精品解析：浙江省宁波市江北区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024学年第一学期九年级学业质量检测（数学试题） 考生须知： 1．全卷分试题卷I、试题卷II和答题卷．试题卷共6页，有三个大题，24个小题．满分为120分，考试时长为120分钟． 2．请将姓名、准考证号等信息分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． 3．答题时，请将试题卷I的答案在答题卷I上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷II的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷II各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷I 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知的半径为2，点P到圆心O的距离为3，则点P在（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵的半径为2，点P到圆心O的距离为3，且， ∴点P在圆外． 故选：C 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内是解题的关键． 2. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义，根据锐角的正切等于对边比邻边解答． 【详解】解：如图， ∵在中，， ∴． 故选：C． 3. 如图，一种凹槽模具水平放置，其呈现的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据主视图是从前往后看，可得到主视图，正确得到几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：主视图是从前往后看，是一个凹字形状的图形， 故选：A． 4. 抛物线与x轴的交点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，抛物线与x轴的交点个数即为抛物线对应的一元二次方程的解的个数，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴抛物线与x轴的交点个数为0个， 故选：A． 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， 故选：B． 6. 从一个装有6个红球、4个蓝球、2个白球和1个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余的均相同）．下列事件中发生可能性最小的是（ ） A. 摸出红球 B. 摸出蓝球 C. 摸出白球 D. 摸出黑球 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知随机摸出一个球（除颜色外其余的均相同）．可能性大小由对应颜色球的数量决定，数量越少可能性越小． 【详解】解：∵袋中共有个球，其中红球个，蓝球个，白球个，黑球个， ∵， ∴发生可能性最小的是摸出黑球，选项D符合． 7. 如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为4，且，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形相的面积之比等于位似之比的平方是解题关键． 先说明与位似比，然后再根据位似图形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形 ∴位似比是 ∴，即， ∵的面积为4， ∴． 故选C． 8. 如图，弓形的弓高为，弦长为，则此弓形（阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积及垂径定理，先利用垂径定理及勾股定理求出半径，再分别求出扇形及的面积即可解决问题．掌握扇形的面积公式及垂径定理是解题的关键． 【详解】解：设扇形所在圆的半径为， 则， ∵弓形的弓高为，弦长为， ∴，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴此弓形（阴影部分）的面积为． 故选：B． 9. 如图，点为边上一点（可与点重合），已知．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；再以点为圆心，长为半径作弧，交于点（点在点下方）；最后以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连结并延长且交于点．以下个结论：①；②；③的最大值为；④若为中点，则．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，由作图可判定①；进而可得，再根据相似三角形的性质可判定②③④，据此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解析：①由尺规作图可得，，故①正确； ② ，， ， ， 故②错误； ③ 当与重合时，最大，此时， 由，得， 解得，故③正确； ④ 当为中点时，，由尺规作图可得， 由 ，可得， ∴，故④正确； 综上所述，①③④正确， 故选：． 10. 已知抛物线（且都是常数）经过点，且对于符合，的任意实数，其对应的函数值始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质．先求出抛物线的对称轴为直线 ，不妨设该抛物线的函数表达式为，代入求得，进一步即可求得顶点的纵坐标． 【详解】解：当时，， 则抛物线经过点和， 该抛物线的对称轴为直线 ． 点关于该对称轴对称的点的坐标是． 由题意，得： 恒正， 恒负． 该抛物线经过点和． 设该抛物线的函数表达式为 ． 代入，得 ， 解得 ． 当 时， ， 故选：B． 试题卷II 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知实数，满足，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式求值，由可得，将其代入即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 【答案】十 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角，根据正多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：； ∴该正多边形的边数是10； 故答案为：十． 13. 若圆锥的母线长为4，底面半径为3，则该圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可． 【详解】解：∵圆锥的母线长为4，底面半径为3， ∴圆锥的侧面积是； 故答案为∶． 14. 某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验：在不透明的盒中装入除颜色外均相同的红色、蓝色小球共个，摇匀后摸出一个球，记下颜色后放回，继续摇匀摸球，经过大量重复试验后，绘制“摸出球为红色”的频率折线统计图（如图）．请估计盒中装入红色小球的个数约为__________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率．由题意知，摸到红球的频率逐渐趋于，即摸到红球的概率为，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，摸到红球的频率逐渐稳定于， 摸到红球的概率为， 红球的个数为：（个）， 故答案为：． 15. 二次函数自变量的部分取值和对应的函数值如下表所示： ... ... ... ... 下列说法正确的是__________．（填写序号） ①抛物线的对称轴为直线；②函数图像开口向上； ③当时，随的增大而增大；④当时，的取值范围是． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像与性质，结合表格中的数据逐一分析即可． 【详解】解析：∵当或时，函数值相等， 抛物线的对称轴为直线 ，①正确． ②当时的函数值大于当时的函数值， 当时的函数值是该函数的最小值， 函数图象开口向上，②正确． ③由①②得：当时，随的增大而增大， ③显然正确． ④当时，的取值范围为或， ④不正确． 综上所述， 正确的是①②③． 16. 如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，，则的半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理、正方形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上性质． 过点O作于点M，于点N，于点P，连接，由弦心距和垂径定理得出，，推出小是的内切圆，四边形是正方形，得，，，是等腰直角三角形，则，，设，求出，，然后在，由勾股定理列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点O作于点M，于点N，于点P，连接， ∵弦， ∴，， ∴小是的内切圆，四边形是正方形， ∴，，，是等腰直角三角形， ∴，， 设， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值化简即可求解． 【详解】 = = = =． 【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 18. 中华文化之瑰宝−−“四大名著”，即《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》，在中国文学史上有着极其重要的地位． （1）若从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是_____． （2）若从这四大名著中随机抽取两套（先随机抽取一套，不放回，再随机抽取另一套），请用画树状图或列表的方法，求抽到的两套恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式等知识点，正确运用列表法或树状图法展示所有可能的结果数和满足题意的结果数是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列树状图展示所有12种等可能的结果数，找出学生乙和学生丙都没有抽到《西游记》的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：从这四本书籍中随机抽取两本的情况列表如下（记四本书籍依次为 A，B， C， D）： A B C D A − B − C − D − 共有 12 种等可能结果，其中《水浒传》和《三国演义》被选中的结果有 2 种， 抽到的两本恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率为． 19. 图1，图2均为由边长为1的正六边形构成的网格，每个正六边形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，称为格点三角形．请用无刻度直尺按要求画出图形． （1）在图1中画出将绕点逆时针旋转后的（保留作图痕迹并请标注字母）． （2）在图2中画出两个大小不一的格点三角形，要求与相似但不全等（请涂填阴影）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，全等三角形的判定，正多边形与圆，相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，正确画出图形． （1）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，即可； （2）根据相似三角形的判定画出三角形即可（答案不唯一）． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，，即为所求（答案不唯一）． 20. 小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究． 已知笔记本电脑屏幕宽．笔记本电脑厚度忽略不计．（参考数据：，） （1）如图1，小明将笔记本电脑放在水平桌面上，将电脑屏幕打开使，求此时电脑屏幕上点与桌面的距离． 图1 （2）为改善坐姿守护健康，小明购买了如图2所示的电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度．若小明在使用电脑支架时，电脑屏幕始终垂直于桌面，求电脑屏幕打开使分别为与时，点距离桌面的高度差． 图2 【答案】（1）此时电脑屏幕上点与桌面的距离约为 （2）点距离桌面的高度差约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，先利用平角定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：，从而可得，然后分别求出当时，当时，的长，从而进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 图1 ． ， 在中，， ， 此时电脑屏幕上点与桌面的距离约为； 【小问2详解】 延长交于点， 由题意得：， ， 当时， ， 在中，， ， 当时， ， 在中，， 图2 ， 点距离桌面的高度差， 点距离桌面的高度差约为． 21. 某大型游乐园里有一个热门游乐项目，每场可供200人同时游玩，当游玩票价为50元时，该项目每场均为满员状态．市场调查显示当游玩票价在50元到80元之间（含50元和80元）浮动时，每提高2元，每场人数会减少4人． （1）设票价为元，请写出每场人数关于票价的函数关系式． （2）已知该游乐项目某场营业收入为10800元，根据“营业收入票价每场人数”这一关系，求此时的票价． （3）当票价为多少时，此场营业收入最大？最大值为多少？ 【答案】（1） （2）60元 （3）当票价为75时，当场营业收入最大为11250元 【解析】 【分析】此题考查了一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，正确列出函数解析式是解题关键． （1）设票价为元，根据题意列出表达式即可； （2）根据根据“营业收入票价每场人数”列出一元二次方程求解即可； （3）根据题意得到，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设票价为元， ∴； 【小问2详解】 ∵该游乐项目某场营业收入为10800元 ∴ 整理得， 解得，（舍） ∴此时的票价为60元； 【小问3详解】 根据题意得， ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当票价为75时，当场营业收入最大为11250元． 22. 如图1，在中，，平分，点E在斜边边上，以为直径的经过点D． （1）求证：直线为的切线． （2）如图2，连结，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径于点D， ∴是的切线； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质． （1）连接，由，得到，由角平分线定义得到，因此，推出，得到半径，即可证明问题； （2）连接，根据三角函数的定义求出，设，根据三角函数的定义求得，得到，由直角三角形斜边中线的性质即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 如图1，过点作直线于点，过点作轴交直线于点．线段的长度称为点到直线的竖直距离． 【探索】 ①如图1，设点的坐标为，则点到直线的竖直距离即为的长度，则_____．（用含的代数式表示） ②当直线与轴不平行时，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，若此时直线，则_____． 【应用】 如图2，公园有一斜坡草坪（可看作线段），其倾斜角为，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线，其最远处落在草坪的处．若在山上种一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架，请求出支架的最大值． 【拓展】 如图3，原有斜坡倾斜角不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与轴相切于点，若，为了保证灌溉山上种植的这棵树（垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高的最大值是多少？ 【答案】探索：①；②；应用：；拓展：4 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形等，理解题意，数形结合是解题的关键． 探索：①由题意即可求解； ②设直线l和x轴的夹角为β，由直线l的表达式知，，则，即可求解； 应用：设N横坐标为a，由，即可求解； 拓展：过Q作交圆弧于N，交于T，过N作x轴垂线交于M，此时最大，即最大，即可求解． 【详解】解：探索： ①由题意得：； 故答案为：； ②设直线l和x轴的夹角为， 由直线l的表达式知：， 则， 即， 故答案为：； 应用： ∵草坪倾斜角为， ∴解析式为：， 设N横坐标为a， 则， 当时，最大，； ∵， ∴此时最大，； 拓展： ∵圆弧与y轴相切， ∴圆心在x轴上，记圆心为Q，过Q作交圆弧于N，交于T，过N作x轴垂线交于M， 此时最大，即最大，， 则， 则． 24. 如图1，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点，点在上，． （1）求证：． （2）如图2，若点为的中点，求证：． （3）在（2）的条件下，的面积为2，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出； （2）先证，得到，再根据，证出，，即可得证； （3）连接 ，作，证明，得出，得出，设，得出，根据勾股定理得出，求出（舍去），设，根据勾股定理得出．根据，得出，求出t即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∵， ， ． 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接 ，作， ， ， ∴， ， 又， ， ， ， 设， ， 在中，， ， 解得：（舍去）， ， 设， 在 中， ． ， ， 解得 （舍去）， 的长为 ． 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级学业质量检测（数学试题） 考生须知： 1．全卷分试题卷I、试题卷II和答题卷．试题卷共6页，有三个大题，24个小题．满分为120分，考试时长为120分钟． 2．请将姓名、准考证号等信息分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． 3．答题时，请将试题卷I的答案在答题卷I上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷II的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷II各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷I 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知的半径为2，点P到圆心O的距离为3，则点P在（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 不能确定 2. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一种凹槽模具水平放置，其呈现的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线与x轴的交点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 从一个装有6个红球、4个蓝球、2个白球和1个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余的均相同）．下列事件中发生可能性最小的是（ ） A. 摸出红球 B. 摸出蓝球 C. 摸出白球 D. 摸出黑球 7. 如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为4，且，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 8. 如图，弓形的弓高为，弦长为，则此弓形（阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点为边上一点（可与点重合），已知．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；再以点为圆心，长为半径作弧，交于点（点在点下方）；最后以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连结并延长且交于点．以下个结论：①；②；③的最大值为；④若为中点，则．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 已知抛物线（且都是常数）经过点，且对于符合，的任意实数，其对应的函数值始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 试题卷II 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知实数，满足，则的值为_____． 12. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 13. 若圆锥的母线长为4，底面半径为3，则该圆锥的侧面积是______． 14. 某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验：在不透明的盒中装入除颜色外均相同的红色、蓝色小球共个，摇匀后摸出一个球，记下颜色后放回，继续摇匀摸球，经过大量重复试验后，绘制“摸出球为红色”的频率折线统计图（如图）．请估计盒中装入红色小球的个数约为__________个． 15. 二次函数自变量的部分取值和对应的函数值如下表所示： ... ... ... ... 下列说法正确的是__________．（填写序号） ①抛物线的对称轴为直线；②函数图像开口向上； ③当时，随的增大而增大；④当时，的取值范围是． 16. 如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，，则的半径为__________． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 计算： 18. 中华文化之瑰宝−−“四大名著”，即《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》，在中国文学史上有着极其重要的地位． （1）若从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是_____． （2）若从这四大名著中随机抽取两套（先随机抽取一套，不放回，再随机抽取另一套），请用画树状图或列表的方法，求抽到的两套恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率． 19. 图1，图2均为由边长为1的正六边形构成的网格，每个正六边形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，称为格点三角形．请用无刻度直尺按要求画出图形． （1）在图1中画出将绕点逆时针旋转后的（保留作图痕迹并请标注字母）． （2）在图2中画出两个大小不一的格点三角形，要求与相似但不全等（请涂填阴影）． 20. 小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究． 已知笔记本电脑屏幕宽．笔记本电脑厚度忽略不计．（参考数据：，） （1）如图1，小明将笔记本电脑放在水平桌面上，将电脑屏幕打开使，求此时电脑屏幕上点与桌面的距离． 图1 （2）为改善坐姿守护健康，小明购买了如图2所示的电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度．若小明在使用电脑支架时，电脑屏幕始终垂直于桌面，求电脑屏幕打开使分别为与时，点距离桌面的高度差． 图2 21. 某大型游乐园里有一个热门游乐项目，每场可供200人同时游玩，当游玩票价为50元时，该项目每场均为满员状态．市场调查显示当游玩票价在50元到80元之间（含50元和80元）浮动时，每提高2元，每场人数会减少4人． （1）设票价为元，请写出每场人数关于票价的函数关系式． （2）已知该游乐项目某场营业收入为10800元，根据“营业收入票价每场人数”这一关系，求此时的票价． （3）当票价为多少时，此场营业收入最大？最大值为多少？ 22. 如图1，在中，，平分，点E在斜边边上，以为直径的经过点D． （1）求证：直线为的切线． （2）如图2，连结，若，，求的长． 23. 如图1，过点作直线于点，过点作轴交直线于点．线段的长度称为点到直线的竖直距离． 【探索】 ①如图1，设点的坐标为，则点到直线的竖直距离即为的长度，则_____．（用含的代数式表示） ②当直线与轴不平行时，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，若此时直线，则_____． 【应用】 如图2，公园有一斜坡草坪（可看作线段），其倾斜角为，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线，其最远处落在草坪的处．若在山上种一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架，请求出支架的最大值． 【拓展】 如图3，原有斜坡倾斜角不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与轴相切于点，若，为了保证灌溉山上种植的这棵树（垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高的最大值是多少？ 24. 如图1，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点，点在上，． （1）求证：． （2）如图2，若点为的中点，求证：． （3）在（2）的条件下，的面积为2，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $