1.3乘法公式--中档题能力进阶 2024−2025学年北师大版数学七年级下册【同步必刷题】

1.3乘法公式--中档题能力进阶★★ 2024−2025学年北师大新版数学七年级下册【同步必刷题】 【解析版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列多项式相乘，不能运用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据公式的左边的形式，判断能否使用． 【详解】解：A、两个括号中，含m的项相同，n符号相反，故能使用平方差公式，不符合题意； B、两个括号中，n相同，m的符号相反，故能使用平方差公式，不符合题意； C、两个括号中，含m的项不同，含n的项不同，故不能使用平方差公式，符合题意； D、两个括号中，含m项的符号相同，n项的符号相反，故能使用平方差公式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．平方差公式：． 2．式子加上哪一项后得（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据完全平方公式 ，即可求出答案． 【详解】解：由于 ， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 3．如图①，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差与几何图形面积的计算，理解图示面积的计算方法是解题的关键． 边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，则面积为，拼接成如图②所示的长方形的长为，宽为，其面积为，两部分面积相等，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，如图①中阴影部分的面积为， 拼接成如图②所示的长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为， ∴， 故选：B ． 4．用完全平方公式计算的值，下列变形最恰当的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用完全平方公式进行简便运算，熟练掌握该公式变形是解题关键.把化为即可. 【详解】解：，此时计算最简便； 故选B 5．下列多项式的乘法中，可用平方差公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的计算，掌握平方差公式的计算方法是解题的关键． 根据平方差公式进行判定即可求解． 【详解】解：A、，不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，不符合题意； B、，满足平方差公式的形式，能用平方差公式计算，符合题意； C、，不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B ． 6．用简便方法计算，变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，掌握是解题的关键．根据平方差公式变形即可． 【详解】解： ； 故选：D． 7．为了美化校园环境，学校将边长为的正方形花坛的一组对边各增加，另一组对边各减少，则所得长方形花坛的面积为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的应用，用代数式表示长方形花坛的长和宽，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：长方形花坛的长和宽分别为， 则长方形花坛的面积为， 故选：A． 8．计算的结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式知识点，解题的关键是牢记完全平方公式． 将中的看作完全平方公式中的x，1看作，然后代入公式展开计算． 【详解】根据完全平方公式，在中，，将其代入公式可得： ， 所以的结果是， 故选：B． 9．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景．用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可． 【详解】解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：D． 10．若，则n等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式得到，即可解答． 【详解】解：， 则 故选：B． 11．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】先利用平方差公式，得=，再整体代入化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴=====． 故选B． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握整式的混合运算法则以及平方差公式是解题的关键． 12．在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，不能够验证平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何图形的面积与平方差公式的应用，分别计算原图阴影部分面积与拼后图中阴影部分的面积，根据面积相等即可作出判断，从而确定结果． 【详解】解：A．原图阴影部分面积为，拼后新图是平行四边形，其中底为，底边上高为，则阴影部分面积为，则有，故可以验证； B．原图阴影部分面积为，拼后新图形中阴影部分是长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故可以验证； C．原图阴影部分面积为，拼后新图是由两个相同的直角梯形组成的平行四边形，其底为，底边上高为，阴影部分面积为，则有，故可以验证； D．原图阴影部分面积为，拼后新图是由四个相同长方形组成的大长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故不能验证． 故选：D． 13．如图，由4个全等的小长方形与一个小正方形密铺成一个大的正方形图案，该图案的面积为100，里面的小正方形的面积为16，若小长方形的长为a，宽为b，则下列关系式中：①；②；③；④，正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】能够根据大正方形和小正方形的面积分别求得正方形的边长，再根据其边长分别列方程，根据4个矩形的面积和等于两个正方形的面积差列方程． 【详解】①大正方形的边长为a+b，面积为100 故①正确 ②小正方形的边长为a-b，面积为16 故②正确 ③ 故③错 ④ 故④正确 故选C 【点睛】此题考查了平方差公式、完全平方公式及数形结合的应用，关键是能够结合图形和图形的面积公式正确分析，对每一项进行分析计算，进而得出结果． 14．已知三个实数a、b、c满足a+b+c≠0，，，则（   ） A．a+b=c B．ab=c C． D． 【答案】D 【分析】将a，c相加可得c=0，再将c代入c＝，即可得a，b的关系． 【详解】∵a+c＝+＝a， ∴c=0， ∴＝0， ∴a-b+c=0， ∴a=b， ∴=(a-b)(a+b)=0=c2． 故选：D． 【点睛】本题考查了整数的加减，平方差公式的应用，关键将a与c相加得出c等于0． 15．关于m的一元二次方程的一个根为2，则的值是（    ） A．25 B．26 C．27 D．1 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程的解得到，然后方程两边同时除以n得到，再利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵关于m的一元二次方程的一个根为2， ∴即， ∴， ∴， ∴， ∴即， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 二、填空题 16．计算的结果等于 ． 【答案】18 【分析】根据平方差公式即可求解． 【详解】解：， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键． 17．已知，，则 ． 【答案】2 【分析】先分解因式得：，再代入求值即可． 【详解】解：，， ，即． ． 故答案是：2． 【点睛】本题考查了平方差公式，属于基础题． 18．计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，先利用完全平方公式计算乘法运算，再合并同类项即可. 【详解】解： ； 故答案为： 19．观察下面图形，你能利用图中面积的相等关系写出一个你熟悉的公式吗？ 答： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积的计算，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据题意，大正方形的边长为，其面积等于，等于边长为的正方形的面积加上长、宽为的两个长方形的面积加上边长为的正方形的面积，由此即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 20．已知：且，则 ． 【答案】 【分析】首先用平方差公式分解因式，再代入数据求解即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式，用整体代入法是解题的关键． 21．（1） ；（2） ； （3）( )；（4） ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的结构特点是解本题的关键． 22．（ ）． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，运用平方差公式变形，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：． 23．定义新运算“”，对于任意实数都有．例如：．若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平方差公式和代数式求值，解题的关键是根据新定义运算法则得到关于x的等式．根据新运算的定义列出等式，然后再形求解即可． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ． 故答案为：5． 24．设，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据，利用完全平方公式可得，，根据，利用二次根式的性质计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴＞0，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的求值及二次根式的性质及运算，熟练掌握完全平方公式及生产过剩的运算法则是解题关键． 25．已知，且，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式可得，结合，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 26．化简下列各式； （1） ；        （2） ；       （3） ；（4） ；         （5） ；           （6） ；（7） ﹔          （8） ； 【答案】 （1）； （2）42； （3）0.45； （4）； （5）； （6）； （7）； （8） 【分析】（1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可； （3）利用二次根式的性质化简即可； （4）利用二次根式的性质化简即可； （5）利用二次根式的性质化简即可； （6）利用二次根式的性质化简，最后进行分母有理化即可； （7）利用二次根式的性质化简即可； （8）利用平方差公式求解即可． 【详解】解：（1）；        （2）；        （3）； （4）；        （5）；           （6）； （7）；       （8）； 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）． 【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，分母有理化，平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 27．若正方形的边长增加，其面积增加，则该正方形的边长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查用方程解应用题，涉及平方差公式、解一元一次方程，设该正方形的边长是，根据等量关系列方程求解即可得到答案，读懂题意，列方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设该正方形的边长是，则 ，解得， 设该正方形的边长是， 故答案为：3． 28．已知x满足，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 设，将已知式子变形为，然后根据完全平方公式计算，得出的值，即可得出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 29．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】先通分再化简即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的减法运算，平方差公式；当分母不同时，要先通分化成同分母的分式，再相减，最后结果能约分的要约分． 30．若为整数，则能使的值也为整数的是 ． 【答案】或或 【分析】根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再约分，得出答案即可． 【详解】解：，且， 若m为整数，的值也为整数， 则，，且， 解得：或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了分式的值，掌握分式的性质，平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 三、解答题 31．已知：，求代数式的值． 【答案】-32 【分析】根据，将所求式子变形，即可求得所求式子的值． 【详解】解：原式， ， 原式． 【点睛】本题考查求代数式的值，解答本题的关键是将所求式子变形． 32．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的计算是解题的关键．根据即可求解． （1）将原式变形得，运用完全平方公式计算即可； （2）将原式变形得，运用完全平方公式计算即可； （3）将原式变形得，运用完全平方公式计算即可； （4）将原式变形得，运用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 33． 【答案】 【分析】利用平方差公式直接进行计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式：，是解题的关键． 34．（1）用“<”“>”或“=”填空： _______； ______； ______； ______． （2）观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？你能用一个含有字母a，b的式子表示上述规律吗？ （3）运用你所学的知识说明你发现的规律的正确性． 【答案】（1）>，=，>，=；（2）任意两个数的平方和大于或等于这两个数乘积的2倍，即a2+b2≥2ab；（3）见解析 【分析】（1）通过计算可比较上述算式的大小； （2）由于（a-b）2≥0，所以a2+b2≥2ab； （3）证明结论时根据完全平方的计算结果是非负数证明即可． 【详解】解：（1）52+32＞2×5×3； 32+32=2×3×3． （-3）2+22＞2×（-3）×2； （-4）2+（-4）2=2×（-4）×（-4）； 故答案为：>，=，>，=； （2）一般结论是：任意两个数的平方和大于或等于这两个数乘积的2倍，即有a2+b2≥2ab； （3）∵（a-b）2≥0， ∴a2-2ab+b2≥0， ∴a2+b2≥2ab． 【点睛】本题主要考查了实数的大小的比较，数字的变化规律，通过阅读题目，发现规律实质上是完全平方公式的变形：因为（a-b）2≥0，所以a2+b2≥2ab． 35．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式，平方差公式的运用，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用完全平方公式计算即可； （2）运用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 36．已知，求的值． 【答案】 【分析】题目主要考查利用平方差公式进行计算，求代数式的值，根据题意，利用平方差公式化简，然后整体代入求值计算即可． 【详解】解： ． 因为， 所以原式． 37．先化简，再求值：，其中．下面是小明的解答过程，请按要求解答下列问题： 解：原式 (1)在小明的解答过程中，出现错误的在第__________处（填序号）； (2)请你写出此题正确的化简过程，并求出当时代数式的值． 【答案】(1)①③ (2)见解析，2 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值； （1）根据完全平方公式的含义以及去括号没有改变符号可得答案； （2）先计算整式的乘法运算，再合并同类项，最后把代入计算即可． 【详解】（1）解：在小明的解答过程中，出现错误的在第①③处； （2）解： ． 当时，原式． 38．巧算：． 【答案】 【分析】将原式变形后，利用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝．．． ＝． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 39．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握多项式乘多项式法则，合并同类项法则进行计算，是解题的关键． 根据多项式乘多项式的法则展开，然后合并同类项，最后x=7代入即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 40．小明在解方程时采用了下面的方法： 由，又有可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解下面的方程： (1)解方程； (2)解方程． 【答案】(1) (2)x=3 【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）仿照题意求解即可． 【详解】（1）解： =- = =32 ∵， ∴-=32÷16=2， ∴， ∴ ∵=92=81， ∴， 经检验都是原方程的解， ∴方程的解是：； （2）解： = = =8x， ∵+=4x， ∴-=8x÷4x=2， ∴ ∴， ∵， ∴4x2+6x﹣5=4x2+4x+1， ∴2x=6， 解得x=3， 经检验x=3是原方程的解， ∴方程+=4x的解是：x=3． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算及乘法公式，求平方根的方法解方程，解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的运算及乘法公式是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3乘法公式--中档题能力进阶★★ 2024−2025学年北师大新版数学七年级下册【同步必刷题】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列多项式相乘，不能运用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 2．式子加上哪一项后得（    ） A． B． C． D．0 3．如图①，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（   ）    A． B． C． D． 4．用完全平方公式计算的值，下列变形最恰当的是（   ） A． B． C． D． 5．下列多项式的乘法中，可用平方差公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 6．用简便方法计算，变形正确的是（   ） A． B． C． D． 7．为了美化校园环境，学校将边长为的正方形花坛的一组对边各增加，另一组对边各减少，则所得长方形花坛的面积为（   ） A． B． C． D．无法确定 8．计算的结果是（      ） A． B． C． D． 9．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（    ） A． B． C． D． 10．若，则n等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 11．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 12．在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，不能够验证平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 13．如图，由4个全等的小长方形与一个小正方形密铺成一个大的正方形图案，该图案的面积为100，里面的小正方形的面积为16，若小长方形的长为a，宽为b，则下列关系式中：①；②；③；④，正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 14．已知三个实数a、b、c满足a+b+c≠0，，，则（   ） A．a+b=c B．ab=c C． D． 15．关于m的一元二次方程的一个根为2，则的值是（    ） A．25 B．26 C．27 D．1 二、填空题 16．计算的结果等于 ． 17．已知，，则 ． 18．计算的结果是 ． 19．观察下面图形，你能利用图中面积的相等关系写出一个你熟悉的公式吗？ 答： ． 20．已知：且，则 ． 21．（1） ；（2） ； （3）( )；（4） ． 22．（ ）． 23．定义新运算“”，对于任意实数都有．例如：．若，则 ． 24．设，则的值为 ． 25．已知，且，则 ． 26．化简下列各式； （1） ；        （2） ；       （3） ；（4） ；         （5） ；           （6） ；（7） ﹔          （8） ； 27．若正方形的边长增加，其面积增加，则该正方形的边长是 ． 28．已知x满足，则的值是 ． 29．计算的结果是 ． 30．若为整数，则能使的值也为整数的是 ． 三、解答题 31．已知：，求代数式的值． 32．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 33． 34．（1）用“<”“>”或“=”填空： _______； ______； ______； ______． （2）观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？你能用一个含有字母a，b的式子表示上述规律吗？ （3）运用你所学的知识说明你发现的规律的正确性． 35．计算： (1)； (2)． 36．已知，求的值． 37．先化简，再求值：，其中．下面是小明的解答过程，请按要求解答下列问题： 解：原式 (1)在小明的解答过程中，出现错误的在第__________处（填序号）； (2)请你写出此题正确的化简过程，并求出当时代数式的值． 38．巧算：． 39．先化简，再求值：，其中． 40．小明在解方程时采用了下面的方法： 由，又有可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解下面的方程： (1)解方程； (2)解方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$