精品解析：山西省晋中市左权县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024—2025学年第一学期期末学业水平质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 文房四宝，即笔、墨、纸、砚，是中国传统书写、绘画工具的代表，它们以其独特的品质和悠久的历史，成为中华文化的重要组成部分．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列反比例函数的图象经过点 的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在菱形中，，，则对角线的长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 4. 如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识， ，各部分长度的比满足，这体现了数学中的（　　） A. 黄金分割 B. 平移 C. 旋转 D. 轴对称 5. 二次函数的图象与x轴的交点个数是（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 6. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚 和 交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，用螺丝钉固定点O的位置，使，然后张开两脚，使点A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若，则的长是（　　） A. 5cm B. 10 cm C. 15 cm D. 20 cm 8. 某校化学实验小组利用白醋和小苏打自制火箭发射小实验，如图，一枚自制小火箭从发射点A处发射，身高1.8米的小明在离发射点A距离的B处，当小火箭到达C点时，小明测得此刻的仰角为，则这枚小火此时的高度是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，是 的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在上的点处，延长 ，交于点．下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 垂直平分 C. 平分 D. 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若是方程的一个实数根，则代数式的值为______． 12. 如图，在 中，，D为的中点，，则的长是 _____． 13. 成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速．”希望小组开展了运用阳光下的影长测量学校内旗杆高度的实践活动．小组内同学进行了如下操作：如图，同一时刻在阳光照射下，旗杆的影长，小明的影长，已知小明的身高，则旗杆的高为________． 14. 图①是某电路图，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为，关于的函数图象如图②所示．嘉嘉通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为________． 15. 如图，在正方形中，点，的坐标分别为，，点在抛物线的图象上，则的值为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 17. 如图，在 中，，的平分线交 于点，，．求证：四边形为正方形． 18. 2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成、、三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率． 19. 中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．图①中古建筑的屋顶，被称为“悬山顶”，它的左视图为轴对称图形，如图②所示，已知屋檐米，屋顶到支点的距离米，墙体高米，屋面坡角．求点到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 20. 项目化学习 项目主题：探究土地规划与销售利润问题． 项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤． 解决问题： （1）因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由； （2）为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 21. 阅读与思考 下面是小丽同学的数学课后小论文（部分），仔细阅读并完成相应的任务． 在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到，那么反比例函数图象的平移是怎样的呢？我们可以通过列表、描点、连线的方式进行探究． 列表： … 0 1 2 3 4 5 … … 2 1 … … 2 1 … 描点、连线：在平面直角坐标系中，画出函数和函数的图象如图所示． 任务 （1）由图可知，反比例函数的图象向________平移________个单位长度，可以得到函数的图象； （2）上述探究方法运用的数学思想是________； A．整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 （3）将反比例函数的图象先________，再________，可以得到函数的图象；函数图象的对称中心的坐标为________． 22. 阅读理解题：一次数学综合实践活动课上，小亮发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知 是 的角平分线，可得：，小亮的证明过程（部分）如下： 证明：过点作，交 的延长线于点， ∵， ∴． ∴． ∴． …… （1）请按照上面小亮的证明思路．写出该证明的剩余部分； （2）如图2，在 中， 是 的角平分线，已知，则的值为______． （3）如图3，在矩形中，点是上一点，已知，连接，平分与交于点，则的长为______． 23. 悬挂过山车是武汉欢乐谷经典项目之一． 如图为该过山车的一部分轨道，轨道和可以各自看成一段抛物线，其形状相同，B，E分别为两段轨道的最低点．建立平面直角坐标系如图，点A在y轴上，B，E两点在x轴上，其中米，米（轨道厚度忽略不计）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知在轨道上有两个位置D和C，且它们到地面的距离相等，轨道抛物线最低点E的坐标为，求点D的坐标； （3）现需要对轨道下坡段进行安全加固，利用某种材料建造水平和竖直支架、、、，且要求．已知这种材料的价格是5000元/米，请通过计算说明：当多长时，造价最低？并求最低造价为多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期末学业水平质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 文房四宝，即笔、墨、纸、砚，是中国传统书写、绘画工具的代表，它们以其独特的品质和悠久的历史，成为中华文化的重要组成部分．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图，俯视图是指从上面看到的图，从上面看到是一个正方形及一个圆，由此可确定俯视图． 【详解】解：从上面看到的是一个正方形及正方形的一个圆，选项C符合题意； 故选：C． 2. 下列反比例函数的图象经过点 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，反比例函数上的点满足函数关系式，将点逐一代入计算即可判断． 【详解】解：A.，故反比例函数的图象不经过点 ； B.，故反比例函数的图象不经过点 ； C.，故反比例函数的图象不经过点 ； D. ，故反比例函数的图象经过点 ， 故选：D． 3. 如图，在菱形中，，，则对角线的长为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，其中等边三角形的判定是关键．由菱形的性质及已知可知是等边三角形，则可得． 【详解】∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：D 4. 如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，各部分长度的比满足，这体现了数学中的（　　） A. 黄金分割 B. 平移 C. 旋转 D. 轴对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，熟练掌握黄金分割是解题的关键； 把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．依据黄金分割的定义进行判断即可． 【详解】解：若，则点C为线段AB的黄金分割点． 故选：A． 5. 二次函数的图象与x轴的交点个数是（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用“二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系”解答即可． 【详解】解：判断二次函数图象与轴的交点个数，就是当时， 方程解的个数， ，此方程有两个相同的根， 二次函数的图象与轴有一个交点． 故选：B． 【点睛】主要考查了二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系，解题的关键是掌握两者之间的关系． 6. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， 解得，，且. 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 7. 如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚和交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，用螺丝钉固定点O的位置，使，然后张开两脚，使点A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若，则的长是（　　） A. 5cm B. 10 cm C. 15 cm D. 20 cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得到，进而证明，推出，计算可得． 【详解】解：∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 8. 某校化学实验小组利用白醋和小苏打自制火箭发射小实验，如图，一枚自制小火箭从发射点A处发射，身高1.8米的小明在离发射点A距离的B处，当小火箭到达C点时，小明测得此刻的仰角为，则这枚小火此时的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过点D作于点E，则，证明四边形是矩形，则，，由得到，即可得到答案. 【详解】解：过点D作于点E，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴ ∴ 故选：A 9. 二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对的取值进行分类讨论（当时和当时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解． 根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限， 当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴左侧，则A选项不符合题意， 当时，二次函数图象，开口向下，对称轴在y轴右侧，则C选项不符合题意，B选项符合题意； 当时，反比例函数的图象经过第二、四象限， 当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴右侧，则D选项不符合题意； 故选：B． 10. 如图，在矩形中，是的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在上的点处，延长，交于点．下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 垂直平分 C. 平分 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠的性质，矩形的性质与角平分线的性质，可证得；求得，则可得；证得是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；故可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：，， 即， ∵平分， ∴， ， 在与中，， ∴， ∴， ， ， ∴平分；故C正确； ∵， ∴， ， ， 即， ∴垂直平分，故B正确； ， ， ， ， ， ∴；故D正确； ∵， ∴， ， ∴是等腰三角形， ∴不一定等于，不能判断，故A错误． 故选：A． 【点睛】此题考查了折叠的性质，矩形的性质，角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，角的正切．此题难度适中，证得是解题的关键． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若是方程的一个实数根，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程的根的定义得，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在中，，D为的中点，，则的长是 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵在中，，D为的中点，， ∴． 故答案为：3． 13. 成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速．”希望小组开展了运用阳光下的影长测量学校内旗杆高度的实践活动．小组内同学进行了如下操作：如图，同一时刻在阳光照射下，旗杆的影长，小明的影长，已知小明的身高，则旗杆的高为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用和平行投影，解题的关键是根据相似三角形的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等． 设该旗杆的高度为，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有，然后解方程即可． 【详解】解：设该旗杆的高度为， 根据题意，得， 解得：． 即该旗杆的高度是 ． 故答案为：． 14. 图①是某电路图，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为，关于的函数图象如图②所示．嘉嘉通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据反比例函数的图象的性质结合题意可得方程，据此可得P的值，进而得出的值，再把代入函数关系式解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得， ∴， ∴， 当时，， 即当时，P的值为， 故答案为：25． 15. 如图，在正方形中，点，的坐标分别为，，点在抛物线的图象上，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，过点C作轴，过点B作于M，过点D作于N，利用三角形全等的性质，即可得出C点坐标，代入即可得出b的值． 【详解】解：过点C作轴，过点B作于M，过点D作于N， ∴， 由条件可知， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 解得：， ∴， ∵点C在抛物线的图象上， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值． （1）利用直接开平方法解方程； （2）先将特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的乘法运算即可． 【详解】解：（1）， 移项，得． 系数化为1，得． 由此可得． 解得：，． （2）原式． 17. 如图，在中，，的平分线交于点，，．求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的证明，根据，可得四边形为平行四边形；结合可得四边形为矩形，进而得，再由平分得，即可求证； 【详解】证明：∵，． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形． ∴， ∵平分， ∴， ∴四边形为正方形． 18. 2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成、、三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 先列表确定出所有等可能的结果数以及这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果数，然后再利用概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共有9种等可能的结果，其中这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果有3种， 所以这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率为． 19. 中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．图①中古建筑的屋顶，被称为“悬山顶”，它的左视图为轴对称图形，如图②所示，已知屋檐米，屋顶到支点的距离米，墙体高米，屋面坡角．求点到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】点到地面的距离约为3.2米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，灵活运用三角函数解直角三角形成为解答本题的关键． 过点作于点．在中，求出，再求出，即可解答． 【详解】解：过点作于点． 在中，（米），， ∴（米）， ∴（米）． ∴点到地面的距离约为3.2米． 20. 项目化学习 项目主题：探究土地规划与销售利润问题． 项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤． 解决问题： （1）因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由； （2）为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 【答案】（1） 解：如图所示，直线即为所求作． （2）李伯应将销售单价定为80元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，矩形和菱形的性质，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． （1）连接，交于点O，连接，交于点N，连接即为所求； （2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，月销售量为斤，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，月销售量为斤． 根据题意，得． 整理，得． 所以． 解得（不符合题意，舍去），． 答：李伯应将销售单价定为80元． 21. 阅读与思考 下面是小丽同学的数学课后小论文（部分），仔细阅读并完成相应的任务． 在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到，那么反比例函数图象的平移是怎样的呢？我们可以通过列表、描点、连线的方式进行探究． 列表： … 0 1 2 3 4 5 … … 2 1 … … 2 1 … 描点、连线：在平面直角坐标系中，画出函数和函数的图象如图所示． 任务 （1）由图可知，反比例函数的图象向________平移________个单位长度，可以得到函数的图象； （2）上述探究方法运用的数学思想是________； A．整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 （3）将反比例函数的图象先________，再________，可以得到函数的图象；函数图象的对称中心的坐标为________． 【答案】（1）左，1 （2）B （3）向右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度； 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象与性质． （1）结合图象填空即可； （2）根据题意解答即可； （3）根据发现的规律填空即可． 【小问1详解】 解：根据图象可得，函数的图象向左平移 1 个单位长度可以得到函数的图象， 故答案为：左， 1 ； 【小问2详解】 解：上述探究方法运用的数学思想是类比思想． 故答案为：B； 【小问3详解】 解：函数的图象先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度可以得到函数的图象； ∵函数图象的对称中心的坐标为，根据平移的性质，函数图象的对称中心的坐标为． 故答案为：右平移 2 个单位长度；向下平移 1 个单位长度（向下平移 1 个单位长度；向右平移 2 个单位长度）；． 22. 阅读理解题：一次数学综合实践活动课上，小亮发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可得：，小亮的证明过程（部分）如下： 证明：过点作，交的延长线于点， ∵， ∴． ∴． ∴． …… （1）请按照上面小亮的证明思路．写出该证明的剩余部分； （2）如图2，在中，是的角平分线，已知，则的值为______． （3）如图3，在矩形中，点是上一点，已知，连接，平分与交于点，则的长为______． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，先证明，得到，接着上述思路，再证明，即可得到结论； （2）是的角平分线，由（1）可得，由得到，即可得到答案； （3）延长交的延长线于点，先证明，则，求得，得，在中，由勾股定理可得，再根据（1）的结论进一步即可得到答案． 【小问1详解】 证明：过点作，交的延长线于点， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的角平分线， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：延长交的延长线于点， ∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴． ∴． ∴， 在中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 悬挂过山车是武汉欢乐谷经典项目之一． 如图为该过山车的一部分轨道，轨道和可以各自看成一段抛物线，其形状相同，B，E分别为两段轨道的最低点．建立平面直角坐标系如图，点A在y轴上，B，E两点在x轴上，其中米，米（轨道厚度忽略不计）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知在轨道上有两个位置D和C，且它们到地面的距离相等，轨道抛物线最低点E的坐标为，求点D的坐标； （3）现需要对轨道下坡段进行安全加固，利用某种材料建造水平和竖直支架、、、，且要求．已知这种材料的价格是5000元/米，请通过计算说明：当多长时，造价最低？并求最低造价为多少元？ 【答案】（1） （2） （3）当米时，造价最低，最低造价为117800元 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，求二次函数的最值，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得米得到点C的横坐标为，进而求得，根据二次函数的对称性求解点D坐标即可； （3）设，则，，则，，设总长度为l米，根据坐标与图形性质得到根据二次函数的性质求得l的最小值，进而可求解． 【小问1详解】 解：由题意，设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， ∴抛物线的函数表达式为， 【小问2详解】 解：∵米，点E的坐标为 ∴米， ∴点C的横坐标为， 将代入中，得，则， ∵抛物线对称轴为直线，且轨道上的点D和C到地面的距离相等， ∴点D坐标为； 【小问3详解】 解：设，则，， 由题意，，， 设总长度为l米， 则 ， ∵，， ∴当时，l最短，最短值为23.56，此时，造价最低，最低造价为（元）， 答：当米时，造价最低，最低造价为117800元 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $