精品解析：河南省南阳市社旗县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024年秋期八年级期终教学质量评估试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. －l B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数的大小比较法则，比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴最小的数是-1． 故选：A 【点睛】本题考查实数的大小比较，负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小． 2. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ，解得． 故选：A． 3. 下列各式中，运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式，根据合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式法则逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】、与不可以合并，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是单项式的乘除运算，多项式的乘法运算，完全平方公式的应用，根据完全平方公式，单项式乘法与除法运算法则，同底数幂的乘法，单项式乘以多项式的运算法则逐一分析即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，故该选项不符合题意；        B、，原式计算正确，故该选项符合题意；        C、，原式计算错误，故该选项不符合题意；  D、，原式计算错误，故该选项不符合题意；  故选：B． 5. 分解因式：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键． 将先提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故选：A． 6. 八年级（2）班的数学兴趣小组开展了设计伞的实践活动．小康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，，E，F分别是的中点，，那么判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．由E，F分别是，的中点，得出；根据三边对应相等，证明三角形全等． 【详解】解：∵E，F分别是的中点，， ∴， 在与中， ， ∴． 故选：A． 7. 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解： 如图， ∵是等腰底边上的高， ∴平分， ∴点F到直线，的距离相等， ∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：C． 8. 下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ） A. 有两个角等于的三角形 B. 一边上的中线也是这条边上的高的三角形 C. 有一个角等于的等腰三角形 D. 三个外角都相等的三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】A、有两个角是的三角形是等边三角形，故此选项不符合题意； B、一边上的中线也是这条边上的高的三角形不一定是等边三角形，故此选项符合题意； C、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故此选项不符合题意； D、三个角都相等的三角形是等边三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟知等边三角形的判定定理． 9. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可． 【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． 10. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 12. 与的公因式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据确定公因式的确定方法：系数取最大公约数；字母取公共字母；字母指数取最低次的，即可解答． 【详解】解：根据确定公因式的方法，可得与的公因式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了公因式的确定，掌握确定公因式的方法是解题的关键． 13. 某校参加数学节的学生人数统计图如图所示，若参加说题比赛的学生有60人，则参加解题比赛有______人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，求出本次参加数学节的学生总人数．首先根据说题的人数与占比求出参加数学节的总人数，再用解题的占比乘以总人数即可得解． 【详解】解：∵参加说题比赛的学生有人，所占比例为， ∴参加数学节的学生人数为：（人） ∴参加解题比赛的人数为：（人） 故答案为：. 14. 如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是_____． 【答案】##18米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，作出直角三角形，利用勾股定理求解即可得到答案，由题意构造出直角三角形求解是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，、， 在中，由勾股定理可得， 这棵大树在折断之前的高是， 故答案为：． 15. 如图，点D是内的定点且，若点C、E分别是射线、上异于点A的动点，且周长的最小值是2时，的度数是________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质和判定，作D点分别关于、的对称点G、H，连接分别交、于、，连接，，利用轴对称的性质得，利用两点之间线段最短判断此时周长最小为，可得是等边三角形，进而可得的度数．熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题． 【详解】解：如图，作D点分别关于、的对称点G、H，连接分别交、于、，连接，， 此时周长最小为， 根据轴对称的性质，得，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）计算： 【答案】（1）3；（2）1 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，利用平方差公式进行简便运算； （1）先计算立方根，算术平方根，绝对值，再合并即可； （2）把原式化为，再计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是利用完全平方公式计算与分解因式，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把，代入因式分解后的结果中计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 18. 近年来，我国肥胖人群的规模快速增长，目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出名男生、名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的数值，再参照数值标准分成四组：．；．；．；．．将所得数据进行收集、整理、描述．收集数据 七年级名男生数据统计表 编号 身高（） 体重（） 七年级名女生数据统计表 编号 身高（） 体重（） 整理、描述数据 七年级名学生频数分布表 组别 男生频数 女生频数 应用数据 （1）_____，_____； （2）已知该校七年级有男生人，女生人． 估计该校七年级男生偏胖的人数； 估计该校七年级学生的人数． （3）根据以上统计数据，针对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议． 【答案】（1）， （2）人；人 （3） 答案不唯一，言之有理即可，如：对学校学生进行合理、健康的饮食习惯的培养，加强体育锻炼． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，扇形统计图以及用样本估计总体，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）用减去其他组男生的频数可得的值，用乘组人数所占比例可得的值； （2）利用样本估计总体即可； （3）建议合理即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：估计该校七年级男生偏胖的人数有：（人）； 估计该校七年级学生的人数有：（人）； 【小问3详解】 略 19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E、D，AD＝2.6cm，DE＝1.2cm，求BE的长． 【答案】1.4cm． 【解析】 【分析】首先，由题意可知∠BEC＝∠CDA＝90°，∠BCE和∠ACE、∠ACE和∠DAC互余，从而可得∠BCD＝∠DAC；接下来，利用AAS可推得△CEB≌△ADC，故CE＝AD，BE＝CD，结合CD=CE-DE即可求出BE的长. 【详解】∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠BEC＝∠CDA＝90°． ∴∠ACD+∠DAC＝90°．∠ACD+∠BCD＝90°． ∴∠BCD＝∠DAC． 在△CEB 和△ADC中 ∴△CEB≌△ADC（AAS）． ∴CE＝AD＝2.6cm， ∴BE＝CD＝CE﹣DE＝2.6cm﹣1.2cm＝1.4cm． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的判定定理是解题的关键. 20. 如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理，并能灵活运用是解题的关键； 在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理说明是直角三角形，最后求四边形的面积． 【详解】，，， ，， ，， ， 是直角三角形，且， ， 四边形的面积． 21. 求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．请你完善图形（不要求尺规作图）后写出已知、求证并进行证明． 已知： 求证： 证明： 【答案】 已知：如图，是中边的中线，． 求证：是直角三角形． 证明：∵是中边的中线， ∴． ∵， ∴． ∴．． ∵在中，， ∴． ∴． ∴． ∴． 即是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据是中边的中线，．得，再结合等边对等角，得，，根据三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】略 22. 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：是等腰三角形或直角三角形，理由如下． 或 或 是等腰三角形或直角三角形． 【解析】 【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的定义，勾股定理逆定理，正确分组分解得出是解题关键． （1）先将前三项进行完全平方公式因式分解，再进行平方差公式因式分解； （2）将原式进行分组和，然后利用平方差公式、提取公因式进行分解． 【小问1详解】 解 ； 【小问2详解】 略 23. 【教材呈现】如下，是华师版八年级上册69页的部分内容，请你阅读并填空． 例4如图13.2.13，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点E．求证：． 证明∵（已知）， ，（两直线平行，内错角相等）． 在与中， ，（已证），（已知）， ， （全等三角形的对应边相等）． （1）在上述证明过程中能得到，依据是_____． 【尝试变编】在变编环节，聪聪编题如下： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 如下是明明的解决方法：延长到，使，连接．请根据明明的方法填空： （2）的取值范围是_____． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【尝试运用】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且，若，，求线段的长． （4）如图3，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接，请直接写出线段，，三者之间的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理结合证明过程即可得解； （2）延长到，使，连接，证明，得出，再由三角形三边关系即可得解； （3）由题意可得，，得出，延长至，使得，连接，证明，得出，，再证明，即可得解； （4）延长，使得，连接、，由题意可得垂直平分，推出，证明，得出，，求出，再由勾股定理即可得解． 【详解】解：（1）由题意可得：在上述证明过程中能得到，依据是； （2）延长到，使，连接． ， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵，，， ∴，， ∴， 如图，延长至，使得，连接， ， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （4）如图，延长，使得，连接、， ， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期八年级期终教学质量评估试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. －l B. 0 C. 1 D. 2. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 分解因式：（ ） A. B. C. D. 6. 八年级（2）班的数学兴趣小组开展了设计伞的实践活动．小康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，，E，F分别是的中点，，那么判定的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 8. 下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ） A. 有两个角等于的三角形 B. 一边上的中线也是这条边上的高的三角形 C. 有一个角等于的等腰三角形 D. 三个外角都相等的三角形 9. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 16的算术平方根是___________． 12. 与的公因式为________． 13. 某校参加数学节的学生人数统计图如图所示，若参加说题比赛的学生有60人，则参加解题比赛有______人． 14. 如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是_____． 15. 如图，点D是内的定点且，若点C、E分别是射线、上异于点A的动点，且周长的最小值是2时，的度数是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）计算： 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 近年来，我国肥胖人群的规模快速增长，目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出名男生、名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的数值，再参照数值标准分成四组：．；．；．；．．将所得数据进行收集、整理、描述．收集数据 七年级名男生数据统计表 编号 身高（） 体重（） 七年级名女生数据统计表 编号 身高（） 体重（） 整理、描述数据 七年级名学生频数分布表 组别 男生频数 女生频数 应用数据 （1）_____，_____； （2）已知该校七年级有男生人，女生人． 估计该校七年级男生偏胖的人数； 估计该校七年级学生的人数． （3）根据以上统计数据，针对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E、D，AD＝2.6cm，DE＝1.2cm，求BE的长． 20. 如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 21. 求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．请你完善图形（不要求尺规作图）后写出已知、求证并进行证明． 已知： 求证： 证明： 22. 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 23. 【教材呈现】如下，是华师版八年级上册69页的部分内容，请你阅读并填空． 例4如图13.2.13，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点E．求证：． 证明∵（已知）， ，（两直线平行，内错角相等）． 在与中， ，（已证），（已知）， ， （全等三角形的对应边相等）． （1）在上述证明过程中能得到，依据是_____． 【尝试变编】在变编环节，聪聪编题如下： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 如下是明明的解决方法：延长到，使，连接．请根据明明的方法填空： （2）的取值范围是_____． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【尝试运用】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且，若，，求线段的长． （4）如图3，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接，请直接写出线段，，三者之间的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $