精品解析：广东省云浮市罗定市2024—2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年第一学期期末教学质量检测 九年级 数学联考试题 本试卷共6页，满分120分．考试用时120分钟． 说明： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的学校、姓名、班级、考号等考生信息．用2B铅笔把对应考号栏的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔、涂改液、涂改带等．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁，切勿折叠． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的”进行求解即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、不中心对称图形，故不符合题意； C、不是中心对称图形，故不符合题意； D、是中心对称图形，故符合题意； 故选D． 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．据此求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为． 故选A． 3. 已知是一元二次方程的一个实数根，则c等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键．把代入原方程即可解出c的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴把代入原方程，得， ∴， 故选：D． 4. 已知⊙O的直径是10，圆心O到直线l的距离是5，则直线l和⊙O的位置关系是（　　） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系即当圆的半径为r，圆心到直线的距离为d时，时相离、时相切、时相交判断即可； 【详解】∵⊙O的直径是10， ∴⊙O的半径r=5， ∵圆心O到直线l的距离d是5， ∴， ∴直线l和⊙O的位置关系是相切； 故选C． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，准确分析判断是解题的关键． 5. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程−配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，未知移到左边，二次项系数化为1，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方即可求出解． 【详解】解：，即， 方程两边同时加1，可得，即， 故选：B． 6. 如图，点A、B、C在上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理进行计算，即可解答．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：C． 7. 如图，将（其中，）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求旋转角，邻补角互补，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据点C、A、在同一条直线上，得到，然后利用邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵点C、A、在同一条直线上， ∴ ∵， ∴． ∴旋转角等于． 故选：C． 8. 二次函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由知二次函数的a=b=m＜0，,通过二次函数的性质判断开口方向，对称轴确定答案 【详解】∵ ∴二次函数的a=b=m＜0；c=0. a＜0，开口向下；a，b同号对称轴在y轴左边；c=0过原点；故选A 【点睛】判断二次函数图像主要通过开口方向，对称轴及与y轴的交点判断，所以本题先要通过解析式来确定二次函数中a，b，c与0的大小关系，从而判断二次函数的图像． 9. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何变换，根据二次函数上加下减，左加右减的平移规律进行求解即可．解题的关键是正解掌握平移规律． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数图象的解析式为， 故选：B． 10. 如图，在半径为2的中，点A、B、P是圆上的三个点，且满足，则弦长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．首先连接，，，在优弧上任取点E，连接，根据圆内接四边形的性质求出，由圆周角定理即可求得，又由，利用勾股定理即可求得弦的长． 【详解】解：连接，，，在优弧上任取点E，连接， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式_____． 【答案】，答案不唯一． 【解析】 【分析】根据二次函数的性质写出一个符合的即可． 【详解】解：抛物线的解析式为： 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．． 12. 如图，在中，圆心O到弦的距离为1，，则的半径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理．先根据垂径定理得到，然后根据勾股定理计算出的长即可． 【详解】解：为圆心到弦的距离， ， ， 在中， ，， ． 故答案为：． 13. 如图，点M为双曲线上一点，若轴于点P，则的面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，根据反比例函数值的几何意义解答即可．熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：点为双曲线上一点，若轴于点， ． 故答案为：4． 14. 参加足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛，共要比赛72场，共有_____个队参加比赛． 【答案】9 【解析】 【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场，等量关系为：队的个数×（队的个数-1）=72；接下来设有x队参加比赛，根据等量关系列方程求解即可. 【详解】设有x队参加比赛. x(x-1)=72， (x-9)(x+8)=0， 解得x1=9，x2=-8（不合题意，舍去）. 即共有9个队参加比赛. 故答案为9. 【点睛】本题是有关一元二次方程应用的题目，关键是找到题中的等量关系列出方程. 15. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①；②；③若，则；④不论m取任何实数，均有．其中正确的有______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征及抛物线与轴的交点，根据所给函数图像，得出，，的符号，再结合抛物线的对称性及增减性对所给结论依次进行判断即可．熟知二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解：由所给图像可知， ，，， 所以． 故①正确． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 则． 故②正确． 因为点坐标为， 由得，， 所以点的坐标为， 则， 所以． 因为抛物线的对称轴为直线，且点坐标为， 所以点的坐标为． 由得， ， 所以． 故③正确． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 所以当时，二次函数有最大值， 即对于抛物线上的任意一点（横坐标为，总有，即． 故④错误． 故答案为：①②③． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，利用因式分解法解出方程．掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】解： 或 ，． 17. 2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是（滑板）的概率是_____； （2）体育老师想从中选出两个项目，然后做成手抄报给同学们普及一下，他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确画出树状图是解题的关键． （1）直接运用概率公式求解即可； （2）先画出树状图，可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是共C（冲浪）和D（运动攀岩）的结果有2种，最后由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：体育老师想从中随机抽取一张，恰好抽到是（滑板）的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： ， 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的结果数为2， 体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率． 18. 某商店销售一种成本为50元/千克的水产品，若按80元/千克销售，一个月可售出700千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】当售价定为100元时会获得最大利润，最大利润为25000元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用．设售价定为x元，总利润为w元，根据总利润=单个利润×总数量进行计算，即可解答． 【详解】解：设售价定为x元，总利润为w元， 由题意得： ， ∵， ∴当时，元， ∴当售价定为100元时会获得最大利润，最大利润为25000元． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是、、． （1）与关于轴对称，画出； （2）将绕原点顺时针旋转得到，画出； （3）求在（2）的旋转过程中，点经过的路径长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，旋转变换，以及求弧长： （1）利用轴对称的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可； （3）利用弧长公式求得点C经过路径长． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． ； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：在（2）的旋转过程中，点经过的路径长为． 20. 项目化学习 项目主题：探究皱纱鱼腐销售利润 项目背景：皱纱鱼腐，形似圆球，色泽金黄，“鱼腐”即“愈富”，不仅鲜香滋味奇，更有美好寓意，这道地方非遗文化在悄悄走向全国．某校学习小组以“探究皱纱鱼腐销售利润问题”主题开展项目学习． 驱动任务：按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材 某特产专卖店销售皱纱鱼腐，其进价为每千克50元，按每千克90元出售，平均每月可售出200千克，后经市场调查发现，单价每降低5元，平均每月的销售量可增加50千克． 解决问题： （1）若每月的销售量为400千克，则每千克皱纱鱼腐的售价为_____元； （2）若专卖店销售皱纱鱼腐想要平均每月获利8750元，求皱纱鱼腐的售价应定为每千克多少元？ 【答案】（1）70 （2）皱纱鱼腐的售价应定为每千克75元或每千克85元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每千克皱纱鱼腐应降价x元，则每千克皱纱鱼腐的售价为元，平均每月的销售量为千克，根据每月的销售量为400千克，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设每千克皱纱鱼腐应降价y元，则每千克皱纱鱼腐的售价为元，平均每月的销售量为千克，根据专卖店销售皱纱鱼腐想要平均每月获利8750元，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设每千克皱纱鱼腐应降价x元，则每千克皱纱鱼腐的售价为元，平均每月的销售量为千克，即千克， 由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：70； 【小问2详解】 解：设每千克皱纱鱼腐应降价y元，则每千克皱纱鱼腐的售价为元，平均每月的销售量为千克，即千克， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 答：皱纱鱼腐的售价应定为每千克75元或每千克85元． 21. 如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，． （1）若，求的度数； （2）找出图中所有与相等的线段，并证明． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴，又， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下， 连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形内心的性质、三角形的外角性质知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合探究 操作一：折叠正方形纸片，使顶点落在边上点处，得到折痕，把纸片展平（如图1）； 操作二：折叠正方形纸片，使顶点也落在边上的点处，得到折痕，与交于点，连接（如图2）． （1）根据以上操作，直接写出图2中与线段相等的两条线段：______； （2）探究发现：把上题图中的纸片展平，得到图，通过观察发现无论点在线段上任何位置，线段与线段始终相等，请你直接用第一问发现的结论写出完整的证明过程； （3）拓展应用：已知正方形纸片的边长为，在以上探究过程中当点到的距离是时，求线段的长． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（）由折叠的性质和线段垂直平分线的性质可得； （）过点作，交于，交于，可证，得到，进而可得，即可求证； （）过点作，交于，交于，分点在点的右侧和左侧两种情况解答即可求解． 【小问1详解】 解：如图2，连接， ∵折叠正方形纸片，使顶点A落在边上点P处，得到折痕， ∴垂直平分， ∴， ∵折叠正方形纸片，使顶点B也落在边上点P处，得到折痕， ∴垂直平分， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图，过点作，交于，交于， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点作，交于，交于， 当点在点的右侧时， ∵，， ∴， ∵点到距离是， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在点的左侧时，， 综上所述：或． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，轴对称性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问是否存在最大面积？若存在，请求出面积的最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请求出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）存在，面积的最大值为；此时； （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法转化为方程组求解； （2）过点P作于点N，交于点M．证明是等腰直角三角形，推出，求出的最大值，可得结论； （3）设，则，求出点N在抛物线上时，a的值，可得结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 存在最大面积； 过点P作于点N，交于点M．如图， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴时，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的值最大时，的值最大，的面积最大， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，值最大，的最大值， ∴的最大值， ∴的面积最大值为：， 此时； 【小问3详解】 设，则， 当点N在抛物线上时，， ∴， 解得，， ∵线段与抛物线有交点， ∴满足条件的点M的横坐标的取值范围为：或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期末教学质量检测 九年级 数学联考试题 本试卷共6页，满分120分．考试用时120分钟． 说明： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的学校、姓名、班级、考号等考生信息．用2B铅笔把对应考号栏的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔、涂改液、涂改带等．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁，切勿折叠． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是一元二次方程的一个实数根，则c等于（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知⊙O的直径是10，圆心O到直线l的距离是5，则直线l和⊙O的位置关系是（　　） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定 5. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A、B、C在上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将（其中，）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在半径为2的中，点A、B、P是圆上的三个点，且满足，则弦长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式_____． 12. 如图，在中，圆心O到弦的距离为1，，则的半径长为______． 13. 如图，点M为双曲线上一点，若轴于点P，则的面积为______． 14. 参加足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛，共要比赛72场，共有_____个队参加比赛． 15. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①；②；③若，则；④不论m取任何实数，均有．其中正确的有______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16 解方程：． 17. 2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是（滑板）的概率是_____； （2）体育老师想从中选出两个项目，然后做成手抄报给同学们普及一下，他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率． 18. 某商店销售一种成本为50元/千克的水产品，若按80元/千克销售，一个月可售出700千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是、、． （1）与关于轴对称，画出； （2）将绕原点顺时针旋转得到，画出； （3）求在（2）的旋转过程中，点经过的路径长． 20. 项目化学习 项目主题：探究皱纱鱼腐销售利润 项目背景：皱纱鱼腐，形似圆球，色泽金黄，“鱼腐”即“愈富”，不仅鲜香滋味奇，更有美好寓意，这道地方非遗文化在悄悄走向全国．某校学习小组以“探究皱纱鱼腐销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材 某特产专卖店销售皱纱鱼腐，其进价为每千克50元，按每千克90元出售，平均每月可售出200千克，后经市场调查发现，单价每降低5元，平均每月的销售量可增加50千克． 解决问题： （1）若每月的销售量为400千克，则每千克皱纱鱼腐的售价为_____元； （2）若专卖店销售皱纱鱼腐想要平均每月获利8750元，求皱纱鱼腐的售价应定为每千克多少元？ 21. 如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，． （1）若，求的度数； （2）找出图中所有与相等的线段，并证明． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合探究 操作一：折叠正方形纸片，使顶点落在边上点处，得到折痕，把纸片展平（如图1）； 操作二：折叠正方形纸片，使顶点也落在边上的点处，得到折痕，与交于点，连接（如图2）． （1）根据以上操作，直接写出图2中与线段相等的两条线段：______； （2）探究发现：把上题图中纸片展平，得到图，通过观察发现无论点在线段上任何位置，线段与线段始终相等，请你直接用第一问发现的结论写出完整的证明过程； （3）拓展应用：已知正方形纸片边长为，在以上探究过程中当点到的距离是时，求线段的长． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问是否存在最大面积？若存在，请求出面积的最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请求出点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$