精品解析：山西省晋中市太谷区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

太谷区2024–2025学年第一学期期末质量监测试题 八年级数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 下列各数：、0、、（每两个相邻5之间依次多一个0），其中无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的定义．先求出算术平方根，然后再根据无理数的定义求解即可． 【详解】解：， 在、0、、（每两个相邻5之间依次多一个0）之中， 无理数有：，（每两个相邻5之间依次多一个0）两个， 故选：B 2. 通过本学期第七章的学习我们明白了：仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．而在数学发展史上，数学家们也遇到了“已经知道的真命题又是如何证实的？”这一问题，而源于希腊数学家的一本数学著作解决了这一问题．它以公理和原始概念为基础推演出更多的结论．这种做法为人们提供了一种研究问题的方法（称为公理化方法），这本数学著作是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数学著作，熟练掌握《几何原本》中公理化思想是解题的关键，根据《几何原本》体现了公理化思想进行判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，数学著作《几何原本》体现的是公理化思想， 故选：D． 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质及减法，乘法和除法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项符合题意； D、，此选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质；利用全等三角形的性质得到，再根据正方形和勾股定理的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵，，，是四个全等的直角三角形，，， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 故选：D． 5. 下列命题中，为真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 若，则 C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 直线，，在同一平面内，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题的判定，对顶角的定义，平行线的判定以及性质等知识，根据对顶角的性质、平行线的判定以及性质判断即可． 【详解】解：．相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．若，则或，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．直线，，在同一平面内，，，则是真命题，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 山西省为探索适合自身发展的“体育+旅游”模式，为游客提供更加多元的乡村旅游体验．将于年月日，在汾阳市贾家庄，举办“青花汾酒”杯半程马拉松赛．并特别设置了公里迷你跑体验赛．为迎接即将到来的比赛，某校选手甲、乙、丙、丁近期次公里迷你跑训练成绩的平均数（分）及方差如下图所示，根据测试结果，要从中选择一名成绩好，且发挥稳定的选手参赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 （分） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了运用平均数、方差作决策，从表格获取有效信息是解答本题的关键． 从平均数来看，乙成绩最好，从方差来看，乙方差最小，最稳定，即可解答． 【详解】解：由表可知，从平均数来看，成绩最好的选手是乙，从方差来看，乙选手方差最小，最稳定，根据测试结果，要从中选择一名成绩好，且发挥稳定的选手参赛，应选择乙， 故选：B． 7. 如图，已知直线，将一块含直角三角板按如图所示方式放置到这一对平行线上，量得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．利用平行线的性质得到，由对顶角的定义得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 2024年9月10日，太原能源低碳发展论坛在潇河国际会议中心开幕．如图是利用网格画出的会址一潇河国际会议中心附近的部分示意图．若表示晋宝顺汽贸的点的坐标为，表示武圣寺的点的坐标为，则表示潇河国际会议中心的点的坐标是（ ）点 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据点的坐标，点的坐标确定出坐标轴的位置，即可求得点的坐标． 【详解】解：根据点的坐标为，点的坐标为，建立直角坐标系，如图所示： 则点A的坐标为： 故选：C． 9. 2024年10月26日，我区某校八年级270名师生前往研学基地：左权麻田八路军纪念馆、中共中央北方局旧址，参加了主题为《缅怀革命英烈，传承红色精神》的研学活动．山西文旅集团晋游旅行有限公司向本校提供了两种坐车方案，让学校选择，方案1：提供A型座次的车4辆，B型座次的车1辆，这时有15个空座位；方案2：提供A型座次的车2辆，B型座次的车2辆，这时所有的车刚好坐满．若设A型座次的车有个座位，B型座次的车有个座位，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题的关键是熟练掌握总人数与每种车型总人数的关系列出二元一次方程组． 根据A型座次的车有个座位，B型座次的车有个座位，方案1：提供A型座次的车4辆，B型座次的车1辆，这时有15个空座位，方案2：提供A型座次的车2辆，B型座次的车2辆，这时所有的车刚好坐满，列方程组． 【详解】解：∵A型座次的车有个座位，B型座次的车有个座位， A型座次的车4辆，B型座次的车1辆，这时有15个空座位， ∴， ∵A型座次的车2辆，B型座次的车2辆，这时所有的车刚好坐满， ∴， ∴． 故选：A． 10. 小华妈妈骑电动车从家出发沿公路匀速前往图书馆，同时小华骑自行车从图书馆出发沿同一条路回家，如图，折线和线段，分别表示两人离家的距离与小华的行驶时间之间的函数关系的图象，且与相交于点．下列说法中错误的是（ ） A. 小华家与图书馆之间的距离为 B. 小华妈妈骑电动车的速度为，小华骑自行车的速度为 C. 小华妈妈行驶了到达图书馆 D. 经过或时，小华与妈妈之间的距离为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据函数图象获得信息，一元一次方程的应用，根据函数图象求出小华的速度，然后再求出小华家与图书馆之间的距离即可判断A正确；根据函数图象求出小华妈妈骑电动车的速度即可判断B正确；根据小华妈妈骑电动车的速度和小华家与图书馆之间的距离即可求出结果，判断C正确；分两种情况：小华和妈妈相遇前之间相距时，小华和妈妈相遇后之间相距时，分别列出方程，求出结果，即可判定D错误． 【详解】解：A．根据图象可知：小华的速度为： ， 则小华家与图书馆之间的距离为，故A正确，不符合题意； B．小华妈妈骑电动车的速度为，小华骑自行车的速度为，故B正确，不符合题意； C．小华妈妈到达图书馆所用时间为，故C正确，不符合题意； D．小华和妈妈相遇前之间相距时，， 解得：， 小华和妈妈相遇后之间相距时， ， 解得：， 即经过或时，小华与妈妈之间的距离为，故D错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 的平方根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根和平方根，根据算术平方根和平方根的计算方法进行计算即可得出答案．熟练掌握算术平方根和平方根的计算方法进行求解是解决本题的关键． 【详解】解：， 的平方根是． 故答案为：． 12. 在同一直角坐标系中，直线与直线相交于点，则方程组的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．把代入求出的值可得出点的坐标，即可得出答案．． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴当时，得：， ∴， ∴方程组的解为． 故答案为：． 13. 已知一次函数（为常数，且）的图像过点，若，则______．（用或填空） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数图象的增减性，结合函数图象上的两点横坐标的大小，即可得到答案． 【详解】∵一次函数的解析式为：， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵该函数图象上的两点， ∵， ∴， 故答案为： 14. 毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，．．．，即当勾为3时，股为4，弦为5．分析上面数组的排列规律，当勾为13时，股和弦的值分别为__________． 【答案】84、85 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数，关键是找出数据之间关系，掌握勾股定理．观察所给数组的规律，继而可得出答案． 【详解】解：由勾股数组：，，…中， ，，， ，，，… 可得当勾为13时，股为，弦为； 故答案为：，． 15. 如图，直线分别与、轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且．点是轴上的一点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，此时点的坐标为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理和折叠综合等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 由直线过点，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出的值，进而可得出点的坐标及的长度，结合可求出点的坐标，设，则或，在中，利用勾股定理可得出关于的方程，解之即可得出结论． 【详解】∵直线过点， ， ， 当时，， ∴点的坐标为，即， ， ， ∵点在轴正半轴， ∴点的坐标为， 依照题意画出图形，如图所示． 由翻折得，， ，， ， ， ∴设，则或， 在中，， ∴，即或， 解得：或， 点P的坐标为或． 故答案为：或 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算 （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③ 第一步 得： 第二步 将代入②得：． 第三步 所以该方程的解是 第四步 （1）这种求解二元一次方程组的方法叫做__________；其中第一步这样做的依据是__________． （2）第_____步开始出现了错误，错误的原因是：__________． （3）请你帮小华同学写出正确的解题步骤． 【答案】（1）①加减消元法，②等式的基本性质2 （2）②，计算减法时没有把负号转变为正号 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据二元一次方程组的定义即可解答； （2）根据二元一次方程组的运算即可解答． （3）利用加减消元法解方程组即可． 此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是键是能熟练运用加减消元法． 【小问1详解】 小华同学使用的是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质2，即等式两边同时乘以一个相同的数，等式仍然成立． 【小问2详解】 第二步出现错误，原因是计算减法时没有把负号转变为正号； 【小问3详解】 解：②得： ③ 得：， 将代入②得： 所以该方程组的解是 18. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）请画出关于轴的对称图形． （2）已知点，直线轴，求点的坐标． （3）在（1）的条件下，在轴上找点，使为直角三角形，且．（借助网格来找） 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了对称网格作图，正方形的判定及性质，勾股定理及其逆定理，平行坐标轴的直线上点的坐标特征等； （1）由对称的性质进行作图，即可求解； （2）由平行坐标轴的直线上点的坐标特征得，即可求解； （3）找格点、，连接、、、、，结合勾股定理及其逆定理、正方形的判定方法得四边形是正方形，即可求解； 掌握正方形的判定及性质，勾股定理及其逆定理，平行坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图， 为所求作； 【小问2详解】 解：，点与点关于轴对称， ， ，直线轴， 点的纵坐标为2， ， ， ， 点的坐标为． 【小问3详解】 解：如图， 为所求作，连接； 理由：找格点、，连接、、、、， ，， 四边形是菱形， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形是正方形， ． 19. 已知：如图，，， （1）求证：； （2）试求出的度数． 请根据解答过程，在横线上填出数学式，在括号内填写相应理由． （1）证明：，（已知） ，（①） ；（②） （2）解：，（已知） ，（③） ，，（已证） ，（④） ⑤，（⑥） ⑦ 的度数为⑧． 【答案】（1）同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；（2）垂直的定义；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；； 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定及性质是解决问题的关键． （1）证明可得 ； （2）由垂直的定义得，由等量代换得，从而，然后根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，（已知） ，（同位角相等，两直线平行） ；（两直线平行，内错角相等） （2）解：，（已知） ，（垂直的定义） ，，（已证） ，（等量代换） ∴，（同旁内角互补，两直线平行） 的度数为． 故答案为：（1）同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；（2）垂直的定义；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；；. 20. 为了解学生书写水平，为教师教学提供有针对性的参考依据，某区对各校初中学生的英语书写能力进行测评．其中某中学八年级随机抽取了50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： 成绩（分） 频数 1 12 12 18 成绩在这一组的是（单位：分）：80，81，82，82，85，87，88，88，88，89，89，89，根据以上信息，回答下列问题： （1）这次成绩的中位数是__________分，成绩在这一组数据的众数为_____分． （2）这次成绩的平均分是84.4分，丽丽的成绩是85分．明明说：“丽丽的成绩高于平均分，所以丽丽的成绩高于一半学生的成绩．”你认为明明的说法正确吗？请说明理由． （3）若测试成绩不低于80分，则认定学生对英语书写能力优秀．若该校八年级学生共有800人，请估计该校八年级学生英语书写能力优秀的人数． 【答案】（1）86，88和89 （2）不正确，理由见解析 （3）480人 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义即可得到结论； （2）根据中位数的意义求解即可； （3）根据样本估计总体即可． 本题考查频数分布直方图，中位数，平均数，众数的定义以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【小问1详解】 这次测试成绩的中位数是第25，26个数据的平均数，而第25，26个数据的平均数为，所以这次成绩的中位数是86分， 成绩在这一组数据的众数为88和89分 【小问2详解】 不正确，理由如下： 丽丽成绩是否高于一半学生的成绩要与中位数86比较， 丽丽的成绩85分低于中位数86， 丽丽成绩低于一半学生的成绩； 【小问3详解】 （人）． 答：估计该校八年级学生英语书写能力优秀的人数有480人． 21. 丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 【答案】12个 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键．设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：设用张卡纸做侧面，用张卡纸做底面， 由题意得， 解得． （个）或（个） 答：这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个． 22. 随着人们生活和消费水平的不断提高，单肩包越来越受人们的喜爱．如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短． 【观察测量】 某项目学习小组对该背包的背带长度进行测量，该单层的部分长度是，双层部分的长度是，得到如下数据： 单层部分的长度 ．．． 50 60 70 80 90 ．．． 双层部分的长度 ．．． 55 50 45 42 35 ．．． 【探究发现】 （1）小组建立如图所示的平面直角坐标系，单层部分的长度，双层部分的长度，描出以表格中所有数据为坐标的各点（只描出点即可）； （2）经过观察思考，项目学习小组发现表格中有一组身高的数据有误，重新测量后证实了这一发现．经过纠正，该组数据应为：单层部分的长度为__________cm时，双层部分的长度约为__________cm； （3）在平面直角坐标系中，描出这些数据对应的点，发现这些点大致位于同一个函数图象上，求该函数的表达式． 结论应用】 （4）应用上述发现的规律推测：根据青青同学的身高和习惯，背带的总长度为时，背起来最舒适，此时单层部分的长度为__________． 【答案】（1）作图见详解；（2）80；40；（3）；（4）60 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的运用，理解表格信息，掌握待定系数法求解析式，一次函数求自变量的值的计算是解题的关键． （1）根据表格描点即可； （2）根据表格数字信息进行分析即可； （3）运用待定系数法即可求解； （4）根据题意列式为，由此即可求解． 【详解】解：（1）根据表格信息描点如下， （2）根据表格信息，增大，有规律的逐渐减小， 即当时，，当时，，当时，，当时，， ∴单层部分的长度为时，双层部分的长度约为， 故答案为：，； （3）设函数解析式为， 当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴函数解析式为； （4）背带的总长度为时，即， ∴， 解得，， ∴单层部分长度为， 故答案为：． 23. 请阅读下列材料，并完成相应任务． 【问题情景】 数学课上，老师与同学们一起以“三角形折角”为背景探究角之间的数量关系． 已知：如图，在中，点、分别是边、上的两个动点，将沿着直线折叠，点的对应点为．求证：． 【探究证明】 勤奋小组提出：我们刚学习了三角形外角的相关定理，是否可以用这个知识来解决这一问题呢？然后通过小组讨论，给出了以下的证明过程： 证明：连接， 由折叠可知，． 是的一个外角 （依据） 是的一个外角 又， （）勤奋小组证明过程中的“依据”是__________； 【类比猜想】 （）乐学小组提出：如图，若将折到下方时，、与之间的数量关系还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请先猜想它们之间的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （）创新小组提出：如图，若将折到上方时，、与之间的数量关系是__________（直接填写答案，不必证明） 【答案】（）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（）不成立，，证明见解析；（） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，折叠的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）根据三角形的外角性质即可求解； （）设与相交于点，由三角形外角性质得，，即得，由折叠可得，即得到，即可求证； （）设与相交于点，同理（）解答即可求解； 【详解】解：（）勤奋小组证明过程中的“依据”是三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和， 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； （）不成立，． 证明：如图，设与相交于点， 则， 又∵， ∴， 由折叠得，， ∴， 即； （），理由如下： 如图，设与相交于点， 则， 又∵， ∴， 由折叠得，， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 太谷区2024–2025学年第一学期期末质量监测试题 八年级数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 下列各数：、0、、（每两个相邻5之间依次多一个0），其中无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 通过本学期第七章的学习我们明白了：仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．而在数学发展史上，数学家们也遇到了“已经知道的真命题又是如何证实的？”这一问题，而源于希腊数学家的一本数学著作解决了这一问题．它以公理和原始概念为基础推演出更多的结论．这种做法为人们提供了一种研究问题的方法（称为公理化方法），这本数学著作是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（ ） A. 5 B. 4 C. D. 5. 下列命题中，为真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B 若，则 C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 直线，，在同一平面内，，，则 6. 山西省为探索适合自身发展的“体育+旅游”模式，为游客提供更加多元的乡村旅游体验．将于年月日，在汾阳市贾家庄，举办“青花汾酒”杯半程马拉松赛．并特别设置了公里迷你跑体验赛．为迎接即将到来的比赛，某校选手甲、乙、丙、丁近期次公里迷你跑训练成绩的平均数（分）及方差如下图所示，根据测试结果，要从中选择一名成绩好，且发挥稳定的选手参赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 （分） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，已知直线，将一块含直角三角板按如图所示方式放置到这一对平行线上，量得，则（ ） A. B. C. D. 8. 2024年9月10日，太原能源低碳发展论坛在潇河国际会议中心开幕．如图是利用网格画出的会址一潇河国际会议中心附近的部分示意图．若表示晋宝顺汽贸的点的坐标为，表示武圣寺的点的坐标为，则表示潇河国际会议中心的点的坐标是（ ）点 A. B. C. D. 9. 2024年10月26日，我区某校八年级270名师生前往研学基地：左权麻田八路军纪念馆、中共中央北方局旧址，参加了主题为《缅怀革命英烈，传承红色精神》的研学活动．山西文旅集团晋游旅行有限公司向本校提供了两种坐车方案，让学校选择，方案1：提供A型座次的车4辆，B型座次的车1辆，这时有15个空座位；方案2：提供A型座次的车2辆，B型座次的车2辆，这时所有的车刚好坐满．若设A型座次的车有个座位，B型座次的车有个座位，则可列方程组（ ） A B. C. D. 10. 小华妈妈骑电动车从家出发沿公路匀速前往图书馆，同时小华骑自行车从图书馆出发沿同一条路回家，如图，折线和线段，分别表示两人离家的距离与小华的行驶时间之间的函数关系的图象，且与相交于点．下列说法中错误的是（ ） A. 小华家与图书馆之间的距离为 B. 小华妈妈骑电动车的速度为，小华骑自行车的速度为 C. 小华妈妈行驶了到达图书馆 D. 经过或时，小华与妈妈之间的距离为 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 的平方根是_______． 12. 在同一直角坐标系中，直线与直线相交于点，则方程组的解为__________． 13. 已知一次函数（为常数，且）的图像过点，若，则______．（用或填空） 14. 毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，．．．，即当勾为3时，股为4，弦为5．分析上面数组的排列规律，当勾为13时，股和弦的值分别为__________． 15. 如图，直线分别与、轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且．点是轴上的一点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，此时点的坐标为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算 （1）； （2）； 17. 下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③ 第一步 得： 第二步 将代入②得：． 第三步 所以该方程的解是 第四步 （1）这种求解二元一次方程组的方法叫做__________；其中第一步这样做的依据是__________． （2）第_____步开始出现了错误，错误的原因是：__________． （3）请你帮小华同学写出正确的解题步骤． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）请画出关于轴的对称图形． （2）已知点，直线轴，求点的坐标． （3）在（1）的条件下，在轴上找点，使为直角三角形，且．（借助网格来找） 19. 已知：如图，，， （1）求证：； （2）试求出的度数． 请根据解答过程，在横线上填出数学式，在括号内填写相应理由． （1）证明：，（已知） ，（①） ；（②） （2）解：，（已知） ，（③） ，，（已证） ，（④） ⑤，（⑥） ⑦ 的度数为⑧． 20. 为了解学生的书写水平，为教师教学提供有针对性的参考依据，某区对各校初中学生的英语书写能力进行测评．其中某中学八年级随机抽取了50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： 成绩（分） 频数 1 12 12 18 成绩在这一组的是（单位：分）：80，81，82，82，85，87，88，88，88，89，89，89，根据以上信息，回答下列问题： （1）这次成绩的中位数是__________分，成绩在这一组数据的众数为_____分． （2）这次成绩的平均分是84.4分，丽丽的成绩是85分．明明说：“丽丽的成绩高于平均分，所以丽丽的成绩高于一半学生的成绩．”你认为明明的说法正确吗？请说明理由． （3）若测试成绩不低于80分，则认定学生对英语书写能力优秀．若该校八年级学生共有800人，请估计该校八年级学生英语书写能力优秀的人数． 21. 丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 22. 随着人们生活和消费水平的不断提高，单肩包越来越受人们的喜爱．如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短． 【观察测量】 某项目学习小组对该背包的背带长度进行测量，该单层的部分长度是，双层部分的长度是，得到如下数据： 单层部分的长度 ．．． 50 60 70 80 90 ．．． 双层部分的长度 ．．． 55 50 45 42 35 ．．． 【探究发现】 （1）小组建立如图所示的平面直角坐标系，单层部分的长度，双层部分的长度，描出以表格中所有数据为坐标的各点（只描出点即可）； （2）经过观察思考，项目学习小组发现表格中有一组身高数据有误，重新测量后证实了这一发现．经过纠正，该组数据应为：单层部分的长度为__________cm时，双层部分的长度约为__________cm； （3）在平面直角坐标系中，描出这些数据对应的点，发现这些点大致位于同一个函数图象上，求该函数的表达式． 【结论应用】 （4）应用上述发现的规律推测：根据青青同学的身高和习惯，背带的总长度为时，背起来最舒适，此时单层部分的长度为__________． 23. 请阅读下列材料，并完成相应任务． 【问题情景】 数学课上，老师与同学们一起以“三角形折角”为背景探究角之间数量关系． 已知：如图，在中，点、分别是边、上的两个动点，将沿着直线折叠，点的对应点为．求证：． 【探究证明】 勤奋小组提出：我们刚学习了三角形外角的相关定理，是否可以用这个知识来解决这一问题呢？然后通过小组讨论，给出了以下的证明过程： 证明：连接， 由折叠可知，． 是的一个外角 （依据） 是的一个外角 又， （）勤奋小组证明过程中“依据”是__________； 【类比猜想】 （）乐学小组提出：如图，若将折到下方时，、与之间的数量关系还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请先猜想它们之间的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （）创新小组提出：如图，若将折到上方时，、与之间的数量关系是__________（直接填写答案，不必证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$