精品解析：广东省梅州市五华县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024－2025学年第一学期八年级期末学习能力检测题 数学 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填上自己的学校、班级、姓名、座号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案，答案不能写在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时只交回答题卡． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各式中，正确的是(　 　) A. ＝±3 B. ＝－3 C. ＝3 D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：本题考查二次根式的化简. 解析：A选项 ，故A错误；B选项-9在根号里没有意义，故B错误；C选项 ，故C错误；D选项，故D正确. 故选D. 2. 甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为：，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙一样 D. 无法判定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义，熟练掌握一组数据的方差越大，数据越不稳定是解题的关键．根据方差的意义求解即可． 【详解】解：∵甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为：，， ∴， ∴成绩最稳定的是甲， 故选：A． 3. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，同类二次根式的定义等知识点，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．，能与合并，不符合题意； B．，不能与合并，符合题意； C．，能与合并，不符合题意； D．，能与合并，不符合题意； 故选：B． 4. 小明同学进行坐标关于对称轴对称的探索，先在平面直角坐标系中任取一点，点M关于x轴的对称点为N，点N关于y轴的对称点为G，则G点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据关于x轴对称的点的规律，关于y轴对称的点的规律，可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点，关于x轴的对称点坐标是， 关于y轴对称的点的坐标为， 故选：C． 5. 若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答．本题考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得， 故选：C． 6. 下列条件中，能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A. a＝1.5，b＝2，c＝2.5 B. a：b：c＝5：12：13 C. ∠A+∠B＝∠C D. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和，直角三角形两个锐角互余，逐项分析即可 【详解】A.， ， 故该选项能判断△ABC为直角三角形，符合题意； B. a：b：c＝5：12：13，设， 则， ， 故该选项能判断△ABC为直角三角形，符合题意； C. ∠A+∠B＝∠C，， 故该选项能判断△ABC为直角三角形，符合题意； D. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 设， ， 解得 故该选项不能判断△ABC为直角三角形，不符合题意； 故选ABC 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和是解题的关键． 7. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 如果，那么与是对顶角 B. 三角形的一个外角大于任何一个内角 C. 两直线平行，同旁内角相等 D. 等角的余角相等 【答案】D 【解析】 【分析】利用对顶角的定义、三角形的外角的性质、平行线的性质及余角的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．如果，那么与是对顶角，错误，是假命题，不符合题意； B．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，不符合题意； C．两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意； D．等角的余角相等，正确，是真命题，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大． 8. 如图，小明将一张长为，宽为的长方形纸（）剪去了一角，量得，，则剪去的直角三角形的斜边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直角三角形解答． 【详解】解：延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形， 运用勾股定理得： BC2=（15-3）2+（20-4）2=122+162=400， 所以BC=20． 则剪去的直角三角形的斜边长为20cm． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解答此题要延长AB、DC相交于F，构造直角三角形，用勾股定理进行计算． 9. 如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作轴，轴，垂足分别为，，则四边形的周长是（ ） A. 12 B. C. 10 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 待定系数法求出直线解析式为，设点，得到，继而得到四边形周长． 【详解】解：设一次函数解析式为，由图象可知一次函数图象过，，代入得： ， 解得：， 一次函数的解析式为， 设点， 由解析式可知：， 四边形的周长是， 故选：A． 10. 如图，老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多 ，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多， 依题意，得， 解得：， 故桌子的高度是． 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了在轴上点的纵坐标为0，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， 故答案为：0 12. 小青坐在教室的第4列第3行，用表示，小明坐在教室的第20列第24行应当表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数对和位置的表示，掌握有序数对的意义是解答本题的关键．根据题意可知用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，据此即可解答． 【详解】解：∵小青坐在教室的第4列第3行，用表示， ∴小明坐在教室的第20列第24行应当表示为， 故答案为：． 13. 点、是直线上的两点，则______（填“”或“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比较一次函数值的大小，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键：一次函数的性质主要是指函数的增减性，即随的变化情况，它只和的符号有关，与的符号无关：，随的增大而增大；，随的增大而减小．根据该性质，只要知道两个点的大小结合的符号，就可判断的大小，反之亦然． 根据一次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：， 随的增大而增大， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，现将沿进行翻折，使点刚好落在上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，根据勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，利用邻补角互补可得，设，则，，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长． 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理可得： ， 由折叠的性质可得：，，， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解一元一次方程，利用邻补角互补求角度，线段的和与差等知识点，熟练掌握勾股定理与折叠问题是解题的关键． 15. 如图，直线与交于点，交轴、轴分别于，两点．若，则方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．设点A坐标为，先求得，，根据三角形的面积公式结合已知求得，则，进而求得，即可求解． 【详解】解：设点A坐标为， 对于直线，当时，，则， ∴， 当时，由得，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则， 将代入中，得， 解得， ∴， ∴方程的，解为， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据求出的值，再将的值代入，即可得解．解题的关键是掌握消元的思想和消元的方法（代入消元法与加减消元法）． 【详解】解：，得：， 解得：， 把代入得：， ∴方程组的解为． 17. 如图，中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交、于点F、G． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用“”证明全等即可； （2）根据全等和三角形内角和定理，得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：，，， ， ， ． 18. 如图，已知的三个顶点都是格点，与关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是，，． （1）在图中画出； （2）填空：点的坐标是_________； （3）点D是y轴上一个动点，当最小时，在图中标记此时点D的位置．（保留作图痕迹） 【答案】（1）图见解析 （2） （3）图见解析 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称． （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据图形，直接写出点的坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点． 掌握轴对称的性质，是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 由图可知：点坐标是； 故答案为：； 【小问3详解】 如图，点即为所求． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 【答案】（1）是从村庄C到河边的最近路，说明见解析 （2）原来的路线的长为千米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理的内容是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：是，理由如下： 在中，，，， ，，， ， ， 是从村庄到河边的最近路； 【小问2详解】 解：设，则， ， 中，， ， 解得：， 即的长为千米． 20. 某校组织慈善爱心捐款活动，图①是各年级捐款人数占总捐款人数的百分比，图②是对部分学生捐款金额的随机抽样调查． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在随机抽取的样本中，捐款金额的中位数为 ，众数为 ； （2）求随机抽样调查的学生捐款金额的平均数； （3）已知该校九年级共有200人捐款，请你估计全校捐款的总金额为多少元？ 【答案】（1）， （2）元 （3）元 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图、中位数、众数、平均数与样本估计总体，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题关键． （1）由图2的数据结合中位数、众数的定义即可得出答案； （2）根据加权平均数公式进行计算即可求解； （3）由图1知：九年级捐款人数占总捐款人数的百分比为，从而求出全校捐款人数，用这个捐款人数乘以捐款平均数即可求得答案． 【小问1详解】 解：由图2可知，人数为人 第和第个数分别为，15 ∴捐款金额的中位数为， ∵捐款15元的人数最多， ∴众数为； 故答案为：，． 【小问2详解】 解：由图2可知，捐款金额的平均数为（元） 【小问3详解】 解：由图1知：九年级捐款人数占总捐款人数的百分比为， ∵九年级共有200人捐款 ∴全校人数为人 ∴估计全校捐款的总金额为（元） 21. 某商场计划购进，两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） 30 50 50 75 （1）若商场预计用3400元进货，则这两种服装各购进多少件？ （2）若商场规定种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】（1）种服装件，种服装件 （2）购进种服装件、种服装件时获利最多，此时利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用（最大利润问题），二元一次方程组的应用（销售、利润问题）等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系列出二元一次方程组及一次函数解析式，并利用一次函数的性质求解其最值是解题的关键． （1）设购进种服装件，种服装件，根据题意得，解方程组即可求出、的值； （2）设种服装进货为件，则种服装进货为件，总利润为元，根据“总利润（售价进价）销售数量”即可得出与的函数关系式，由题意即可得出的取值范围，然后根据一次函数的增减性即可求出最大利润． 【小问1详解】 解：设购进种服装件，种服装件， 根据题意得： ， 解得：， 答：购进种服装件，种服装件； 【小问2详解】 解：设种服装进货为件，则种服装进货为件，总利润为元， 由题意得： ， ， 随的增大而减小， 商场规定种服装进货不少于件，购进，两种服装共件， ， 当时，取得最大值，， ， 答：当购进种服装件、种服装件时才能使商场销售完这批货时获利最多，此时利润元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P． 【提出问题】小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 （1）探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． （2）探究二：如图②，的数量关系为 ； 如图③，已知，则 ° （3）利用探究一得到的结论解决下列问题：如图④，射线分别平分和交直线于点E，与内部的一条射线交于点F，若，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2），145； （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出，由此结论来解决问题． 探究一：由平行线的性质推出，得到即可解决问题； 探究二：如图②，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可得到； 如图③，由平行线的性质推出，求出，由三角形外角的性质得到； 如图④，由探究一的结论得到而，推出又，得到． 【小问1详解】 解： ，理由如下： 如图①，       ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图②， ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 如图③，延长交于L， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 ∵射线分别平分和， ∴， 如图④， 由探究一结论得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 23. 如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作直线交于点，交轴于点，且． （1）点的坐标为 ，线段的长为 ； （2）求直线的表达式及点的坐标； （3）如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），，交于点，连结． ①在点移动过程中，线段与满足怎样的数量关系？并证明； ②求点移动过程中面积的最大值． 【答案】（1），3 （2）， （3）①，证明见解析；② 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合，涉及求一次函数解析式，全等三角形，勾股定理等知识点； （1）由，，可得，把代入得，故直线为，可得； （2）由全等求出，再用待定系数法可得直线解析式，再联立求交点E； （3）①证明可得； ②连接，由，得到，通过面积组合得到，即，当最小时，最大，当时最小，此时利用，求出，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴， 把代入得： ， 解得， ∴直线为， 令得， ∴； 故答案为：，3； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴ 设直线解析式为，把，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为； 联立，解得， ∴； 【小问3详解】 解：①，证明如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最大， 当时最小，此时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第一学期八年级期末学习能力检测题 数学 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填上自己的学校、班级、姓名、座号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案，答案不能写在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时只交回答题卡． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各式中，正确的是(　 　) A. ＝±3 B. ＝－3 C. ＝3 D. 2. 甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为：，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙一样 D. 无法判定 3. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 小明同学进行坐标关于对称轴对称的探索，先在平面直角坐标系中任取一点，点M关于x轴的对称点为N，点N关于y轴的对称点为G，则G点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 下列条件中，能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A. a＝1.5，b＝2，c＝2.5 B. a：b：c＝5：12：13 C. ∠A+∠B＝∠C D. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 7. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 如果，那么与是对顶角 B. 三角形的一个外角大于任何一个内角 C. 两直线平行，同旁内角相等 D. 等角的余角相等 8. 如图，小明将一张长为，宽为的长方形纸（）剪去了一角，量得，，则剪去的直角三角形的斜边长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作轴，轴，垂足分别为，，则四边形的周长是（ ） A. 12 B. C. 10 D. 6 10. 如图，老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为______． 12. 小青坐在教室的第4列第3行，用表示，小明坐在教室的第20列第24行应当表示为______． 13. 点、是直线上的两点，则______（填“”或“”或“”） 14. 如图，在中，，，，现将沿进行翻折，使点刚好落在上，则______． 15. 如图，直线与交于点，交轴、轴分别于，两点．若，则方程组的解为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16 解方程组： 17. 如图，中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交、于点F、G． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 18. 如图，已知的三个顶点都是格点，与关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是，，． （1）在图中画出； （2）填空：点的坐标是_________； （3）点D是y轴上一个动点，当最小时，在图中标记此时点D的位置．（保留作图痕迹） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 20. 某校组织慈善爱心捐款活动，图①是各年级捐款人数占总捐款人数的百分比，图②是对部分学生捐款金额的随机抽样调查． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在随机抽取的样本中，捐款金额的中位数为 ，众数为 ； （2）求随机抽样调查学生捐款金额的平均数； （3）已知该校九年级共有200人捐款，请你估计全校捐款的总金额为多少元？ 21. 某商场计划购进，两种服装共100件，这两种服装进价、售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） 30 50 50 75 （1）若商场预计用3400元进货，则这两种服装各购进多少件？ （2）若商场规定种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P． 【提出问题】小明提出：和三个角之间存在着怎样数量关系？ 【分析问题】已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 （1）探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． （2）探究二：如图②，的数量关系为 ； 如图③，已知，则 ° （3）利用探究一得到的结论解决下列问题：如图④，射线分别平分和交直线于点E，与内部的一条射线交于点F，若，求的度数． 23. 如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作直线交于点，交轴于点，且． （1）点的坐标为 ，线段的长为 ； （2）求直线的表达式及点的坐标； （3）如图（2），点线段上一动点（不与点，重合），，交于点，连结． ①在点移动过程中，线段与满足怎样的数量关系？并证明； ②求点移动过程中面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $