精品解析：福建省莆田市莆田第五中学2024-2025学年高一下学期月考一数学试卷

莆田五中2024－2025学年高一下学期月考一数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知角，向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 【详解】因为，则， 向量，，若，则，可得， 故. 故选：B. 2. 已知，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用诱导公式及齐次式，即可求解. 【详解】因为，所以， 故选：C. 3. 已知向量在正方形网格中的位置，若网格纸上小正方形的边长为1，如图所示．则（ ） A. 12 B. 4 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，可得出，，，再结合平面向量坐标的线性运算性质即可求解. 【详解】网格纸上小正方形的边长为1， 如图，在平面直角坐标系中，，， ， . 故选：C． 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式和二倍角公式，可求出和的值，再计算即可. 【详解】，， ，， ，化简得，， . 故选：C. 5. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象求出的解析式，再由图象平移确定的解析式，进而求函数值. 【详解】由图知，则， 由，则，可得， 又，则，故， 由题意，故. 故选：B 6. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义求解． 【详解】，则是单位向量， 由，，，得，， ， 在上的投影向量为， 故选：A． 7. 如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法1，将作为与的夹角，利用向量知识结合题目数据可得答案； 方法2，如图建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积坐标表示完成运算； 方法3，利用余弦定理计算可得答案. 【详解】法一：分别是的中点，. 与的夹角等于， ， 则； 法二：以为轴，过点作与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，则 ， 则 ； 法三：在中，由余弦定理， 又因为P为的重心，则， 在中再由余弦定理， 在中由余弦定理， 在中，由余弦定理，则 . 故选：D. 8. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，再根据三角恒等变换可得，由三角形形状得出角的取值范围可得结果. 【详解】由及正弦定理得， 所以，得， 所以或（舍去），所以， 因为是锐角三角形，故，解得， 故，， . 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用二倍角公式将化简得出对应表达式，由得出取值范围. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分；部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与夹角为 C. D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由模长的计算可得A错误、C正确；由夹角的计算可得B正确；设，由模长的计算和可得D正确； 【详解】选项A：由得，又，所以，所以A错误； 选项B：设与的夹角为，则，因为，所以，所以B正确； 选项C：，所以，所以C正确； 选项D：设，则， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以当且仅当与反向共线时，取得最大值，且最大值为，所以D正确． 故选：BCD 10. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与最小正周期不相同 D. 与图象存在相同的对称轴 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简两个函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AD选项；利用正弦型的最值可判断B选项；利用正弦型函数的周期公式可判断C选项. 【详解】因为， ， 对于A选项，对于函数，由，可得， 对于函数，由，可得， 故函数的零点为，函数的零点为， 所以，函数、没有相同的零点，A错； 对于B选项，的最大值为，的最大值为，故与的最大值相同，B对； 对于C选项，函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 这两个函数的最小正周期不同，C对； 对于D选项，因为，， 所以，函数与的图象存在相同的对称轴，D对. 故选：BCD. 11. （多选）如图，以为圆心，半径为1的圆始终内切于四边形，且，，则当增大时，下列说法正确的有（ ） A. 单调递减 B. 恒为定值 C. 单调递减 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系，，，由过点分别作，，垂线，交点为,得到，再结合两点间距离公式，得到，由平面向量数量积的坐标表示逐个判断即可； 【详解】 如图建立平面直角坐标系，则，，，设，， 其中，．过点分别作，，的垂线，交点为, 易知， 所以， 所以，即．而，， 且，， 当增大时，也增大，所以ABD正确，C错误； 故答案为：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据求得m，从而得到的坐标求解. 【详解】因为，所以， 又，， 所以，所以， 则， 所以. 故答案为： 13. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的单调性求出函数的单调增区间，与题设比较列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意令， 则， 由于函数在区间上单调递增，且， 故取，则，可得，解得， 结合，知， 故答案为： 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______，的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由正弦定理得到，由三角恒等变换得到，结合角的范围，得到，并利用三角恒等变换化简得到，根据为锐角三角形，求出，从而得到的取值范围. 【详解】， 由正弦定理得， 又， 故， 即， 为锐角三角形，，故，所以， 故，， 又，故，故， 解得， ， 因为为锐角三角形，且， 解得，故， ，， 故. 故答案为：， 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知． （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）已知，角的终边与单位圆交于点，求． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，从而利用求出最小正周期，并整体法求出单调递增区间； （2）根据及求出，结合三角函数定义得到，由余弦二倍角公式求出答案. 【小问1详解】 ， 故的最小正周期为， 令，，解得，， 故单调递增区间为 【小问2详解】 ，即， 因为，所以， 故，解得， 角的终边与单位圆交于点，故， 所以 . 16. 某市一棚户区改造用地平面示意图如图所示.该区域是半径为的圆面，圆面的内接四边形是原棚户区建筑用地，测量可知. （1）求原棚户区建筑用地中对角线的长度； （2）请计算原棚户区建筑用地的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据，在△和△中利用两次余弦定理，整理计算即可求得结果； （2）根据（1）中所求解得，再利用三角形面积公式即可求得结果. 【小问1详解】 ，由余弦定理，得 ， ， ， . 故原棚户区建筑用地中对角线的长度为. 【小问2详解】 在△中，因为， 故，又，故可得，则， 故. 即原棚户区建筑用地的面积为. 17. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当，方程有解，求实数取值范围； （3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析； （2）求得，则将问题转化为有解，然后由求出的范围，从而可求出实数的取值范围； （3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出，进而可求出的取值范围． 【小问1详解】 设的最小正周期为，由题意得，得周期， 所以，得， 因为，所以， 所以， 因为的图象过点，所以，得， 因为，所以， 故． 【小问2详解】 ， 即有解， 由，得， 所以，所以， 所以，即． 【小问3详解】 ，设，则， 由“方程在区间上恰有三个实数根”， 得“方程在区间上恰有三个实数根”， 则的图象如下： 即， 由图得，，， 即， 综上． 【点睛】关键点点睛：此题考查由正弦函数的性质求正弦函数的解析式，考查函数与方程的综合问题，考查正弦函数和余弦函数的图象与性质，第（3）问解题的关键是通过换元后，将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，再结合正弦函数的图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题. 18. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算以为基底表示，进而求解； （2）根据向量的线性运算以为基底表示,又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出的值； （3）根据向量线性运算以为基底表示，又因为三点共线，所以系数之和为1，得出，然后应用基本不等式中1的代换求出的最小值. 【小问1详解】 因为所以， 所以, 所以. 【小问2详解】 由题意可知：， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得, ， 所以，解得：， 所以. 【小问3详解】 易知， 由（2）知， 又因为三点共线,所以，又， 所以：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可； （3）设、，利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则，. 则，所以. 【小问2详解】 由，，得，， 且， 所以，， ，则， ， 因为与的夹角为，则，解得. 【小问3详解】 依题意设、， 且，，， 因为为的中点，则， 因为为中点，同理可得， 所以，， 由题意可知，，， 则， 在中依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理， 设，则，且， 所以，，， ， 为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莆田五中2024－2025学年高一下学期月考一数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知角，向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则＝（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量在正方形网格中的位置，若网格纸上小正方形的边长为1，如图所示．则（ ） A. 12 B. 4 C. 6 D. 3 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 6. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 7. 如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，则（ ） A B. C. D. 8. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分；部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 的最大值为 10. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与最小正周期不相同 D. 与的图象存在相同的对称轴 11. （多选）如图，以为圆心，半径为1的圆始终内切于四边形，且，，则当增大时，下列说法正确的有（ ） A. 单调递减 B. 恒为定值 C. 单调递减 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，，且，则______. 13. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是__________． 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______，的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知． （1）求最小正周期与单调递增区间； （2）已知，角的终边与单位圆交于点，求． 16. 某市一棚户区改造用地平面示意图如图所示.该区域是半径为的圆面，圆面的内接四边形是原棚户区建筑用地，测量可知. （1）求原棚户区建筑用地中对角线的长度； （2）请计算原棚户区建筑用地的面积. 17. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当，方程有解，求实数取值范围； （3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 18. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上点，且满足，线段CG与线段AD交于点． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$