精品解析：重庆市城口中学与渝高中学2024-2025学年高二下学期第一次联合考试数学试题

城口中学与渝高中学高二（下期）第一次联合考试 数学试卷 （时间：120分钟 总分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知函数，为的导函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则“”是“在上单调递增”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若函数在处有最值，则等于（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 6. 已知是定义在上的函数，它的图象上任意一点处的切线方程为，那么函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在处取得极值0，则（ ） A. 24 B. 27 C. 45 D. 27或45 8. 我们熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数的“躺平点”分别为则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列求导过程正确的选项是（　　） A. B. C. （xa）′＝axa﹣1 D. （logax）′＝ 10. 下列命题正确的有（ ） A. 函数的极小值一定比极大值小 B 已知函数，若，则 C. 若函数，则的极大值为1 D. 设函数的导函数为，且，则 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则的最小值为 D. 若方程有两个实根，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数是定义在R上的函数，，且曲线在点处的切线斜率为6，则______________． 13. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是______________． 14. 已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是______________． 四、解答题：（本大题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共77分）．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15 已知函数． （1）求单调区间和极值； （2）求在区间上的最值． 16. （1）若，解不等式． （2）已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，求的单调区间． 17. 已知函数． （1）当时，求在点处切线方程； （2）若，试讨论的单调性． 18. 已知函数在处的切线l和直线垂直． （1）求实数a的值； （2）设，已知在单调递增，求实数m的取值范围． 19. 已知函数. （1）求函数在区间上的最值； （2）讨论方程实根个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 城口中学与渝高中学高二（下期）第一次联合考试 数学试卷 （时间：120分钟 总分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知函数，为导函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出，进而可求得的值. 【详解】，则，因此，. 故选：B. 2. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义即可得解. 【详解】由依题意，知, 则， 故选：A 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数图像，确定函数单调性，进而可判断； 【详解】由导函数图象可知，在上单调递减，在上单调递增， 结合选项，只有A符合； 故选：A 4. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】若在上单调递增，则在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数定义域为，则， 若在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以， 因为， 所以“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 5. 若函数在处有最值，则等于（ ） A 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于函数的定义域为，若在处有最值，则，求导即可得的值. 【详解】因为函数的定义域为，在处有最值，则是函数的极值点， 又因为，则， 经检验，满足极值条件， 故选：B 6. 已知是定义在上的函数，它的图象上任意一点处的切线方程为，那么函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜率的几何意义求出，再利用导数的正负求解单调区间即可. 【详解】因为图象上任意一点处的切线方程为， 所以，则， 令，，则在上单调递减， 即的单调递减区间为，故B正确. 故选：B 7. 已知函数在处取得极值0，则（ ） A. 24 B. 27 C. 45 D. 27或45 【答案】C 【解析】 【分析】根据在处取得极值0，可得，解出验证即可得解. 【详解】根据函数，则， 又在处取得极值0，则， 解得或， 当时，， 函数在上单调递增，无极值点，不符合题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意， 则. 故选：C. 8. 我们熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数的“躺平点”分别为则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中新定义，易解得，利用零点存在定理解得，即可得出结论. 【详解】根据“躺平点”定义可知，因为，所以，解得. 同理，，则，解得. ，则. 令，定义域为，则，所以是增函数. 又因为，所以在有唯一零点，即 综上，. 故选：D. 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列求导过程正确的选项是（　　） A. B. C. （xa）′＝axa﹣1 D. （logax）′＝ 【答案】BCD 【解析】 【分析】 利用导数的计算公式逐一判断即可. 【详解】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，（）′＝（x﹣1）′＝﹣，A错误； 对于B，（）′＝（）′＝＝，B正确； 对于C，（xa）′＝axa﹣1，C正确； 对于D，（logax）′＝（）′＝，D正确； 则B、C、D计算正确. 故选：BCD． 【点睛】本题考查导数的运算，是基础题. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 函数的极小值一定比极大值小 B. 已知函数，若，则 C. 若函数，则的极大值为1 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用极值的性质判断A，利用导数公式求出导数，建立方程，求解判断B，利用导数求出单调区间，再得到极值判断C，将方程两侧同时求导并结合赋值法判断D即可. 【详解】对于A，由极值的性质得极值是研究函数的局部性质， 则函数的极小值不一定比极大值小，故A错误， 对于B，因为，所以， 因为，所以，解得，故B正确， 对于C，因为，所以， 令，则，令，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 则极大值为，故C错误， 对于D，因为，所以， 令，得到，解得，故D正确. 故选：BD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则的最小值为 D. 若方程有两个实根，则 【答案】BD 【解析】 【分析】求导后，结合正负可得单调性；利用零点存在定理可说明零点个数，知A错误；根据极值定义可知B正确；采用数形结合的方式可求得CD正误. 【详解】定义域为，， 当时，；当时，； 在，上单调递减，在上单调递增； 对于A，，，， 在区间和内各存在一个零点； 当时，，，恒成立； 有且仅有两个不同的零点，A错误； 对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确； 对于C，，作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解， 若当时，，则，C错误； 对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点， 作出图象如下图所示， 结合图象可知：，D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数是定义在R上的函数，，且曲线在点处的切线斜率为6，则______________． 【答案】2 【解析】 【分析】对函数求导，应用导数的几何意义有，即可求参数. 【详解】由题设，且. 故答案为： 13. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是______________． 【答案】27 【解析】 【分析】由导数几何意义和切线斜率可求得切点坐标，由此得到，利用配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得结果. 【详解】由得：；当时， ， 直线与曲线相切的切点坐标为， ，又为正实数， , （当且仅当，即，即时取等号）， 的最小值为27. 故答案为：27. 14. 已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，由在内不单调知在内有实数根且无重根，再通过分类讨论结合二次方程根的分布求得实数的范围. 详解】由，得， 因为在内不单调，所以在内有实数根且无重根. 若在内有且只有一个实数根，的图象如图， 则， 即，显然不等式无解； 若在内有两个不相等的实数根，的图象如图， 则，即，解得. 综上，实数的取值范围是 故答案为：． 四、解答题：（本大题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共77分）．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间和极值； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）单调递减区间为,函数单调递增区间为．极小值为,无极大值； （2）最小值为,最大值为2． 【解析】 【分析】（1）求导,得到,令得,或（舍去）,将定义域分成几段考虑导数正负,得出单调区间,由单调性,得到函数的极值. （2）与（1）方法相同(只是定义域发生改变),求出极值后再与端点值比较即可得到最值. 【小问1详解】 函数的定义域为, ． 令得,或（舍去）, 当时,,函数单调递减； 当时,,函数单调递增, 所以函数单调递减区间为,函数单调递增区间为． 函数的极小值为,无极大值． 【小问2详解】 由（1）知,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增, 所以,,, 又因为,所以函数在区间的最小值为,最大值为2． 16. （1）若，解不等式． （2）已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，求的单调区间． 【答案】（1）；（2）的单调递减区间是，的单调递增区间是． 【解析】 【分析】（1）利用导数求出的单调性，判断的奇偶性，利用奇偶性、单调性解不等式即可. （2）利用函数的图象分别确定在，及上的符号，进而得到的单调性. 【详解】（1）由，得， 所以在上单调递增， 又， 所以为奇函数， ，即， 所以，解得. 所以不等式解集为. （2）根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 当时，，可得，仅在时等号成立； 所以时，，此时单调递减， 当时，，仅在时等号成立，此时单调递增， 因此的单调递减区间是，的单调递增区间是． 17. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若，试讨论的单调性． 【答案】（1） （2）当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【解析】 【分析】（1）根据在点处的切线方程为即可求解； （2）由题意有，根据的范围分类讨论即可. 【小问1详解】 当时，， ， ，，所以切点为， 切线方程即． 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 18. 已知函数在处的切线l和直线垂直． （1）求实数a的值； （2）设，已知在单调递增，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出函数的导数，因为切线l和直线垂直，由导数几何意义可得，解出的值，即可得到答案. （2）将问题转化为在上恒成立，设，则，根据单调性求出最小值，即为m的取值范围． 【小问1详解】 由函数，可得，可得 因为函数在处的切线l和直线垂直，所以 即，解得 【小问2详解】 因为在单调递增 从而有，即在上恒成立 设，则 因为 令，即，解得， 令，即，解得， 所以在单调递减，在单调递增 又因为，故在上最小值 所以实数m的取值范围是. 19. 已知函数. （1）求函数在区间上的最值； （2）讨论方程实根个数. 【答案】（1）最小值为，最大值为 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，再分析函数的单调性，再求函数的最值； (2)构造函数，再根据导函数求出单调性、最值，结合图像，即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域是， 令 则 在上单调递增. 又时，， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 故函数在上单调递减，在上单调递增， 又 且显然 函数在区间上的最小值为，最大值为 【小问2详解】 即为，得， 即，令,易知在上单调递增，故， 构造函数， 则 故在上单调递减，在上单调递增. . ①当时，恒成立，方程没有实根； ②当时，当时，；当时，恒成立；方程有1个实根； ③当时，， 先证：时，， 令，即 时，， 当时， 即在上分别有一个零点，而在上单调递递减，在上单调递递增，所以在上分别有一个零点， 因此方程有2个实根. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $