线与x轴交于A， 两点，与y轴交于点C． （1）直接写出结果：________，________； （2）如图1，点是第一象限内抛物线上一点，连接，若N是第二象限内抛物线上一点，，求出N点的坐标； （3）如图2，若点P是抛物线上一点． ①若点P在 右侧时，连接，，求面积的最大值； ②若点P是抛物线上任意一点，且，试确定满足条件的P点个数，请直接写出你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $