精品解析：江苏省镇江市丹阳市2024-2025学年高一下学期3月质量检测数学试题

高一3月质量检测卷∙数学学科 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选释题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式即可得解. 【详解】 . 故选：D. 2. 在中，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得. 【详解】在中，由，得，则， 所以. 故选：A 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用两角和正切公式计算即可. 【详解】因为，则. 故选：B. 4. 已知向量.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用坐标计算，再利用数量积即可求. 【详解】因，则， 因，，则， 得. 故选：C 5. 已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据投影向量公式求出，再代入向量夹角公式求出夹角. 【详解】已知，则. 因为在上的投影向量为，且投影向量的坐标为，所以. 将，代入上式可得：，即，那么，解得.  设向量与的夹角为，，可得：. 因为，且，所以.  则向量与的夹角为. 故选：A. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和差的正余弦公式展开化简即可. 【详解】因， ， 可得， 则. 故选：D. 7. 已知，其中且，其中，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将角度拆则分，，利用两角和差的正弦公式展开整理后，结合商数关系即可得 【详解】∵， ∴， ， 整理得：， 由于，，所以，， 左右同时乘以，则，即. 故选：B. 8. 已知中，，若所在平面内一点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将化简得出点的位置，再以为基底表示，利用数量积计算即可. 【详解】取线段中点，则，则，则为线段的中点， ， 则， 则 . 故选：C. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二倍角的正切公式可求A；利用同角三角函数的基本关系以及二倍角正弦公式可求B；利用二倍角的余弦公式可求解C；利用二倍角的余弦公式可求解D； 【详解】对于A：因为， 所以原式， A不符合； 对于B：原式 ，B符合； 对于C：原式 ，C符合； 对于D：原式，D符合. 故选：BCD. 10. 下列结论中正确的是（ ） A. 若为非零向量，且，则 B. 对向量非零向量，若，则存在唯一实数使得 C. 在中，若，则与的面积之比为 D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】A.利用数量积的运算规律即可；B为共线定理；C通过共线定理构造，再通过面积之间的转化即可；D.向量夹角为锐角则两向量数量积为0且不共线. 【详解】A.若 ，则，则或，故A错误； B.此为共线定理，故B正确； C.令 因， 则，则为的重心，故， 因， 同理可得， 则，故C正确； D. ，当与共线时，有，得， 因与的夹角为锐角，则且与不共线，则且，故D错误； 故选：BC. 11. 如图，在平面四边形中，已知为的中点，为对角线的中点，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. 直线一定过的中点 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用中点信息构造平行四边形，再利用即可求解化简. 【详解】连接，因分别为的中点， 则，， 则四边形是平行四边形，故C正确； 则，则A选项正确； ，则，则B选项错误； D.，则，故D正确. 故选：ACD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 已知，且是第一象限角，那么__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得，然后利用两角和与差的三角公式求解即可. 【详解】因为为第一象限角，则， 所以， 又，所以， ， 故答案为：. 13. 在中，已知，点是的中点，点在上，且，则__________. 【答案】#### 【解析】 【分析】根据已知结合平面向量基本定理分别表示，再应用平面向量数量积公式计算求解即可. 【详解】在中，因为点是的中点，点在上，且， 则， 则 . 故答案为：. 14. 式子的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先应用二倍角余弦公式，正弦公式及切化弦化简求出，再结合两角和正弦公式计算化简即可. 【详解】 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是平面内两个不共线的向量，. （1）若三点共线，求实数的值； （2）若四边形为平行四边形，点，且，求点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用共线定理得，建立方程组即可求解； （2）利用相等向量即可. 【小问1详解】 . 因为三点共线，所以存在实数，使得， 即，得. 因为是平面内两个不共线的非零向量， 所以，解得. 【小问2详解】 设，则； 因为，则， 因为四边形为平行四边形，所以. 所以，解得， 即点的坐标为. 16. 已知角，且. （1）求的值； （2）求角的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及齐次化思想即可求解；或先求，再利用二倍角公式； （2）通过求解的值及角的范围即可；或计算即可发现两角之间的关系. 【小问1详解】 法一：由， 则, 所以， 解得：或， 又，则，所以， 所以. 法二：因为，所以， 又，则， 则，所以，即， 又，则，即， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 法一：因为①，② 由①②得：， 所以 又，则， 所以. 法二：则， 所以. 由， 则， 由，则， 又在上为单调递增函数， 所以，故. 17. 在平面直角坐标系中，向量，其中. （1）若，求角的值； （2）记，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标关系列出等式，通过三角函数公式化简求解的值；（2）先求出的表达式，再根据已知条件求出的值，最后通过换元法求出的值. 【小问1详解】 因为，则 化简得：，即 又，即， 所以，即. 【小问2详解】 由 由，即， 令，则，即 则 18. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记， （1）请用来表示平行四边形的面积； （2）若. ①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值； ②记（其中），求的取值范围. 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线，在，中利用三角函数值表示边长，即可表示出四边形的面积； （2）①运用三角恒等变换和三角函数的性质计算关于的三角函数的最值即可；②通过建系，得出点的坐标，利用的三角函数来表示，再由三角函数的性质即可求得的范围. 【小问1详解】 过点作的垂线，垂足为，在中，， 在中，，则， 所以， 所以 【小问2详解】 ①若，由题意可得， 由（1）知： 故平行四边形的面积 由于，故， 故当时，即时，取得最大值为. ②根据题意，建立如图所示的坐标系，则，即 又，则 因，即， 则，， 解得：，， ， 由点是弧上一动点，则，则， 所以即. 则的取值范围为. 19. 如图，在中，.若点分别在边上，且满足，直线与相交于点. （1）求的最小值； （2）当时. ①求的值； ②计算的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用基底法表示向量，则可得关于的函数表达式，求函数最小值即可； （2）①通过几何法，过点作的平行线，利用三角形的相似可得；或通过平面向量基本定理及算两次思想表示，即可求得； ②利用基底法表示向量，再利用求模公式计算. 【小问1详解】 由， 又， 所以 又点在边上，则且，解得： 所以当时，. 【小问2详解】 ①法一：过点作的平行线，交于点， 当时，， 则，即，又， 则在中，； 法二：由三点共线，则存在实数，使得， 则； 又三点共线，则存在实数，使得， 则， 又是不共线的向量，由平面向量基本定理得：， 解得：， 所以，即； ②由①可知， 所以， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一3月质量检测卷∙数学学科 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选释题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等于（ ） A. B. C. D. 2. 在中，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 5. 已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，其中且，其中，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 已知中，，若所在平面内一点满足，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论中正确的是（ ） A. 若为非零向量，且，则 B. 对向量非零向量，若，则存在唯一实数使得 C. 在中，若，则与的面积之比为 D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11. 如图，在平面四边形中，已知为的中点，为对角线的中点，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. 直线一定过的中点 D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 已知，且是第一象限角，那么__________. 13. 在中，已知，点是的中点，点在上，且，则__________. 14. 式子的值为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是平面内两个不共线的向量，. （1）若三点共线，求实数的值； （2）若四边形为平行四边形，点，且，求点的坐标. 16. 已知角，且. （1）求的值； （2）求角的值. 17. 在平面直角坐标系中，向量，其中. （1）若，求角的值； （2）记，若，求的值. 18. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记， （1）请用来表示平行四边形的面积； （2）若. ①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值； ②记（其中），求的取值范围. 19. 如图，在中，.若点分别在边上，且满足，直线与相交于点. （1）求的最小值； （2）当时. ①求的值； ②计算的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $