1.3乘法公式--培优题思维拓展 2024−2025学年北师大新版数学七年级下册【同步必刷题】

1.3乘法公式--培优题思维拓展★★★ 2024−2025学年北师大新版数学七年级下册【同步必刷题】 【解析版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．用完全平方公式计算的值，下列变形最恰当的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用完全平方公式进行简便运算，熟练掌握该公式变形是解题关键.把化为即可. 【详解】解：，此时计算最简便； 故选B 2．下列多项式相乘，不能运用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据公式的左边的形式，判断能否使用． 【详解】解：A、两个括号中，含m的项相同，n符号相反，故能使用平方差公式，不符合题意； B、两个括号中，n相同，m的符号相反，故能使用平方差公式，不符合题意； C、两个括号中，含m的项不同，含n的项不同，故不能使用平方差公式，符合题意； D、两个括号中，含m项的符号相同，n项的符号相反，故能使用平方差公式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．平方差公式：． 3．若，下列等式：①  ②  ③  ④  ⑤，其中错误的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】利用完全平方公式 以及平方差公式， 进行逐一判断即可． 【详解】解：故①说法正确； 故②说法错误； 故③说法正确，④说法错误； ，故⑤说法正确； 错误的有2个， 故选C． 【点睛】本题主要考查了乘法公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 4．图1是长为，宽为的一个长方形，将其进行分割，剪拼，得到如图2所示的大正方形．通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得拼成小正方形中与原来图形面积相等的是；结合原来是一个长为，宽为长方形，计算其面积，根据面积不变性质，建立等式解答即可． 本题考查了平方差公式的几何意义，及其应用，正确理解意义，灵活应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意，根据题意，得拼成小正方形中与原来图形面积相等的是；结合原来是一个长为，宽为长方形， 根据面积不变性质，建立等式得． 故选：D． 5．下面计算正确的是（    ） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 【答案】C 【分析】根据代数式的特点，利用平方差公式进行求解即可． 【详解】 故选C． 【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． 6．下列计算中，正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以（除以）单项式，平方差公式，多项式除以单项式，根据单项式乘以（除以）单项式，平方差公式，多项式除以单项式运算法则逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：故运算正确，符合题意； 故运算错误，不符合题意； 故运算错误，不符合题意； 故运算错误，不符合题意； 综上可知：运算正确，共个， 故选：． 7．关于m的一元二次方程的一个根为2，则的值是（    ） A．25 B．26 C．27 D．1 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程的解得到，然后方程两边同时除以n得到，再利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵关于m的一元二次方程的一个根为2， ∴即， ∴， ∴， ∴， ∴即， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 8．如果分式化简后的结果是，则A表示的整式（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通分合并，利用除法法则被除式与除式以及商的关系，可得，利用比较法得出结论即可． 【详解】解：， =， =， =， ∴， ∴． 故选择A． 【点睛】本题考查分式的化简计算，平方差公式，掌握被除式与除式以及商的关系是解题关键． 9．如图，由4个全等的小长方形与一个小正方形密铺成一个大的正方形图案，该图案的面积为100，里面的小正方形的面积为16，若小长方形的长为a，宽为b，则下列关系式中：①；②；③；④，正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】能够根据大正方形和小正方形的面积分别求得正方形的边长，再根据其边长分别列方程，根据4个矩形的面积和等于两个正方形的面积差列方程． 【详解】①大正方形的边长为a+b，面积为100 故①正确 ②小正方形的边长为a-b，面积为16 故②正确 ③ 故③错 ④ 故④正确 故选C 【点睛】此题考查了平方差公式、完全平方公式及数形结合的应用，关键是能够结合图形和图形的面积公式正确分析，对每一项进行分析计算，进而得出结果． 10．某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算：（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】把原式前面乘，进一步利用平方差公式计算即可； 【详解】解：原式= =2． 故选：D． 【点睛】此题考查平方差公式，掌握平方差公式的灵活运用是解决问题的关键． 二、填空题 11．已知，，则 ． 【答案】2 【分析】先分解因式得：，再代入求值即可． 【详解】解：，， ，即． ． 故答案是：2． 【点睛】本题考查了平方差公式，属于基础题． 12．观察下面图形，你能利用图中面积的相等关系写出一个你熟悉的公式吗？ 答： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积的计算，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据题意，大正方形的边长为，其面积等于，等于边长为的正方形的面积加上长、宽为的两个长方形的面积加上边长为的正方形的面积，由此即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 13．（1） ；（2） ； （3）( )；（4） ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的结构特点是解本题的关键． 14．计算： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用平方差公式进行计算即可解答； （2）利用平方差公式进行计算即可解答； （3）利用平方差公式进行计算即可解答． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ． 故答案为：． 15．利用完全平方公式计算： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 ； ； 【分析】本题考查了多项式的乘法-完全平方公式，熟记乘法公式是解本题的关键． （1）用完平方公式式求解即可； （2）用完全平方公式求解即可； （3）用完全平方公式求解好可． 【详解】（1）； （2）； （3）； 故答案为：；；． 16．（1） ； （2） ． 【答案】 【分析】（1）先计算中括号里的完全平方式，整理之后除以后面的单项式即可； （2）先计算括号里的乘方和乘法，再计算多项式除以单项式即可． 【详解】（1） 故答案为：； （2） 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，属于基础题，需要有一定的运算求解能力，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17．如果，则： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 // 【分析】（1）根据可得，即有，，将去括号，再代入计算即可； （2）变形为，将，代入计算即可求解． 【详解】（1） 即：，， ， 故答案为：； （2）根据（1）中可知：，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式法则，根据等式的恒等性得出，是解题的关键． 18．用简便方法计算的结果是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了完全平方公式，先根据完全平方公式进行变形，再求出答案即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 19．若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】14 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，完全平方公式，利用整体代入法是解题关键．由一元一次方程的解的定义得到，再将变形为，代入计算求值即可． 【详解】解：是关于x的一元一次方程的解， ， ， 故答案为：14． 20．计算： ． 【答案】 【分析】直接利用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式=[（x-（2y-3））][x+（2y-3）] =x2-（2y-3）2 =x2-4y2+12y-9 【点睛】本题考查了整式的运算法则，解题的关键是熟练运用熟练应用乘法公式是解题关键．． 21．将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式.若，则x= . 【答案】4 【分析】根据题目中所给的新定义运算方法可得方程 (x-1)（x+1）- (x-1）2=6，解方程求得x即可. 【详解】由题意可得， (x-1)（x+1）- (x-1）2=6， 解得x=4. 故答案为4. 【点睛】本题考查了新定义运算，根据新定义运算的运算方法列出方程是解本题的关键． 三、解答题 22．计算： 【答案】 【分析】先把变形为，再运用平方差公式计算． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题主要考查整式的乘法运算，解题的关键是熟知平方差公式的结构特征． 23．用完全平方公式进行计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是利用完全平方公式进行简便运算，完全平方公式的逆用； （1）把原式化为，再利用完全平方公式计算即可； （2）把原式化为，再利用完全平方公式计算即可， （3）先逆用完全平方公式把原式化为，再进一步的计算即可； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 24．在半径R为的地球仪的表面之外，距赤道拉一条绳子绕地球仪一周，这条绳长比地球仪的赤道的周长多几米？如果在地球赤道表面也同样做，情况又怎样（已知地球半径为，取3.14）？ 【答案】多，如果在地球上这么做，也只长出 【分析】根据周长的计算公式，分别将地球仪的半径和绳子围城圆的半径代入，运用整式的计算法则即可；同理在地球赤道上也是代入公式，运用整式的计算法则计算即可求得． 【详解】解：根据圆的周长公式可得：大圆比小圆周长长为： ， ∴绳长比地球仪的赤道的周长多； 同理：如果在地球上这么做，也周长变化为： ∴如果在地球赤道表面也同样做，绳长比地球的赤道的周长多． 【点睛】题目主要考查整式的乘法的运用，利用周长公式列出相应的代数式进行计算是解题关键． 25．已知x， y为实数， 且 (1)确定 x、y的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，平方差公式，整式的化简求值．熟练掌握二次根式有意义的条件，平方差公式，整式的化简求值是解题的关键． （1）由，可得，，可求，进而可求y的值； （2）进行乘法，然后进行减法计算可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴，； （2）解： ， 将，代入得，原式． 26．先化简，再求值． (1)，其中； (2)，其中； (3)，其中． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了整式混合运算及求值； （1）先利用平方差公式及单项式乘以多项式进行运算，再进行加减运算，代值计算，即可求解； （2）先利用平方差公式、完全平方公式及单项式乘以多项式进行运算，再进行加减运算，代值计算，即可求解； （3）先利用平方差公式、完全平方公式及单项式乘以多项式进行运算，再进行加减运算，代值计算，即可求解； 掌握平方差公式、完全平方公式及运算法则与步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； 当时， 原式； （2）解：原式 ； 当时， 原式； （3）解：原式 ； 当时， 原式． 27．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算，完全平方公式，平方差公式等知识点，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式将原式展开，然后再合并同类项即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式将原式展开，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．如图1，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形，然后将图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是______（用，表示）； (2)请利用你从（1）得出的等式，完成下列各题： ①已知，，则______； ②计算：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，图2阴影部分是长为，宽为的长方形，可表示其面积，由两种方法所求的面积相等可得答案； （2）①根据平方差公式将转化为，再根据，进而求出的值； ②利用平方差公式将原式化为，进而得出即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 由图1、图2的面积相等得，， 故答案为：； （2）解：①， ， 又， ， 故答案为：3； ②原式 ． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 29．知识储备 在求二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的最小值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的右边配方，得 y＝ax2+bx+c ＝a（x2+x）+c ＝a[x2+2•x+（）2﹣（）2]+c ＝a（x+）2+ ∵a（x+）2≥0， ∴当x＝﹣时，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的最小值为． 解决问题 （1）请你通过配方求函数y＝x2+的最小值． （2）你能否通过配方求函数y＝x+（x＞0）的最小值． 数学模型 已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ 【答案】（1）当x＝±1时，函数y＝x2+的最小值为2；（2）当x＝1时，y＝x+（x＞0）的最小值为2；数学模型：该矩形的长为时，它的周长最小，最小值是4． 【分析】(1)根据完全平方公式，进行配方得，即可得到最小值； (2) 根据完全平方公式，进行配方得，即可得到最小值； 数学模型：设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y＝2（x+）（x＞0），根据完全平方公式，进行配方得到y＝2[（﹣）2+2]＝2（﹣）2+4，即可求出答案． 【详解】（1） ＝ ＝ ∵， ∴当x＝±1时，函数y＝x2+的最小值为2； （2）y＝x+ ＝ ＝（）2+（）2﹣2+2 ＝（﹣）2+2， ∵（﹣）2≥0， ∴当﹣＝0时，即x＝1时，y＝x+（x＞0）的最小值为2； 数学模型：设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y＝2（x+）（x＞0）， y＝2（x+）＝2[（﹣）2+2]＝2（﹣）2+4， 当﹣＝0时，即x＝，y有最大值4， ∴该矩形的长为时，它的周长最小，最小值是4． 【点睛】本题主要考查对完全平方公式，二次函数的最值，配方法的应用，能熟练地运用学过的性质进行计算是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$1.3乘法公式-培优题思维拓展★★★ 2024-2025学年北师大新版数学七年级下册【同步必刷题】 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.用完全平方公式计算79.82的值，下列变形最恰当的是（) A.(79+0.8) B.(80-0.2) C.(100-20.2) D.(70+9.8) 2.下列多项式相乘，不能运用平方差公式计算的是() A.(2m-n)(n+2m) B.(-m+n)(m+n) C.(2n-m)(2m-n) D.(-m-n)(-m+n) 3.若x≠y,下列等式：①(-x-y)2=(y+x)2②(x-y)2=-(y-x)2③(y-x)3=-(x-y)3④ (x-y)3=(y-x)3⑤(-x+y(-x-y)=x2-y2,其中错误的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.图1是长为a+b),宽为a-b)的一个长方形，将其进行分割，剪拼，得到如图2所示 的大正方形.通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是() ath 图1 图2 A.a'-b2=(a+b)(a-b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a-b12=a2-2ab+b2 D.（a+bj(a-b=a2-b 5.下面计算(-7+a+b)(-7-a-b)正确的是() A.原式=[-7+(a+b)[-7-(a+b)】=-72-(a+b) B.原式=[-7+(a+b)][-7-(a+b)】=72+(a+b) C.原式=[-(7-a-b)[-(7+a+b】=72-(a+b) 试卷第1页，共3页 D.原式-[-(7+a)+b][-(7+a)-b]-(7+a)2-b2 6.下列计算中，正确的个数有() @32(-2)=-6c@8-传4@+0-=-1@ 12xy2-4x3y2+8x2yj÷(-2xy)=-6x'y2-2x2y+4x A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.关于m的一元二次方程万m-m-2=0的一个根为2，则n2+n2的值是() A.25 B.26 C.27 D.1 8.如果分式4 2+,4化简后的结果是x+2,则4表示的整式() A.x2 B.x2+4x+8 C.x2-8 D.-x2 9.如图，由4个全等的小长方形与一个小正方形密铺成一个大的正方形图案，该图案的面 积为100，里面的小正方形的面积为16，若小长方形的长为a,宽为b,则下列关系式中： ①a2+2ab+b2=100:②a2-2ab+b2=16；③a2+b2=56:④a2-b2=40,正确的有() 个 +b a A.1 B.2 C.3 D.4 10.某同学在计算3(4+1)川42+1)时，把3写成4-1后，发现可以连续运用两数和乘以这两 数差公式计算：3(4+1)42+1=(4-1)(4+1)42+1=(42-1)川42+1=162-1=255.请借鉴该 同学的经验，计算： *京《) A.2-2 B.2+20 C.1 D.2 二、填空题 试卷第1页，共3页 11,己知m2-n2=10,m+n=5,则m-n=一 12.观察下面图形，你能利用图中而积的相等关系写出一个你熟悉的公式吗？ 答： a +因 ab 13.(1)(3m+2n)2=(2) (3)( )2=m2+8m+16;(4) (t50-3-_ 14.计算： (1)(-3x2+y2)y2+3x2）= 2(传+j0店 3(++》 15.利用完全平方公式计算： (2)(-3x-4y)2= (3)(ab-1(-ab+1= 16.(1)[(2x+y)2-y+4x)-8x]÷2x= 2)[-a-a(-a]+(-a)= 17.如果(c+ax+b)=x2-5x+7则： (1)(a-2)6-2)的值为_： 2)子+京+1的值为一 18.用简便方法计算20252-4050×2024+20242的结果是 19.若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2h-1的 值是 试卷第1页，共3页 20.计算：(x-2y+3川x+2y-3到一 21.将4个数a,b,c,d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 定义 a b c d =ad-bc,上述记号就叫做2阶行列式若 -1x-=6,则x x-1x+ 三、解答题 22.计算：（x+5yj5y-x) 23.用完全平方公式进行计算： (1)4992: @ 3)(a+3)2(a2-6a+9). 24.在半径R为0.5m的地球仪的表面之外，距赤道1m拉一条绳子绕地球仪一周，这条绳长 比地球仪的赤道的周长多几米？如果在地球赤道表面也同样做，情况又怎样（已知地球半径 为6370km,π取3.14)？ 25.已知x,y为实数，且y=√x-1+√-x-2. (1)确定x、y的值： (2)求代数式(2x-yx+y)-(x+(x-y的值. 26.先化简，再求值 0--+-引，其中x= 试卷第1页，共3页 (2)x+2+(2x+)(2x-1-4x(x+,其中x=2; 8a+3-a+0a--22a+4,其中a=号 27.计算： (1)2m+3n2-(2m+n)(2m-m: (2)2(x-y)2-(2x+6y川x-3y). 28.如图1，边长为的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1中的阴影部分 拼成一个长方形（如图2所示）. 图1 图2 (1)上述操作能验证的等式是 (用a,b表示)： (2)请利用你从(1)得出的等式，完成下列各题： ①已知9a2-b2=27,3a+b=9,则3a-b= ②计算： - 29.知识储备 在求二次函数y=a2+b+c(a>0)的最小值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到.把 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的右边配方，得 y=ax2+bx+c =a (x+bx)+c a =tr242.6 b 2a1 b)c =a (tb)24c 2a b a (x+- )≥0， 2a ·当x= 时，二次函数)y=m+x+c(a>0)的最小值为4c-B 2a 试卷第1页，共3页 解决问题 (1)请你通过配方求函数y=x2+的最小值。 (2)你能否通过配方求函数y=x+二(x>0)的最小值. 数学模型 己知矩形的面积为a(a为常数，a>0),当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是 多少？ 试卷第1页，共3页