精品解析：浙江省湖州市吴兴区2024-2025学年上学期期末八年级数学卷

八年级数学素养卷 考生须知： 1．试卷分为试题卷和答题卷两部分，满分为120分，时间为120分钟． 2．必须在答题卷的对应答题位置答题． 卷I（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列四个字母是“清丽湖州”的拼音首字母，其中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点所在象限（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 4.5，7，12 B. 4，5，9 C. 3，6，10 D. 2，4，5 4. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 在直角三角形中，两条直角边长分别为和，则斜边上的中线长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 把不等式组的解表示在数轴上，正确的是（ ） A B. C. D. 8. 小吴在数学实践课上用直尺和圆规作图（如图所示）．已知，，根据尺规作图痕迹，可求得的周长是（ ） A. 24 B. 17 C. 22 D. 19 9. 赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为和，若，且，则黄实为（ ） A. 36 B. 25 C. 16 D. 9 10. 如图，在中，，，，点是直角边上的一个动点，连结，以为边向外作等边，连结，在点运动的过程中，线段的最小值为（　　） A. B. 1 C. D. 2 卷II（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 影院入场券上的“12排8座”可记为有序数对，则4排5座可表示为__________． 12. 命题“是无理数”是_____命题．（填“真”或“假”） 13. 一副三角板如图所示叠放在一起，则图中的度数为________． 14. 若点，点在一次函数图象上，则______．（填“”或“”） 15. 明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索长》．该诗词翻译后的示意图中，、表示秋千的绳索，，，，则该秋千的索长__________． 西江月·秋千索长 【明】程大位 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士好奇，算出索长有几？ 16. 当前我国的军事国防能力稳步提升，特别是激光武器发展迅速． （1）如图1，一束激光从点出发，射向轴上的点，经过反射后射向点，已知光线的反射满足反射定律（即反射角入射角）．若点，点，则直线与轴的交点的坐标为_____ （2）如图2，线段是一根激光感应器，其函数表达式为，从点射出激光射向位于轴上的镜面，经过反射后恰好覆盖线段上的4个整数点（横纵坐标都为整数的点），则的最小值为__________． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 解不等式： （1）； （2）． 18. 一次函数的图象过点和点． （1）求该函数的表达式； （2）判断点是否在该函数的图象上． 19. 已知：如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：．     20. 如图，在边长为的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． （1）画出关于轴对称的图形，并写出点、的坐标； （2）将向右平移个单位，画出平移后的 （3）求的面积． 21. 如图，在中，平分，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求度数． 22. 近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示． （1）甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米； （2）当时，求第20天时整个工程已完成多少米； （3）已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围． 23. 定义：在一个三角形中，一边上的中线等于该边的倍，则称该三角形为“中根三角形”，该中线为三角形的“中根线”． （1）如图1，为等边三角形，且，证明：为“中根三角形”． （2）已知为的“中根线”，． 如图2，若，求的面积； 如图3，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．问：当为何值，有且只有一个点落在直线上？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 24. 如图1，已知直线与坐标轴交于、两点，直线与直线相交于点，与轴交于点． （1）求的值及的函数表达式； （2）在轴负半轴上有一个点，当的面积为时，求点坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，连结点与轴正半轴上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段． 点的坐标为_____；（用含有的代数式表示） 在点运动的过程中，若线段与的边只有一个交点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学素养卷 考生须知： 1．试卷分为试题卷和答题卷两部分，满分为120分，时间为120分钟． 2．必须在答题卷的对应答题位置答题． 卷I（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列四个字母是“清丽湖州”的拼音首字母，其中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，理解轴对称图形的概念是解题关键．根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知，只有字母“H”是轴对称图形，   故选：C ． 2. 在平面直角坐标系中，点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，熟练掌握各象限内点的坐标的符号是解决的关键．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵，， ∴点所在象限是第一象限． 故选：A． 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 4.5，7，12 B. 4，5，9 C. 3，6，10 D. 2，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系定理的应用，根据三角形两边之和大于第三边逐个判断即可． 【详解】解：A．，不符合三角形三边关系，不能组成三角形； B．，不符合三角形三边关系，不能组成三角形； C．，不符合三角形三边关系，不能组成三角形； D．，符合三角形三边关系，能组成三角形； 故选D． 4. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：， ，，，，故A、C、D选项错误， B选项正确， 故选：B． 5. 在直角三角形中，两条直角边长分别为和，则斜边上的中线长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质，根据勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论． 【详解】解：由勾股定理得：直角三角形的斜边长， ∴斜边上的中线长为， 故选：C． 6. 如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是熟悉三角形的判定定理，看那块可以符合全等三角形的条件． 详解】解：两角一夹边对应相等，两个三角形全等， 带③去就可以， 故选：C． 7. 把不等式组的解表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出一元一次不等式组的解，然后在数轴上表示出来，即可． 【详解】∵， ∴， ∴不等式组的解为；-1＜x≤1， 在数轴上表示如下： ． 故选B． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组以及在数轴上表示解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤，学会在数轴上表示不等式组的解，是解题的关键． 8. 小吴在数学实践课上用直尺和圆规作图（如图所示）．已知，，根据尺规作图痕迹，可求得的周长是（ ） A. 24 B. 17 C. 22 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线．熟练掌握线段垂直平分线作法和性质，三角形周长计算，是解题的关键． 根据作图可知垂直平分，得，即得． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长：． 9. 赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为和，若，且，则黄实为（ ） A. 36 B. 25 C. 16 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等图形，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设大正方形的边长为，则大正方形的面积为，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】设大正方形的边长为，则大正方形的面积为，根据勾股定理的， ∴黄实的面积为． 故选：D． 10. 如图，在中，，，，点是直角边上的一个动点，连结，以为边向外作等边，连结，在点运动的过程中，线段的最小值为（　　） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查旋转的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，延长到点，使，连结，，由，，，得，可证明是等边三角形，因为是等边三角形，所以，，可证明，得，可知点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，由，求得的最小值为1，于是得到问题的答案．正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长到点，使，连结，， ，，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点在经过点且与垂直的射线上运动， 作交射线于点，则， ， ， ， 的最小值为1， 故选：B． 卷II（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 影院入场券上的“12排8座”可记为有序数对，则4排5座可表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了根据坐标确定点的位置，解题的关键是理解题目的规定，知道坐标与位置的对应关系．由于将“12排8座”简单记作，根据这个规定即可确定4排5座表示的点坐标． 【详解】解：∵“12排8座”简单记作， ∴“4排5座”可以表示为． 故答案为：． 12. 命题“是无理数”是_____命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】本题考查了命题真假的判定，掌握无理数的概念及常见形式，命题真假的判定方法是关键． 根据无理数的概念“无限不循环小数”进行判定，是无理数是真命题即可． 【详解】解：“是无理数”是真命题， 故答案为：真 ． 13. 一副三角板如图所示叠放在一起，则图中的度数为________． 【答案】15°##15度 【解析】 【分析】因为三角板的度数为45°，30°，所以根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图，∵∠BAC=45°，∠F=30°， ∴∠ABF=∠BAC-∠F=45°-30°=15°． 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了三角板度数的常识和三角形的外角性质，熟练掌握定理是解题的关键． 14. 若点，点在一次函数的图象上，则______．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 根据解析式中，可得y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而减小， ∵，点，点在一次函数图象上， ∴， 故答案为：． 15. 明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索长》．该诗词翻译后的示意图中，、表示秋千的绳索，，，，则该秋千的索长__________． 西江月·秋千索长 【明】程大位 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士好奇，算出索长有几？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设，则，利用勾股定理解即可． 【详解】解：设，则， 在中，， ， 解得， 故答案为：． 16. 当前我国的军事国防能力稳步提升，特别是激光武器发展迅速． （1）如图1，一束激光从点出发，射向轴上的点，经过反射后射向点，已知光线的反射满足反射定律（即反射角入射角）．若点，点，则直线与轴的交点的坐标为_____ （2）如图2，线段是一根激光感应器，其函数表达式为，从点射出的激光射向位于轴上的镜面，经过反射后恰好覆盖线段上的4个整数点（横纵坐标都为整数的点），则的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、三角形全等的判定与性质等知识，较难的是题（2），正确找出临界位置是解题关键． （1）先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （2）先求出线段上共有5个整数点：，，，，，再找出两个临界位置：①当点的坐标为，点的坐标为时，②当点的坐标为，点的坐标为时，分别求出点的坐标，由此即可得． 【详解】解：（1）如图，由题意得：， 由对顶角相等得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点位于轴的负半轴上， ∴直线与轴的交点的坐标为， 故答案为：． （2）对于函数， 要使得y为整数，则x为偶数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴线段上共有5个整数点：，，，，， ∵， ∴由（1）可知，直线与轴的交点坐标均为， 则有以下两个临界位置： ①当点的坐标为，点的坐标为时， 设直线解析式为， 将点和代入得：，解得， 则直线的解析式为， 当时，，解得，即， 同理可得：直线的解析式为， 当时，，解得，即， ∴此时的最小值为； ②当点的坐标为，点的坐标为时， 同理可得：直线的解析式为，直线的解析式为， 当时，，解得，即， 当时，，解得，即， ∴此时的最小值为； ∵， ∴当镜面的端点放在点、端点放在点的位置上时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 解不等式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解答此题的关键． （1）根据移项，合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 一次函数的图象过点和点． （1）求该函数的表达式； （2）判断点是否在该函数的图象上． 【答案】（1） （2）点不在函数图象上 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解决问题． （2）将点代入（1）中所求函数解析式进行验证即可． 【小问1详解】 解：设一次函数的表达式为， 把点和点代入，得： ， 解得：， 所以该函数的表达式为． 【小问2详解】 解：将代入得， ， 所以点P不在该函数的图象上． 19. 已知：如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：．     【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．证明，，再结合，即可证明，即可得证． 【详解】， ， 即， ，，， ， 又， ， ． 20. 如图，在边长为的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． （1）画出关于轴对称的图形，并写出点、的坐标； （2）将向右平移个单位，画出平移后的 （3）求的面积． 【答案】（1）图见解析，， （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，平移作图，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于轴对称的图形，并根据图形写出、的坐标； （2）根据平移的特点作图即可； （3）根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即所求， ， 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 ． 21. 如图，在中，平分，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，然后利用等量代换可得，即可得证； （2）先利用等腰三角形的性质可得：，然后利用三角形的外角性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，进而利用三角形内角和定理可得，最后利用平行线的性质可得． 【小问1详解】 证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理，外角的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 22. 近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示． （1）甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米； （2）当时，求第20天时整个工程已完成多少米； （3）已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围． 【答案】（1）9；40 （2）第20天时整个工程已完成580米 （3）完成这次任务的工期范围是27天至35天 【解析】 【分析】（1）根据图象信息得出甲、乙合作时，共施工的天数，再运用工作量除以时间，即可作答． （2）先求出直线的解析式，再令，则即可作答． （3）根据图象信息得甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天），因为乙工程队的施工效率不超过甲工程队，得出解得，然后分类讨论，即当时或当时，再求出直线的解析式，当时，则，解得，即，进行作答即可． 本题考查了一次函数的行程问题，求一次函数的解析式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意，根据图象可得，甲、乙合作时，共施工的天数为：（天） 每天挖隧道：（米）， 故答案为:9，40． 【小问2详解】 解：由题意，当时 ∴点的坐标A的坐标为，B的坐标为 ∴（米/天），（米/天）， 又设直线的解析式为 把点B坐标代入解析式得 解得 ∴直线的解析式为 令，则 ∴第20天时整个工程已完成580米； 【小问3详解】 解：由题意得，甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天）， ∵乙工程队的施工效率不超过甲工程队， ∴， 解得， ∵， ∴， 当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得； 当时， 依题意，则， ∴（米/天），（米/天）， 设直线的解析式为 把代入得 解得， ∴直线的解析式为 ∴当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得， 即 ∴完成这次任务的工期范围是27天至35天． 23. 定义：在一个三角形中，一边上的中线等于该边的倍，则称该三角形为“中根三角形”，该中线为三角形的“中根线”． （1）如图1，为等边三角形，且，证明：为“中根三角形”． （2）已知为的“中根线”，． 如图2，若，求的面积； 如图3，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．问：当为何值，有且只有一个点落在直线上？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）详见解析 （2）；存在， 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，三角形面积等知识，解题的关键是读懂题意，理解“中根三角形”和的“中根线”的定义． （1）作中线，由是等边三角形，可求出，，故，从而为“中根三角形”； （2）①过B作于K，根据为的“中根线”， ，可得，，又，，知，故，可求出，从而； ②当时，设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，则，，过点D作于点H，由的面积可得．根据垂线段最短可得，而当有且只有一个点C落在直线上时，，得到，即可求解．当时，同理可求解． 【小问1详解】 证明：作的中线，如图： ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为“中根三角形”； 【小问2详解】 解：①过B作于K，如图： ∵为的“中根线”，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴的面积为； ②存在，理由如下： 当时，如图： 设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N， 令，则，解得， ∴， 令，则， ∴， ∴，，， 过点D作于点H， ∴， 即， ∴． ∵为的“中根线”，， ∴， ∵点C落在直线上， ∴由垂线段最短可得， ∴当有且只有一个点C落在直线上时，， ∴， ∴． 当时，如图： 同理可得． 综上所述，当时，有且只有一个点落在直线上． 24. 如图1，已知直线与坐标轴交于、两点，直线与直线相交于点，与轴交于点． （1）求的值及的函数表达式； （2）在轴负半轴上有一个点，当的面积为时，求点坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，连结点与轴正半轴上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段． 点的坐标为_____；（用含有的代数式表示） 在点运动的过程中，若线段与的边只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）将点D代入直线中，即可求出，再将代入直线中，即可求出b的值，即可得到的函数表达式； （2）如图，连接，设点，求出，得到，根据的面积为，由，列方程求解即可； （3）过点G作轴于点H，证明，得到，即可得到点G的坐标；由知，点G在直线上运动，分当点G在上时，点G在上时，当点G在上时，求出x的值，结合图形即可得出结论． 【小问1详解】 解：将点D代入直线中，则； ， 再将代入直线中， 则， ， 的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：如图，连接，设点， 直线与坐标轴交于、两点， 将代入直线，则， 令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴，则， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：过点G作轴于点H， ，， ， ， 由旋转的性质得：， ， ∴， ∴， ∴； ②由①知， ∴点G在上运动， 当点G在上时，即，则； 当点G在上时， 令，即，则， 此时，有两个交点，故舍去； 当点G在上时， 令，即，则（舍去）； 综上，线段与的边只有一个交点，则n的取值范围为：． 【点睛】本题考查一次函数的综合问题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，动点轨迹，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$