精品解析：四川省南充市高坪中学2023-2024学年高三上学期12月检测数学（理）试题

南充市高坪中学高三12月月考 数学试卷（理） 一、单选题（每小题5分，共60分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 或4 B. C. D. 4 3. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，.则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 若，，则“”是“”的（  ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则＝（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列的前项和为，则（ ） A. 18 B. 54 C. 128 D. 192 8. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，点M为曲线上一点，点M在y轴上的射影为N，则的最小值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 10. 在中，，，所对的边分别是，，，，，且满足，则该三角形的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 有限数列中，为的前项和，若把称为数列的“优化和”，现有一个共2019项的数列：，若其“优化和”为2020，则有2020项的数列：的优化和为（ ） A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022 12. 已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 已知满足，则的最大值是____________. 14. 已知向量的夹角为，则__________. 15. 已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是__________. 16. 已知定义在R上的函数满足，对任意的，当时，都有恒成立，且，则关于的不等式的解集为_____________. 三、解答题（共70分） 17. 记递增的等差数列的前项和为，已知，且. （1）求和； （2）设.求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）若的图象上一个最高点到相邻最低点的距离为，求的单调递增区间； （2）若，且在区间上单调，求的值. 19. 已知数列满足且，数列满足且，． （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，对于实数，存在正整数，使得成立，求的最小值． 20. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角； （2）若，角的平分线为，D在边上，且，求的面积． 21. 设． （1）求曲线在点的切线方程． （2）设点在曲线上，点在直线上，求的最小值； （3）若正实数、满足：对于任意，都有，求的最大值． 选做题（2选1，共10分） 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为． （1）求曲线的普通方程； （2）直线与曲线交于两点，，求的值． 23. 已知函数． （1）解不等式； （2）记函数的最小值为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充市高坪中学高三12月月考 数学试卷（理） 一、单选题（每小题5分，共60分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义求解即得. 【详解】依题意，，解不等式，得，即， 所以. 故选：C 2. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 或4 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由平行向量的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，且， 所以，解得，或. 故选：A. 3. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断BC选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，不妨取，，，，则，B错； 对于C选项，取，则，C错； 对于D选项，由题意可知，，由不等式的基本性质可得，D对. 故选：D. 4. 已知，，.则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数的运算性质得出即可. 【详解】由，所以， 故选：B 5. 若，，则“”是“”的（  ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】借助充分条件与必要条件的定义，结合基本不等式或举反例的方式计算即可得. 【详解】由已知，当时，， ， 当且仅当时，等号成立， 故“”是“”的充分条件； 当时，，此时， 故“”不是“”的必要条件； 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据任意角的三角函数求出，再求出的值，最后根据两角和的正切公式即可求出所需的值. 【详解】由任意角的三角函数公式可知，解得， 所以，所以， 故选：C 7. 已知等比数列的前项和为，则（ ） A. 18 B. 54 C. 128 D. 192 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的定义结合求和定义，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，则，解得． ． 故选：D. 8. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，结合赋值法和排除法，即可求解. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以为奇函数，排除D． 因为， 所以当时，，当时，，排除A，B， 故选：C． 9. 已知，点M为曲线上一点，点M在y轴上的射影为N，则的最小值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】因为点M为曲线上一点，所以设，因此， ， 设， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，函数有最小值， 即的最小值为. 故选：A 10. 在中，，，所对的边分别是，，，，，且满足，则该三角形的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的定义求得，然后由正弦定理和余弦定理解得，再由正弦定理求出外接圆半径，代入圆的面积公式求解即可. 【详解】， ，即， 又，由正弦定理可知， ，即， 由余弦定理及，得，解得， 由得， . 故选：D. 11. 有限数列中，为的前项和，若把称为数列的“优化和”，现有一个共2019项的数列：，若其“优化和”为2020，则有2020项的数列：的优化和为（ ） A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据定义得出，然后根据，，，，再由定义求出新数列的优化和． 【详解】由，得， 其中，，，， ∴所求的优化和为： . 故选：B． 12. 已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构建，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式. 【详解】令，则， 因为，则，且， 可知，且仅当时，则在上单调递减， 又因为为偶函数，， 可得 令，可得， 注意到， 不等式，等价于， 可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：构建函数，利用单调性解不等式，利用诱导公式可得，等价于，即可得结果. 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 已知满足，则的最大值是____________. 【答案】 【解析】 【分析】画出可行域及目标函数，由几何意义求出的最大值. 【详解】画出可行域（阴影部分）与目标函数， 由于与的斜率相等， 由于，其中为直线与轴交点的纵坐标， 故当经过线段上的点时，取得最大值， 不妨将代入，. 故答案为：6 14. 已知向量的夹角为，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】用向量的模长和夹角计算即可. 【详解】由，得. 由，得， 整理，得， 解得或（舍去）. 故答案为：. 15. 已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由解析式画出函数草图，将问题化为与有三个交点，数形结合求参数范围. 【详解】由函数解析式可得图象如下， 要使函数有3个零点，即与有三个交点， 由图知：或，即. 故答案为： 16. 已知定义在R上的函数满足，对任意的，当时，都有恒成立，且，则关于的不等式的解集为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数为奇函数，则为偶函数，又已知得函数在上单调递增，可得函数在在上单调递减，又，可得不等式与的解集，进而得到解集. 【详解】因为定义在R上的函数满足，所以函数为奇函数， 令，，则为偶函数， 又，则， 因为对任意的，当时，都有恒成立， 所以当时，为增函数，则当时，为减函数， 所以当或时，；当或时，； 因此当时，；当时，，即不等式的解集为. 故答案为： 三、解答题（共70分） 17. 记递增的等差数列的前项和为，已知，且. （1）求和； （2）设.求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和； （2）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设的公差为，因为，所以， 又，所以，解得， 所以， ． 【小问2详解】 ， 所以 ． 18. 已知函数. （1）若的图象上一个最高点到相邻最低点的距离为，求的单调递增区间； （2）若，且在区间上单调，求的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）先根据图象上一个最高点到相邻最低点的距离为求出周期，进而求出，最后根据函数解析式求出单调递增区间即可； （2）由得到对称中心，再得到的表达式，根据在区间上单调求出的取值范围，最终得到的值，最后代入求值即可. 【小问1详解】 设的最小正周期为，由已知得， 解得，所以，所以， 由，解得， 故的单调递增区间是. 【小问2详解】 由，知函数的图象关于点对称， 所以，得. 当时，， 又在区间上单调，所以，解得， 当时，，满足条件，所以， 则 19. 已知数列满足且，数列满足且，． （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，对于实数，存在正整数，使得成立，求的最小值． 【答案】（1）， （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据等差、等比数列的定义和通项公式求通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法运算求解； （3）根据数列单调性的定义求的最小项，结合恒成立问题分析求解. 【小问1详解】 因为，所以，且， 可知数列是首项为2，公比为的等比数列 所以，即； 因为数列满足，所以数列为等差数列， 由于，， 可得公差，所以. 【小问2详解】 由题意可知， 于是， 则， 两式错位相减得到 ， 因此. 【小问3详解】 由（2）可知，， 因此是单调递增数列，于是， 因此，则实数的最小值为2. 20. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角； （2）若，角的平分线为，D在边上，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用正弦定理化边为角即可 （2）用三角形面积公式即可求解 【详解】解：（1）因为， 所以， 整理得， 即． 又，所以，因为，所以． （2）因为为角的平分线，所以． 由， 得， 即，解得． 所以． 21. 设． （1）求曲线在点的切线方程． （2）设点在曲线上，点在直线上，求的最小值； （3）若正实数、满足：对于任意，都有，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求出所求的切线方程； （2）当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离取最小值，利用导数的几何意义求出点的坐标，结合点到直线的距离公式可求出的最小值； （3）令，则，可得出，由此可得出，利用导数求出函数的最大值，即可得出的最大值. 【小问1详解】 因为，则，所以，， 所以，曲线在点的切线方程为，即. 【小问2详解】 根据题意，将直线往靠近曲线的方向平移， 当平移到直线与曲线相切时，切点与直线间的距离最近， 设切线方程为， 由（1）可知，当切线斜率为时，切点坐标为，此时切线方程为， 此时，从点向直线作垂线，垂足为，此时取最小值， 即，所以的最小值为. 【小问3详解】 若对于任意，都有，即可得恒成立， 令，则， 因为且，令，解得， 所以当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 所以在处取得最小值， 即满足即可，即， 由可得， 设，则， 令可得， 即时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，即，所以的最大值为. 【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法： （1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值； （2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值； （3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到. 选做题（2选1，共10分） 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为． （1）求曲线的普通方程； （2）直线与曲线交于两点，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合同角三角函数的平方关系，将曲线的参数方程消去参数，即可得曲线的普通方程； （2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，继而可得直线的参数方程，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，结合参数的几何意义即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知曲线的参数方程为（为参数）， 故， 即曲线的普通方程为； 【小问2详解】 直线的极坐标方程为，即， 即，则直线的直角坐标方程为， 显然点在直线l上，则l的参数方程为（t为参数）， 将（t为参数）代入到中， 得，显然有， 设对应的参数为，则，则异号， 故. 23. 已知函数． （1）解不等式； （2）记函数的最小值为，求证：． 【答案】（1） （2）证明：， 当时等号成立，，故， . 当且仅当，即，时等号成立. 【解析】 【分析】（1）考虑，，三种情况，解不等式得到答案. （2）计算函数的最小值为，变换，展开利用均值不等式计算得到证明. 【小问1详解】 当时，，解得，故； 当时，，解得，故； 当时，，解得，无解； 综上所述：，即 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $