辽宁省鞍山市海城高级中学2024-2025学年高三上学期第一次抽测数学试题

链密★启用前 二、多喷选择题：本销共3小殖。小题6分，共18分。在钙小慧给出的四个选项中，有多项符合 2024一2025学年高三（上学期）第一次抽测 题目要求。全部志对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的调0分 9被推本空间-L214号含有等可使的特本点，驻A-1,2号。B一包，，C-在4号，则下列储论正瑞的 数学 是《) A)=PA图 B.NAC的=C1A0 一：单项选挥题：本题共常小题，每小题5分，共的分，在每小题地出的四个选说中，只有一项 C.P(ABC)-PR)RC) D.PBC)-P[B)P(C) 是行合题日要求。 10.已知清数/（利=w+2o5,下结论正确的是(） 1,己知复数：=2i(1-i+1.则日-() A,x的度小正周期为2x A.5 B.1 C.s D.13 2,己知函数f+0-x-3r+5,则3)=() 且若线是型的对称独，时，一号 C.f倒在0刘上的值城为[-2间 A,9 B.7 C.3 D.3 多.设等比数列包的碳和为又，且8=规。则登-(】 D.若Ba.pe2间.且a--2.则cmr+号 A.4 B.6 C.7 D.9 11.在长方体ACD-AGA中，A银=AD=LA4=2W反，B.F分刚是楼A几A中点，G是A5的中 .已细函数) 子+信+1<0是R上物增函数划实数a的取恤他细是() 「x+4a,120 内，直线CQ与甲面ABCD交千点P,测(》 A04 B.(04) C.0可 D.00 A:#直挂F与CD所成角的余整值是国 11 东覆只、名分别是列国C兰长-阳6约点、右精点，高我作：骑看线交C千水有丙 B.点C到平百DP的師离是8正 11 其中成A在第一象用，且H■成着P是C上的对点，则满足△究昌是直角三角形的点P约个数为() C.三陵壁P-C的体积为I6园 3 D,四育博CD迟F外要球的表积是3a A.0 B.1 C.4 D.6 6.署0-0'=%+4r+,++a,黑马+a,=() 三；填空题：本题共3小题，每小题5分。共15分 A.-16 B.10 C,15 D.1é 1上已加ce+}-56e以a0.眉6om2gm2理- 7,已知帝数)-52体+马-2ag+多碱精-新>勇在程0上恰有2个零点.则m的取植声 5 B.记V4c的内角A县，C的对边分瑞为c,看B-号6-2d+-如，博vc约国积 国是《) 为 4 8 c始0 n.岩0 14在平面直角经标景中，时线4：y-x2可，4：y-0x≥的.半圈Cy-、--现从点. 8.在平崔直典象标系xy中，4，醇，水1p2,1,p,其中产>0.4>0，∠400-一OQ.刚当△02 民上方区域的某方向发射一束光线，光找沿直线传罐。但寿明线(，封会发生镜面反射段凳线在发生 固积装小时，。《) 反射信所在直线的料率为，着光找游与半要C设有交.点。则业的取镇范国是 4.5 B.+ C.-1 D.-1 1 1 数学试题第1页（共4页） 数学试图第2页（共4重） 四，解容题：本鞋共5小盟，共77分，解答应写出文字说明、正明过程或案算步漫。 17,15分) 15.〔13分) 如图，在四枝性P-ACD中，PD⊥平面ABCD,(面ACD为等樱梯形，其中6NCD, 已知椭期C 百卡=1(a>b,0)的离心率是号，且点P外6在猫翼c上 4B-XCD-4.AD-0. (1)裳例图C的杆生方程： ()过椭周C的左寓点F约直线与舞州C文干A,B两点，O为坐杯眼点，若△Q4B的面积是√6，求直 线)的女程 1)a明：平面C⊥平面PD 团话D=多，求二面角B-A-C的金弦植 18,(17分) 已期函题m=(心+和+-2二 >0. )设直线4与曲线y一八交于点户，浆P点似坠标怕最小做： 16.(15分) 如取病全体实数时。由线r=八)在坐标平有上扫回一片区候。填区候们下边界为函数g任)，求) 在三舞形AC中，角是，C的对边分别是成点c,且他+co4-叫o四3-C), 的解析式 1证明：A-2语 )证明：当x21时，对任意正实数年f闭22r+2,(附：e,392 份否三角形AC是领角三角形，求的收值范围 19,《17分) 某扇测试具有：道多项选择想，每运园的评分移准如下：全富选对待5分：韶分透对得2分，有选情成不 答料0分。记：箱园的总用什为X,X的业值个数为风， 1求4，属属的的： 团当=5时，若某人◆如这现测试，每道恩解3分，2分，0分的受军相等，且每道图容对与西相互维立， 我X■10的藏事： (3)求数列 1 的筒和项和S 数学试题第3页（共4页） 数学试题第4页（共4页）2024一2025学年高三（上学期）第一次抽测 数学·答案 1.B 【分析】先化简z的表达式，然后求得z的模 【详解】z=2i(1-i)+1=2i-22+1=3+2i, 所以=√32+22=3. 故选：B 2.D 【分析】根据函数的知识求得正确答案。 【详解】令x+1=3,得x=2,则f(3)=2-3×2+5=3. 故选：D 3.C 【分析】根据给定条件，求出等比数列{a。}公比g即可计算得解. 【详解】等比数列{a}的公比为9，由S。=3S,得a4+a5+a6=S。-S3=2S3, 即ag+a,q+ag=2(a+ag+a,q2),而a,≠0,1+q+q2≠0，则g3=2, S=Ss+a+as+as=3S,+ag ++ag +a d =3S3+S3=75, 所受1 故选：C 4.A 【分析】由一元二次函数性质结合题意列出关于：的不等式组，解不等式组即可得解. x+4a,x20 【详解】因为函数f(x)= -r+m+a',r<0是R上的增函数， 0 所以{2 ÷ae[0,4]. a2≤4a 故选：A 5.C 答案第1页，共14页 a2=3t. 【分析】先由题设求得b-2t(t为参数)，进而求出P取椭圆上顶点时cos∠FPF的值， c2=1 从而得∠FPF不会为直角即可求解 b 【详解】由题AF=D,又AF+AF=2a,AF=2AF. 2a a2=3. 即b2=21(1为参数)， a 3 P取上顶点时∠EPE最大，此时cos∠EPE,= 2+a2-(c_3+3-450. 2aa 6t ∠FPE不会为直角，∴只有当∠PFE或∠PFE是直角才符合题意， 所以由对称性可知满足△PFF是直角三角形的点P的个数为4， 故选：C 6.C 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可 【详解】(1-x°的展开式的通项为T=Cg1(-x)=(-1)Cgx', (I-x)=ao+ax+ax+...+asx, 所以a2=(-1)C=10,a,=(-1)°C=5, 所以a2+a4=15, 故选：C 7.A 【分析】利用诱导公式、二倍角的正弦公式及辅助角公式化简函数f(x),再由函数零点个 数列出不等式求解即得 【详解】依题意， 答案第2项，共14页 f)=5cow2ar+7+2sn(a+3coam+月=5cosu2ax+手+sn2a+于 =2cos(2or+,由x∈(0，)，得2or+e(任，2om+, 66 6 而函数在@a上恰有2个零点，则受<20x+后经，解得号 2 06 所以心的取值范阻是名 故选：A 8.C 【分析】设∠A00=0,先由∠400=∠PO0结合两角和正切公式得4>1且-P=,接 着计算得SOPO= 9+q 20-g 构造函数)=高9>1，利用导数求出该高数最小 值即可求解 【详解】如图所示， 0 π-20 设∠A0g=0,则tan0=q,tan20-tan(π-20)=-p, <20<元，4>1， 2 所以由an292am0。可得p乡， 1-tan20 9+9 21-g) 2则/-0可20-9+1】g-好= 记)=9 41-92 2-g2了1 所以f(q)≥0时，9-4g2-120,解得g2≤2-V5(舍去)或g≥2+N5, f(q)<0时，g°-4g2-1<0,解得1<g2<2+V5, 答案第3页，共14页 所以g=2+5时f(q)可取最小值，而-p二可 2q 2q 所以1-g2225-1 9992-11+52 故选：C 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由∠AOQ=∠POQ结合两角和正切公式得g>1且 2q -P?即把P9关联起来。 9.ABD 【分析】由题意结合条件概率定义、独立事件定义和独立事件概率乘法公式逐项求出相应所 需的P(A),P(B),P(C),P(AB),P(AC),P(AC),P(C1A)即可判断得解. 【详解】对于A由题意可得风0-子到-子行代-子 所以P(AB)=P(A)P(B),故A正确： 对FBmq-4O-raP号n0S P(AC)1 所以P(AC)=P(C|A),故B正确： 对于c因为4aO-片R4nnq-兮兮若 所以P(ABC)≠P(4)P(B)P(C),故C错误： 对于D,因为P(BC=4所以PBC)=PB)PC).故D正确. 故选：ABD. 10.ACD 【分折1应用辅助角公式化简/)-5：+p列且血p=石mp=石，不纺令0p 2 结合正弦型函数的性质、诱导公式、倍角余弦公式判断各项正误. 【详解】由f()=sinr+2cosr=v5sin+9且simp=2 5cosp= 万，不妨令0<p<经 由化简后的解析式，易知其最小正周期为2π，A对： 若直线x=无是（因图象的对称轴，则6+=受a且ke工，即6=受+红-， 所以sin=5in(受+a-)=土osp=t5,B错 由xe[0,m,则，+p∈[p,p+],且0<p<I<<p+元< 2 答案第4页，共14页 所以fx)=5si(p+)=-5sinp=-2,f(x)=5sin=5,故值域为[-2,5， C对： 由题设，令f(x)=V5sinx+p)=-2,则x+p=(2k+l)π+p或2k-p,且keZ, 所以x=(2k+I)π或2k-2p,又a≠阝，a,B∈(0,2π， 不妨令a=元B=2m-20,则cos(a+)=c0s(3x-20)=-6os2p=1-2cos2p=2, ,D对 故选：ACD 11.ACD 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出EF与CD利用夹角的余弦公式计算后可判 断A的正误，利用向量法可求点C到平面DEF的距离后可判断B的正误，求出P的坐标后 可计算三棱锥P-A4C的体积，从而可判断C的正误，求出球心的坐标后可求外接球的半 径，计算表面积后可判断D的正误. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则C(4,0.0,E(0,2,22),F(4.4.√2)。 故DC=(4.0,0),EF=(42,-2), 故cos(DC,EF)=， 16 42W22 4x16+4+22211 故异面直线DC,EF所成角的余弦值为V 11 ,故A正确： 因为ED=(0,-2,-2√2)，设平面DEF的法向量为n=(化y,z), .ED=0组∫-2y-22z=0 则由 可得 取n=(35,5,-, EF=0 4x+2y-2z=0 CF.R 3V2 266 而CF=(O,4,√2)，故点C到平面DEF的距离是 /9 33,故B错误： i88+3 答案第5页，共14页 又C(4,0,22.G2,4,),设P(a,b,0), 则PC=(4-a,-b,22),GC=(2,-4,2), 因为PCGC共线，所以-专-2，放=8a=0,即P@80, 故-4，且P在错上，放e对442反. ,故C正确： 3 设四面体CDEF外接球的球心为O(s,4,w),则OC=|OD=OF=OE, 即x2+y2+z2=(x-4)+y2+z2: x+2+z2=(x-4)+y-4)z2 x2+y2+z2=x2+0-2+-25, x=2 x=2 整理得到： 8y+22z=18,故y=2,故外接球半径为 4y+4√2：=12 2= 2 17 故外接球的表面积为4π =34π，故D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：空间几何体的外接球的计算问题，首先确定球心的位置，如果球心的位 置不易求得，则可以通过空间向量的方法求出球心坐标，从而解决与球有关的计算问题。 12.5-1 2 【分析】先由题意结合诱导公式得tana=√3，再由倍角公式和常数“I"的代换结合分式齐次 式弦化切即可求解。 【详解】由题得-sina=-√5cosa→tana=√5， 所以 cos2a+sin2a cos'a-sin'a+2sinacosa= cos'a-sin'a+2sinacosa 1-tan'a+2tana3-1 cos'a+sin'a 1+tan'a 2 故答案为：5- 2 13.9分6 答案第6页，共14页 【分析】根据余弦定理求出ac=2,再根据三角形面积公式即可求得. 【详解】由余弦定理得cosB=+c=二4-，得ac=2, 2ac 1 所以SA4c=)acsin B=2×2× 33 22 故答案为： 2 15 6 14. -8 12 【分析】求出光线与(x-4)+y2=1(y20)、(x+4)+y2=1(y≥0)、x2+(y-4)=1相切时 的斜率，树形结合即可得解。 【详解】将半圆依次沿着y=x,x=0,y=一x作对称，如图所示： 54321ò12345 光线在镜面发生反射可以等效处理为：光线进入了镜子后的空间， 因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点，光线变化的范围如图所示。 1V5 当光线与(x-4)+y2=1(y≥0)相切时，光线所在直线斜率为k= 32-14 由对称性可知当光线遇射线4时反射光线若与(x-4)+y2=1(y≥0)相切，则入射光线所在 直线为x=1与圆x2+(y-4)=1相切， 当光线与圆x2+(y-4)=1相切但遇射线时反射光线不与(x-4)+y2=1(y20)相切时， -20 1 1-tan201- 此时an6=4,所以光线斜率为名=-tan 1615 tan 20 2tan 0 18 当光线与(x+4)+y2=1(y≥0)相切时，光线斜率为k= 1 V6 V52-112 答案第7页，共14页 所以由图可知k的取值范围是 故答案为： √6.√2 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是数形结合简化问题的难度， ②-2+2=0或x+2y+2=0(或y=± 26+2) 【分析】(1)由题意列出关于a,b,c的方程组，即求出a,b,c的值，即得答案 (2)设直线：x=y-2,联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，根据三角形面积列出 关于参数m的方程，求得m的值，即可求得答案 c-② a 2 +=,解得a=25,b=2,c=2, 61 【详解】(1)由题意可得 a2=b2+c2 故椭圆C的标准方程为父+上 =1 84 (2)由题意可知直线1的斜率不为0，F(-2,0). 设直线1：x=my-2,A(,片)，B(x2,2) x=my-2 联立+上-1整理得（㎡+2小少广--4=0，直线过椭圆焦点，必有△>0， 84 4m 4 则片+ m+2'=m+2 故y-=V+乃广-4y2= -42√m2+1 m2+2 答案第8页，共14页 因为△06的面积是6，所以0F--6,周2x45更-6。 m2+2 整理得3m-4m2-4=0,即(3m2+2)(m2-2)=0,解得m=±√2， 「则直线1的方程为x-2y+2=0或x+2y+2=0（或y=±，(x+2), 16.(1)证明见解析 o 【分析】(1)由正弦边角关系及和差角正弦公式得到sin(A+C)=sin(A-B),结合三角形内 角性质即可证结论： (2)由题设得管<B<子应用正弦边角关系、倍角正弦公式有 b 即可求范围。 6 a 2cosB 【详解】(1)由题设(sinB+sinC)cosA=sinA(cosB-cosC), 所以sin Bcos A+sin Ccos A=sin Acos B-sin Acos C, sin Ccos 4+sin AcosC=sin Acos B-sin Bcos A,sin(A+C)=sin(A-B), 又A+C=π-B,则sin(π-B)=sinB=sin(A-B),且A,Be(0,), 所以B=A-B→A=2B,得证 0<4<号 0<28<号 (2)由题设0<8<号 ,即0<B<,得<B< 6 4 π <A+B<π <3B<π 2 2 由-sinB-simB 1 a sin A sin 2B 2cos B 而cosBe(.点. 22 故e5 32 17.(1)证明见详解 257 22 【分析】(1)过D作DE⊥AB,垂足为M,建系标点，利用空间向量可得AC⊥BD,根据 线面垂直的性质可得AC⊥PD,即可证线面垂直： (2)根据题意分别求平面PAC、平面PAB的法向量，利用空间向量求二面角。 【详解】(I)过D作DE⊥AB,垂足为M,则BE=3AE=3,DE=√AD-AE=3, 因为AB∥CD,则DE⊥CD,且PD⊥平面ABCD, 如图所示，以D为坐标原点，DE,DC,DP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 答案第9项，共14页 则A(3.-1,0),B(3,3,0),C(0,2,0),D(0,0,0) 可得AC=(-3,3,0),DB=(3,3,0), 因为HCDB=-9+9+0=0,则4C1BD, 又因为PD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,则AC⊥PD, 且BD∩PD=D,BD,PDC平面PBD,可得AC⊥平面PBD, 又因为ACC平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBD. (2)若PD=3,由(1)可知：P(00,3), 可得AB=(0,4,0)PA=(3.-l,-3)AC=（3,3,0), 设平面PAC的法向量为m=(x,,),则 mPA=3x,-y-3,=0 m-AC=-3x,+3y1=0 令x=3,则乃=3，=2，可得m=(3,3,2) 设平面PAB的法向量为i=(x2,y2,),则 7.PA=3x2-y3-3z2=0 7·AB=4y2=0 令x2=1,则乃2=0,22=1，可得万=(1,0，)， 则cosm,i= m同√22×√222 由图可知二面角B-PA-C为锐二面角，所以二面角B-PA-C的余弦值为5 22 18.(1)P点纵坐标的最小值为√30： 答案第10页，共14页