精品解析：湖南省湘潭市岳塘区2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题

2024年下学期期末质量监测试卷 七年级数学 （时量：120分钟 总分：120分） 一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 微信钱包收入50元时在微信账单中显示为，那么支出30元将显示为（ ） A. B. C. D. 3. 与是同类项的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法依据的几何知识应是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 射线只有一个端点 D. 两直线相交只有一个交点 6. 文化情境·大运河京杭大运河，延用隋唐大运河，改道并裁弯取直，是世界上里程最长、工程最大的古代运河，也是最古老的运河之一，是中国古代劳动人民创造的一项伟大工程，是中国文化地位的象征之一．它南起余杭（今杭州），北到涿郡（今北京），全长约．将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 7. 将方程去分母，下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若多项式的值与的值无关，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知线段，点为线段的中点，点是直线上的一点，且，则线段的长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 有一数值转换器，原理如图，若开始输入的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，…，请你探索第2025次输出的结果是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 二、填空题：（本题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 计算：________． 12. 已知方程，用含的代数式表示，则________． 13. 如图是一个正方体的表面展开图，若该正方体相对面上的两个数互为相反数，则的值为________． 14. 若，则的余角的度数为________． 15. 如图，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，此时是的角平分线，则________． 16. 程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，问大、小和尚各有多少人？设大和尚人，小和尚人，根据题意可列方程组为______． 17. 已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为________． 18. 如图，直线、相交于点P，在这平面内，如果再画一条直线，那么它们的交点个数共有为______． 三、解答题：（本题共8小题，共66分．） 19. 计算： 20. 已知，如图，点A，，在同一条直线上，平分，． （1）求证：是的平分线，将下列证明过程补充完整（其中括号里填写推理依据） 证明：∵， ∴____________，， 又∵平分， ∴__________．（________________） ∴__________．（________________） ∴是的平分线． （2）图中的补角是____________． 21. 如图，正方形的边长为a． （1）根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； （2）当，时，求阴影部分的面积． 22. 若关于，的方程组和有相同的解． （1）求这个相同的解； （2）求的值 23. 阅读下列材料．让我们规定一种运算，如，再如． 按照这种运算规定，请解答下列问题． （1）计算：________；________； （2）当时，求的值（要求写出计算过程）． 24. 如图，已知线段，延长至，使得． （1）求的长； （2）若是的中点，是的中点，求的长． 25. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 26. 【新知理解】如图，点，在数轴上分别表示有理数，，且，满足．如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“巧点”． （1）________；________． （2）①线段的中点________这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； ②点是线段的巧点，则最长为________； 【解决问题】 （3）如图②，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期期末质量监测试卷 七年级数学 （时量：120分钟 总分：120分） 一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数大小比较，熟练掌握正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．根据比较有理数大小法则比较即可得出答案． 【详解】解：， ∴这几个数，最小， 故选：A． 2. 微信钱包收入50元时在微信账单中显示为，那么支出30元将显示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，根据用正负号表示相反的意义判断即可．掌握据用正负号表示相反的意义是解题的关键． 【详解】解：收入50元时显示， 支出30元将显示为． 故选：D． 3. 与是同类项的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、所含字母不相同，不是同类项； B、符合同类项的定义，是同类项； C、相同字母的指数不相同，不是同类项； D、所含字母不相同，不是同类项． 故选：B． 4. 下列等式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．根据等式的基本性质判断即可． 【详解】解：A．若，则，故A不符合题意； B．若，则，故B不符合题意； C．若，则，故C符合题意； D．若，且，则，故D不符合题意； 故选：C 5. 为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法依据的几何知识应是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 射线只有一个端点 D. 两直线相交只有一个交点 【答案】A 【解析】 【分析】先让两个同学站好，实质是确定两定点，而由两点即可确定一条直线． 【详解】解：由题意可知：两点确定一条直线， 故选：A． 【点睛】本题考查了直线的性质，解题的关键是正确掌握直线的性质． 6. 文化情境·大运河京杭大运河，延用隋唐大运河，改道并裁弯取直，是世界上里程最长、工程最大的古代运河，也是最古老的运河之一，是中国古代劳动人民创造的一项伟大工程，是中国文化地位的象征之一．它南起余杭（今杭州），北到涿郡（今北京），全长约．将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握表示方法是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可． 【详解】解：．   故选： D． 7. 将方程去分母，下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程（去分母），根据等式性质2去分母即可． 【详解】解：， 去分母，得． 故选：C． 8. 若多项式的值与的值无关，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算法则． 化简式子，根据多项式的值与的值无关，可得，进而求解即可； 【详解】解： ， 此式的值与的值无关， ， 故； 故选：D 9. 已知线段，点为线段的中点，点是直线上的一点，且，则线段的长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】解：本题考查了线段的中点的定义，线段的和差，分类讨论是解题的关键． 根据线段的中点定义，线段的和差计算即可． 【详解】∵点为线段的中点， ∴当点在的延长线上时， ， 当点在线段的延长线上时， ， ∴线段的长是或． 故选：D． 10. 有一数值转换器，原理如图，若开始输入的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，…，请你探索第2025次输出的结果是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题意得出从第二次开始，每3次一循环，结合即可得解．正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：若开始输入的值是5，可发现 第一次输出的结果是， 第二次输出的结果是， 第三次输出的结果是， 第四次输出的结果是， 第五次输出的结果是， 第六次输出的结果是， 第七次输出的结果是， ， 故从第二次开始，每3次一循环， ， 第2025次输出的结果是2， 故选：C． 二、填空题：（本题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 计算：________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，绝对值的含义，先计算绝对值，乘除运算，最后计算加减运算即可． 【详解】解：； 故答案为： 12. 已知方程，用含的代数式表示，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代入消元法．将x看成已知数，变形即可． 【详解】解：移项，整理得： ， 故答案为：． 13. 如图是一个正方体的表面展开图，若该正方体相对面上的两个数互为相反数，则的值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查正方体的展开图，代数式求值，利用空间想象能力得出相对面的对应关系，从而求出a、b、c的值，再代值计算即可求出结果． 【详解】解：∵该正方体相对面上的两个数互为相反数， ∴，，， ∴． 故答案为：0． 14. 若，则的余角的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个角的余角，解题的关键是熟练掌握互为余的两个角和为． 根据互余的定义即可求解． 【详解】解：由题意得的余角为：， 故答案为：． 15. 如图，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，此时是的角平分线，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了余角的概念，角平分线的定义，利用，再根据角平分线得到，再根据与互余即可解答，注意掌握平角中套直角这种模型，理清各角之间的关系． 【详解】解：， ， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 16. 程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，问大、小和尚各有多少人？设大和尚人，小和尚人，根据题意可列方程组为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程即可． 【详解】解：设大和尚人，小和尚人， 共有大小和尚100人， ； 大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完100个馒头， ． 联立两方程成方程组得． 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解决此类问题的关键就是认真对题，从题目中提取出等量关系，根据等量关系设未知数列方程组. 17. 已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，设，再根据题目中关于的一元一次方程的解确定出的值即可，正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关键． 【详解】解：设，则关于的方程化为：， 根据题意可得关于的一元一次方程的解为， ， 故答案为：． 18. 如图，直线、相交于点P，在这平面内，如果再画一条直线，那么它们的交点个数共有为______． 【答案】1个或2个或3个 【解析】 【分析】在同一平面内，两条直线平行，第三条直线与它相交，有2个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点． 【详解】当平行于或时，交点的个数为2个； 当与和都不平行，交于P点时，交点的个数为1个；不交于同一点时，交点的个数为3个． 故答案为：1个或2个或3个． 【点睛】本题考查了直线的交点个数问题，分类讨论是解题的关键． 三、解答题：（本题共8小题，共66分．） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先算乘方和绝对值，再算乘法，最后加减即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ． 20. 已知，如图，点A，，在同一条直线上，平分，． （1）求证：是的平分线，将下列证明过程补充完整（其中括号里填写推理依据） 证明：∵， ∴____________，， 又∵平分， ∴__________．（________________） ∴__________．（________________） ∴是的平分线． （2）图中的补角是____________． 【答案】（1）；；角平分线的定义；；等角的余角相等 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，以及等角的余角相等，补角的定义，熟练掌握角平分线的定义，以及等角的余角相等是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得，然后根据等角的余角相等逐步推理证明即可求证是的平分线； （2）根据补角的定义进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， 又∵平分， ∴．（角平分线的定义） ∴．（等角的余角相等） ∴是的平分线． 故答案为：；；角平分线的定义；；等角的余角相等． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴的补角是． 故答案为：． 21. 如图，正方形的边长为a． （1）根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； （2）当，时，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）14 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察图形，阴影部分的面积等于正方形的面积减去两个直角三角形的面积，据此进行列式化简，即可作答． （2）理解题意，把，分别代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，阴影部分的面积； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵，， ∴． 22. 若关于，的方程组和有相同的解． （1）求这个相同的解； （2）求的值 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，同解方程的含义，求解代数式的值； （1）把方程组中不含、的两个方程联立，再解方程组求解即可； （2）把（1）中方程的解代入含、的两个方程组成方程组求解的值，再计算即可． 【小问1详解】 解：把方程组中不含、的两个方程联立得， ， ①②得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， 【小问2详解】 解：把方程组中含、的两个方程联立得， ， 把代入得，， ③+④得，， ∴， ∴． 23. 阅读下列材料．让我们规定一种运算，如，再如． 按照这种运算规定，请解答下列问题． （1）计算：________；________； （2）当时，求的值（要求写出计算过程）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，整式的加减运算中的化简求值； （1）根据新定义运算的含义列式计算即可； （2）先列式，再去括号，合并同类项得到化简的结果，再把代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ； 【小问2详解】 解： 当时，原式； 24. 如图，已知线段，延长至，使得． （1）求的长； （2）若是的中点，是的中点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； （1）先求解，再结合线段的和差可得答案； （2）由中点的含义可得，，再进一步求解即可； 【小问1详解】 解：∵线段，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 25. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）A型汽车每辆进价为25万元，B型汽车每辆进价为10万元 （2）方案一：购买A型汽车6辆，B型汽车3辆；方案二：购买A型汽车4辆，B型汽车8辆；方案三：购买A型汽车2辆，B型汽车13辆 （3）购买A型汽车2辆，B型汽车13辆的方案获利最大，最大利润是94000元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程组是解题的关键． （1）设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元，根据题意列出方程组，解出的值即可解答； （2）设购买A型汽车辆，B型汽车辆，根据题意列出方程，得出，结合是整数，得出是5的倍数，且，再列举出所有符合题意的值，即可解答； （3）结合（2）中的购买方案，计算每一种方案的获利，比较大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元， 由题意得，， 解得：， 答：A型汽车每辆进价为25万元，B型汽车每辆进价为10万元； 【小问2详解】 解：设购买A型汽车辆，B型汽车辆， 由题意得，， 整理得，， 是整数， 是5的倍数，且， ， 当，， 当，， 当，， 购买方案有3种，分别是： 方案一：购买A型汽车6辆，B型汽车3辆； 方案二：购买A型汽车4辆，B型汽车8辆； 方案三：购买A型汽车2辆，B型汽车13辆； 【小问3详解】 解：方案一获利：（元）， 方案二获利：（元）， 方案三获利：（元）， ， 购买A型汽车2辆，B型汽车13辆的方案获利最大，最大利润是94000元． 26. 【新知理解】如图，点，在数轴上分别表示有理数，，且，满足．如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“巧点”． （1）________；________． （2）①线段的中点________这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； ②点是线段的巧点，则最长为________； 【解决问题】 （3）如图②，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 【答案】（1）；； （2）①是；②； （3）或或， 当点为点、的“巧点”时，点在线段上， 根据题意，秒后，，，， 为、的“巧点”， 或或， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 当为或或时，为、的“巧点”． 【解析】 【分析】本题考查数轴，新定义和一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，分类讨论． （1）根据绝对值和偶次方的非负性，即可解答； （2）①根据“巧点”的定义，即可解答； ②根据“巧点”的定义，即可解答； （3）根据“巧点”的定义，分情况讨论，当或，或，分别计算即可． 【详解】解：（1）根据， 可得，， 解得， 故答案为：；； （2）①当一个点为线段的中点时， 线段是其余两条线段的2倍， 故线段的中点是这条线段的“巧点”， 故答案为：是； ②根据（1）可得， 点是线段的“巧点”， 当时，最长， 即， 故答案为：12； （3） 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $