精品解析：广东省广州市花都区2024--2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024学年第一学期期末质量评价 九年级数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分120分，考试用时120分钟．注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1页、第5页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、姓名、考号；并用2B铅笔把对应号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔，圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，不能折叠答题卡．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 三角形的内角和是 B. 负数大于正数 C. 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6 D. 明天太阳从西方升起 3. 在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长是（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5 6. 某工厂今年1月份的产值为25万元，3月份的产值为36万元．若设平均每月增长的百分率为，则依题意可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，下列四个三角形中，与相似的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，则点的坐标是（ ） A B. C. D. 9. 如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，为水面截线，为桌面截线，，如果将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，则此时水面截线为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点和是抛物线上第四象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，当取最大值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 抛物线的顶点坐标是_____． 12. 如图，、、是上三点，，则______． 13. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．若，．则的长为______． 14. 已知点是反比例函数图象上两点，则_______．（填“>”，“=”或“<”） 15. 一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为_______个． 16. 如图，点是外接圆上一个动点（点不与点，，重合），，．则下列结论：①是等边三角形；②；③以，，，为顶点的四边形的最大面积是；④若点在内运动时，始终满足，则点运动的路径长度为．其中正确的是_______．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：； 18. 如图，为的直径，点在上，，直线与直径的延长线交于点．求证：是的切线． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出，使得它与关于原点对称； （2）直接写出点的坐标． 20. 已知反比例函数图象上一点． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）若点是这个反比例函数图象上的点，连接（为坐标原点），过点作轴，求的面积． 21. “读万卷书，行万里路．”阅读可以增长见识，拓展视野．某校九年级通过开展以“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动来了解学生的阅读情况，学生根据自己的爱好选择一类书籍（：政史类，：科技类，：文学类，：艺术类，：其他类）．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），请你根据图中信息，解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了_______名学生； （2）将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“”所在扇形圆心角的度数为______； （3）在选择“”的学生中有2名女生，2名男生，现从这四名学生中随机选出两名学生做读书分享，请求出刚好选到相同性别学生的概率． 22. 某校在开展综合实践活动中取得了丰硕成果．为了进一步推广宣传，学校在一块长方形场地布展，米，米．为了让展览效果更好，现将长方形场地划分为六个展区，展示六个小组的项目成果，在各展区之间留同样宽的长方形通道．如果六个展区的总面积为70平方米，求通道的宽度． 23. 如图，在中，点在边上，且，，点是的中点，连接并延长，交于点，，交于点． （1）求证：； （2）求值． 24. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线，点为新抛物线上一点． （1）直接写出平移后新抛物线的表达式； （2）当时，记新抛物线与原抛物线组成的图象为，过点作轴的垂线，若直线与图象只有一个交点，求的取值范围； （3）若点在原抛物线上的对应点为，连接，当为直角三角形，且为直角边，求点的坐标． 25. 如图，在中，，以点为圆心，作与直线相切，切点为点，连接． （1）求的半径； （2）延长交于点，点是射线上一点，若与相似，请求出的长； （3）点是上一个动点，连接交直线于点．在点运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期期末质量评价 九年级数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分120分，考试用时120分钟．注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1页、第5页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、姓名、考号；并用2B铅笔把对应号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔，圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，不能折叠答题卡．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列四个字母中，属于中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 三角形的内角和是 B. 负数大于正数 C. 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6 D. 明天太阳从西方升起 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断．本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、三角形的内角和是，是必然事件，不符合题意； B、负数大于正数，是不可能事件，不符合题意； C、抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6，是随机事件，符合题意； D、明天太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 3. 在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长的计算公式． 弧长公式∶ (弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r)，由此即可计算． 【详解】解： 故选：A． 4. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ， 故选：D． 5. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以， 解得， 显然只有A选项符合题意． 故选：A． 6. 某工厂今年1月份的产值为25万元，3月份的产值为36万元．若设平均每月增长的百分率为，则依题意可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由该厂今年1月份及3月份的产值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得． 故选：C． 7. 如图，下列四个三角形中，与相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据两角对应相等或者三边成比例、夹角相等，两边成比例等方法证明相似，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ A、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的； B、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的； C、两边成比例，夹角相等，故该选项是正确的； D、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的； 故选：C 8. 如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，根据点B、D的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与是以O为位似中心的位似图形，， ∴且相似比为， ∵点A的坐标为， ∴点C的坐标是，即， 故选：B． 9. 如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，为水面截线，为桌面截线，，如果将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，则此时水面截线为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，过O作，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：过O作，连接， ∴， ∵水面高度下降了， ∴， ∵, ∴， ∴. 故选：B． 10. 如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点和是抛物线上第四象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，当取最大值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再设点，则，且．列出，根据二次函数最值求法得到m值，代入点求出坐标即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为． 设点，则，且． ∴， 当时，有最大值，最大值为9， ∴． 故选：D． 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵为抛物线的顶点式， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 12. 如图，、、是上三点，，则______． 【答案】##65度 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即可得出结论． 【详解】解：与是同弧所对的圆心角和圆周角， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 13. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．若，．则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转的性质可得，，即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上， ，， ， 故答案为：． 14. 已知点是反比例函数图象上的两点，则_______．（填“>”，“=”或“<”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据各点横坐标的值判断出各点所在的象限，进而可得出结论． 【详解】解：反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小． ∵， ∴点A在第三象限、B在第一象限， ∴， 故答案为：． 15. 一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为_______个． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，设白球有x个，利用概率公式列出关于x的分式方程，解分式方程即可求解． 【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，发现摸到白球的频率稳定于0.8， ∴发现摸到白球的频率稳定于0.8， 设白球的个数有x个， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， ∴估计箱子里白球的个数为16． 故答案为：16． 16. 如图，点是外接圆上的一个动点（点不与点，，重合），，．则下列结论：①是等边三角形；②；③以，，，为顶点的四边形的最大面积是；④若点在内运动时，始终满足，则点运动的路径长度为．其中正确的是_______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及勾股定理逆定理，①根据圆周角定理，得到，从而判断；②将绕点B顺时针旋转得到，根据等边三角形的判定可以得到为等边三角形，再根据旋转的性质得到在上，从而可以求解的数量关系；③因为的面积为定值，所以当P与相邻两点构成的三角形面积最大时，以A，P，B，C为顶点的四边形面积最大，根据圆的性质以及垂径定理可知，时，面积最大，根据等边三角形的性质以及外心的性质求出外接圆的半径，然后根据对角线垂直的四边形面积公式求解即可；④将绕点B顺时针旋转得到，根据②可知为等边三角形，在根据，可以判定的形状，从而得到，进而可以得到N点的位置，从而判断． 【详解】解：①∵， ∴， ∴为等边三角形，故①正确； ②将绕点B顺时针旋转得到，如图： ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在上， ∴， 故②错误； ∵是等边三角形，， ∴面积为定值， ∴当P与相邻两点构成的三角形面积最大时，以A，P，B，C为顶点的四边形面积最大， 以题图为例， ∵，为定值， ∴当P到距离最大时，面积最大， ∴此时，， ∴C，O，P共线， 连接，交于D，如图： ∵为等边三角形，， ∴， ∵O为外接圆圆心， ∴， ∴， ∴； 故③正确； ④将绕点B顺时针旋转得到，如图： ∴， 由②知，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴N在以A为圆心，为半径的圆弧上， 又∵， ∴N点为定点， ∴M点为定点，没有运动轨迹； 故④错误； 综上所述，正确的是①③． 故答案为：①③． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：； 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 解得：，． 18. 如图，为的直径，点在上，，直线与直径的延长线交于点．求证：是的切线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质，连接，由圆周角定理求得，由等腰三角形的性质求得，即可求得，根据切线的判定定理即可证得是的切线． 【详解】证明：连接 是的切线 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出，使得它与关于原点对称； （2）直接写出点的坐标． 【答案】（1）画图见解析 （2），， 【解析】 【分析】（）根据中心对称图形的性质作图即可； （）根据（）所作图形写成坐标即可； 本题考查了作中心对称图形，坐标与图形，掌握中心对称图形性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：由图可得，． 20. 已知是反比例函数图象上一点． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）若点是这个反比例函数图象上的点，连接（为坐标原点），过点作轴，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数的性质． （1）设反比例函数的解析式为．利用待定系数法求解； （2）求出点P的坐标，利用三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：设反比例函数的解析式为． ∵是反比例函数图象上一点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点是这个反比例函数图象上的点， ∴， ∴， ∵轴， ∴的面积． 21. “读万卷书，行万里路．”阅读可以增长见识，拓展视野．某校九年级通过开展以“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动来了解学生的阅读情况，学生根据自己的爱好选择一类书籍（：政史类，：科技类，：文学类，：艺术类，：其他类）．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），请你根据图中信息，解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了_______名学生； （2）将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“”所在扇形圆心角的度数为______； （3）在选择“”的学生中有2名女生，2名男生，现从这四名学生中随机选出两名学生做读书分享，请求出刚好选到相同性别学生的概率． 【答案】（1）80 （2）见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据A的人数及所占百分比求出总人数； （2）总人数减去A，B，C，E的人数，可求D人数，再补全统计图即可；乘以B所占百分比，即可求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好选到相同性别学生的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（名）， 即在这项调查中，共调查了80名学生． 故答案为：80； 【小问2详解】 解：D的人数（名）， 补全统计图如图所示： ， ， 即扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为． 故答案为：； 【小问3详解】 解：作树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中刚好选到相同性别学生的结果为4种， ∴刚好选到相同性别学生概率为． 22. 某校在开展综合实践活动中取得了丰硕成果．为了进一步推广宣传，学校在一块长方形场地布展，米，米．为了让展览效果更好，现将长方形场地划分为六个展区，展示六个小组的项目成果，在各展区之间留同样宽的长方形通道．如果六个展区的总面积为70平方米，求通道的宽度． 【答案】通道的宽度为1米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设通道的宽度为x米，则六个展区的长为米，宽为米，根据六个展区的总面积为70平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设通道的宽度为x米，则六个展区的长为米，宽为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽度为1米． 23. 如图，在中，点在边上，且，，点是的中点，连接并延长，交于点，，交于点． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识： （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由得，则，再分别求出，，，从而可得结论． 【小问1详解】 证明： 【小问2详解】 解：由（1）得 又 ，点是的中点 24. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线，点为新抛物线上一点． （1）直接写出平移后新抛物线的表达式； （2）当时，记新抛物线与原抛物线组成的图象为，过点作轴的垂线，若直线与图象只有一个交点，求的取值范围； （3）若点在原抛物线上的对应点为，连接，当为直角三角形，且为直角边，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，抛物线的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据函数图象的平移规律可得新抛物线的表达式为； （2）画出图象C的示意图，仔细观察图象即可求解； （3）分两种情况∶①当时，构造三垂直模型利用三角函数即可列比例式求解∶②当时，构造三垂直模型利用三角函数即可列比例式求解． 【小问1详解】 解∶将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位， 根据平移规律：上加下减，左加右减，可得新抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解∶根据题意，画出图象如下： 由，可得顶点坐标， 根据图象可得： ①当点与顶点重合时， 直线与图象只有一个交点，此时 ②设与轴相交于点，令，得， 当直线经过点时，记直线与新抛物线的另一交点为， 根据对称性得 记新抛物线与正半轴的交点为，令，求得 （舍去）即由图可知，当时，直线与图象只有一个交点综上，的取值范围是或； 【小问3详解】 解∶①当时，由图象可知，此时点在第一象限， 理由：由平移可知知点在轴上方，即在第一象限， 过点作轴于点于点，由平移，得， ， ， ，， ， ， 因为点，得，即， 又点在上， 得到， 即，解得（舍去）， 所以，即点； ②当时，过点作轴于点于点，由平移，得，同①可证明， ，， 设，得， 又点在上，得到， 即，解得（舍去）， 所以，即点， 根据平移得， 综上或． 25. 如图，在中，，以点为圆心，作与直线相切，切点为点，连接． （1）求的半径； （2）延长交于点，点是射线上一点，若与相似，请求出的长； （3）点是上一个动点，连接交直线于点．在点运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，由平行线的性质得，由切线的定义得，再根据含30度角的直角三角形的性质可解； （2）分和两种情况，画出图形，根据对应边成比例列方程，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作，交于点，先证，推出，再证四边形是平行四边形，得出，由含30度角的直角三角形的性质得出，代入得出，由点运动轨迹可知，当为直径时，最大，取得最大值． 【小问1详解】 解： 四边形是平行四边形， ， ， 与直线相切于点， ，即， 在中，， 的半径为1； 【小问2详解】 解：由题意知，为的直径， ， 在中，， 由勾股定理， ①当时，如图， ，即， ； ②当时，如图， ，即， ， 综上，的长为或． 【小问3详解】 解：存在，理由如下 过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作，交于点，如图， ， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 在中， ， ， ， 由点运动轨迹可知，当为直径时，最大，取得最大值， 此时，点与点重合，是的切线， 故． 【点睛】本题考查切线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，解第二问的关键是注意分情况讨论，解第三问的关键是得出取得最大值时点Q的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $