精品解析：广东省茂名市电白区2024-2025学年上学期期末质量监测九年级数学试卷

2024～2025学年度第一学期期末质量监测 九年级数学 （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图是一个正五棱柱，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，球在灯泡的照射下形成了影子，当球竖直向下运动时，球的影子的大小变化是（　　） A. 越来越小 B. 越来越大 C. 大小不变 D. 不能确定 3. 关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为，则另一个解x2为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. ﹣2 D. 2 4. 如图，点在双曲线上，轴于，且的面积，则的值为（ ） A 2 B. 4 C. D. 5. 如图，某河堤横断面迎水坡的坡度为，则坡角（ ） A. B. C. D. 6. 如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是4，则四边形面积是（ ） A. 6 B. 9 C. 16 D. 18 7. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么值为（ ） A B. C. D. 8. 已知如图，菱形中，对角线与相交于点O，于E，交于点F，若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 9. 函数和（）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是平行四边形，点B在x轴上，的延长线与y轴交于点D，反比例函数的图象经过点，且与边交于点E．若，且，则点E的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么的取值范围是_______． 12. 在中，，则的度数为___________ 13. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是________． 14. 如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，，是的高．，，那么的长为__________． 15. 如图，正方形纸片的边长为10，E是边上一点，连接，折叠该纸片，使点A落在上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕，点F在上．若，则的长为__________． 三、解答题一：本大题共3小题，其中第16题10分，第17题8分，第18题8分，共26分． 16. 计算： （1）（公式法） （2） 17. 甲口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数值，2，5，乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值，2，3．现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为x，再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为y．设点A的坐标为． （1）请用树状图或列表法表示点A的坐标的各种可能情况． （2）求点A落在反比例函数图象上的概率． 18. 如图，四边形 中， ， ， ， E为的中点， 连接、． （1）求证： （2）求 的值 四、解答题二：本大题共3小题，其中第19题8分，第20题9分，第21题9分，共26分． 19. 某校课外活动小组来到太原古县城进行参观研学，对位于古县城“十字街”旗亭高度进行了实地测量．项目操作过程如下：如图，测试小组利用测角仪从点D处观测旗亭顶端A点的仰角为．在测角仪和旗亭之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到旗亭顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米，已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上，求旗亭的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 20. 关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根x1，x2满足x12+2x2＝m2，求m的值． 21. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为4，，求的长． 五、解答题三：本大题共2小题，其中第22题11分，第23题12分，共23分． 22. 综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）求的面积； （3）在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 23. 综合与实践 问题情境：正方形，点E是射线上的一个动点，连接并将绕点C顺时针旋转得到线段，连接交于点G． （1）如图1，当点E在边上时，判断和的数量关系并证明； 问题解决： （2）如图2，当点E在延长线上时，判断和之间的数量关系并证明； （3）如图3、若正方形的边长为4，点E在边上且，交于点H，直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度第一学期期末质量监测 九年级数学 （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图是一个正五棱柱，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示． 【详解】解：从上面看可得到一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，实线的两旁分别有一条纵向的虚线． 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 2. 如图，球在灯泡的照射下形成了影子，当球竖直向下运动时，球的影子的大小变化是（　　） A. 越来越小 B. 越来越大 C. 大小不变 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心投影的性质求解． 【详解】解：根据中心投影的性质，当球竖直向下运动时，球的影子会越来越小， 故选：A． 【点睛】本题考查了中心投影，掌握中心投影的性质是解题的关键． 3. 关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个解为，则另一个解x2为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. ﹣2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系来求方程的另一个根． 【详解】∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+px﹣2＝0的两个根， ∴由韦达定理，得， ∵ ∴ 即方程的另一个解是-1． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，了解两根乘积为是解答本题的关键． 4. 如图，点在双曲线上，轴于，且的面积，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数中的几何意义并灵活运用． 根据反比例函数的几何意义，先求出的值，再结合函数图象所在象限确定的正负． 【详解】， ， ∵函数在二，四象限， 故选：D． 5. 如图，某河堤横断面迎水坡的坡度为，则坡角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据坡度的定义结合特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】根据题意可知， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查坡度的定义和特殊角的三角函数值．理解坡度的定义是解题关键． 6. 如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是4，则四边形面积是（ ） A. 6 B. 9 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质．根据位似图形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形是位似图形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形的面积是4， ∴四边形面积是9． 故选：B 7. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一个角的余弦值，勾股定理，构造出直角三角形是解题的关键． 过点A作于点H，则，由勾股定理求出，再由余弦的定义即可求解． 【详解】解：过点A作于点H，则， ∴由勾股定理得，， ∴， 故选：B． 8. 已知如图，菱形中，对角线与相交于点O，于E，交于点F，若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出，进而利用互余解答. 【详解】∵四边形是菱形, ， ， ， ， ， ， ， 故选: C. 9. 函数和（）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：对于（），当时，，观察图象可排除B和D； 当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过二、三、四象限； 观察A、C选项，选项C符合题意， 故选：C． 10. 如图，四边形是平行四边形，点B在x轴上，的延长线与y轴交于点D，反比例函数的图象经过点，且与边交于点E．若，且，则点E的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，再根据四边形是平行四边形求得，然后根据可得，即；进一步得到反比例函数为、直线解析式为，再将代入求得满足题意的x，然后将代入即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∴反比例函数为， 设直线解析式为， 把，代入可得： ，解得：， ∴直线解析式为， 将代入可得：，解得：， ∵点E在第一象限， ∴， 把代入， 解得：， 则点E的纵坐标为∶ 故选∶A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合、平行四边形的性质等知识点，正确求得反比例函数和直线解析式是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线所在的象限，得到，求解即可．掌握反比例函数的图象是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：； ∴； 故答案为：． 12. 在中，，则的度数为___________ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，平方数的非负性，锐角三角函数值的计算，三角形内角和定理，根据非负性可得，求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握特殊角的三角函数值的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 13. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质． 先求得m的值，然后观察函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可得，解得 ∴， 观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 14. 如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，，是的高．，，那么的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及矩形的性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．交于点，如图，设，则，先证明四边形为矩形得到，则，再证明，根据相似三角形的性质得到，即，然后求出，从而得到的长． 【详解】解：交于点，如图，设，则， 四边形为矩形， ，， 是的高， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ，即， 解得， ． 故答案为：． 15. 如图，正方形纸片的边长为10，E是边上一点，连接，折叠该纸片，使点A落在上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕，点F在上．若，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，，由余角的性质可得，由锐角三角函数可求，，即可求解，求的长是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交点为， 四边形是正方形， ，， ， 折叠该纸片，使点落在上的点， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题一：本大题共3小题，其中第16题10分，第17题8分，第18题8分，共26分． 16. 计算： （1）（公式法） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程、实数的混合运算等知识，熟练掌握公式法和特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可； （2）代入特殊角的三角函数值，计算零指数幂、计算负整数指数幂，再进行运算即可． 【小问1详解】 解：， ∵， 代入求根公式，得，， 故原方程的解为，． 【小问2详解】 解：原式． 17. 甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值，2，5，乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值，2，3．现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为x，再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为y．设点A的坐标为． （1）请用树状图或列表法表示点A的坐标的各种可能情况． （2）求点A落在反比例函数图象上的概率． 【答案】（1）列表见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果； （2）由（1）可求得，在函数上，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：列表如下： ∴总共有9种等可能的结果； 【小问2详解】 ∵，函数上， ∴点A落在的概率为． 【点睛】本题题考查了列表法或树状图法求概率和反比例函数图像上点的特征．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 18. 如图，四边形 中， ， ， ， E为的中点， 连接、． （1）求证： （2）求 的值 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形与正切．熟练掌握相似三角形的判断和性质，勾股定理解直角 三角形，正切定义，是解决问题的关键． （1）根据中点性质得到，根据，得到，根据，即得； （2）根据相似三角形性质，得到，得到，得到，根据勾股定理得到，，即得． 【小问1详解】 ∵， E为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 四、解答题二：本大题共3小题，其中第19题8分，第20题9分，第21题9分，共26分． 19. 某校课外活动小组来到太原古县城进行参观研学，对位于古县城“十字街”的旗亭高度进行了实地测量．项目操作过程如下：如图，测试小组利用测角仪从点D处观测旗亭顶端A点的仰角为．在测角仪和旗亭之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到旗亭顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米，已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上，求旗亭的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 【答案】米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点D作于点F，根据题意可知，，得到，设米，米，则米，米，在中， ，即，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点F，如图： 根据题意可知，， 在中，， ∴， 设米，米，则米，米， 在中， ， 即， 解得：米， ∴米． 20. 关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根x1，x2满足x12+2x2＝m2，求m的值． 【答案】（1）m＞1；（2）m＝2． 【解析】 【分析】（1）若方程有两个不相等的实数根，则根的判别式∆=b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围； （2）根据题意x12-2x1-m+2=0，即可得到x12=2x1+m-2，代入x12+2x2＝m2，可得2x1+2x2+m﹣2＝m2，根据根与系数的关系得到x1+x2=2，代入2x1+2x2+m﹣2＝m2，得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x1，x2， ∴∆＝(﹣2)2﹣4(﹣m+2)＝4m﹣4＞0， ∴m＞1； （2）∵x1+x2＝2，x12﹣2x1﹣m+2＝0， x12＝2x1+m﹣2， ∴x12+2x2＝2x1+2x2+m﹣2＝m2，即2×2+m﹣2＝m2， 解得：m＝﹣1或m=2， ∵m＞1， ∴m＝2． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． 21. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的边长为4，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质得到，先判断四边形为平行四边形，再判断矩形； （2）分别求出和，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：四边形为矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了菱形的性质和矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等，解题关键是牢记它们的概念与性质． 五、解答题三：本大题共2小题，其中第22题11分，第23题12分，共23分． 22. 综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）存在，、、或 【解析】 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． （1）先把点的坐标代入反比例函数，求得的值，把的坐标为，的坐标为代入，即可得到结论； （2）利用一次函数的解析式求得点的坐标，利用即可求解； （3）存在，在轴和轴上分两种情况：①若时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若时，如图所示，过点作轴，垂足为点，即可求解． 小问1详解】 解：点的坐标为在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点的坐标为也在上， ， 的坐标为，的坐标为都在一次函数的图象上， 代入可得： ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：直线与轴交于点， 当时，可得，解得 ， ， 坐标为，的坐标为， ； 【小问3详解】 解：①若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为； ②当时，如图， 设点， ，， 是直角三角形， ， 即， 解得， 点的坐标为． ③当时，如图， 当点在轴上时，设点， ，， 是直角三角形， ， ， 解得， 点的坐标为． ④若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为． 综上可得点的坐标为、、或． 23. 综合与实践 问题情境：正方形，点E是射线上的一个动点，连接并将绕点C顺时针旋转得到线段，连接交于点G． （1）如图1，当点E在边上时，判断和的数量关系并证明； 问题解决： （2）如图2，当点E在延长线上时，判断和之间的数量关系并证明； （3）如图3、若正方形的边长为4，点E在边上且，交于点H，直接写出线段的长度． 【答案】（1），见解析 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据旋转可得，，证明，得出，再证明，即可证明； （2）过点作交延长线于点，根据旋转可得，，证明，得出．再证明．得出，即可证明． （3）过点作交延长线于点M，过作于点N，交于点P，由旋转可知，证明，得出，，，根据勾股定理得出，证明，得出，结合，得出，证明，得出，即可求解 【小问1详解】 解：， 理由：过点作于点， ∵旋转， ∴， 在正方形中， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 理由：过点作交延长线于点， ∵旋转， ， 在正方形中， ∴． ∵， ， ∴． ∵， ， ∵， ∴． ∴， ， ∴． 【小问3详解】 解：过点作交延长线于点M，过作于点N，交于点P， 则四边形是矩形， 由旋转可知， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ∵四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，证明三角形相似是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$