精品解析：浙江省余姚市2024—2025学年上学期九年级数学期末考试卷

余姚市2024-2025学年第一学期初中期末考试 九年级数学 温馨提示： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3．考试期间不能使用计算器． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币，正面向上 B. 有一匹马奔跑的速度是70米/秒 C. 射击运动员射击一次，命中10环 D. 在标准大气压下，气温为时，冰能熔化为水 3. 一个正多边形的每个内角为120°，则这个正多边形的边数是（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 如图，内接于，连结，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向下平移个单位后，得到的图象经过原点，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ） A. B. C. D. 7. 在中，斜边，其重心与外心之间的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 如图，在中，，，．以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，点恰好落在边上，与交于点，则长为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象与轴的交点为和，且，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 综合与实践课上，“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小宁同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点，又在边上任取一点，再将沿折叠得到，连结，小宁同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在边上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②的最大值为24； ③的最小值为16； ④达到最小值时，．上述结论中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 写出一个函数图象开口向上的二次函数的解析式______． 12. 已知，的值为______． 13. 一名职业篮球运动员经过大量投篮训练，其投篮命中的频率稳定在常数0.8附近，由此可估计该运动员投篮200次，命中的次数约为________次． 14. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，弧是以O为圆心，为半径的圆弧，点C是弦的中点，，D在弧上．“会圆术”给出弧的弧长的近似值s的计算公式：．当，时，__________． 15. 定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．已知抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，则________． 16. 如图，在菱形中，，点在边上，，连结交对角线于，点在线段上，连结，，若，，则________，________． 三、解答题（第17~21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共72分） 17. 已知二次函数，在下面的三组条件中选一组，的值，使这个二次函数图象与轴有两个不同的交点． ①，；②，；③，． （1）请选出符合条件的一组，的值，求出函数图象与轴交点的坐标． （2）求所选二次函数图象的顶点坐标． 18. 不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率是 ； （2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次都摸到白球的概率． 19. 在的方格纸中，请按下列要求作出格点三角形（顶点均在格点上）． （1）在图1中作出将以点为旋转中心，按顺时针旋转所得的图形． （2）在图2中画出一个与相似的三角形（相似比不为1）． 20. 如图，四边形为平行四边形，点在延长线上，连接，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 21. 近期，动漫形象“奶龙”在网络上爆火．某网店销售一款“奶龙”公仔，每个的进价为20元，在销售过程中调查发现，当销售单价为30元时，每周平均可卖出120个．如果调整销售单价，每涨价1元，每周平均少卖出4个．若现提价销售，设销售单价提高元，每周的销售利润为元． （1）求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少时，该网店每周的利润最大？并求出最大利润． 22. 如图，以的边为直径的交边于点D，交的延长线于点E，且． （1）求证：． （2）若，，求阴影部分的面积． 23. 已知二次函数（为常数且）． （1）若二次函数的图象经过点，求二次函数的表达式． （2）若，当时，此二次函数随着的增大而减小，求的取值范围． （3）若二次函数在时有最小值，求的值． 24. 如图，内接于，的角平分线交于点，交于点，点在边上，且． （1）求证：． （2）求证：． （3）若，点是的黄金分割点，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 余姚市2024-2025学年第一学期初中期末考试 九年级数学 温馨提示： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3．考试期间不能使用计算器． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：当时，， 抛物线与轴的交点坐标是． 故选：D． 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币，正面向上 B. 有一匹马奔跑的速度是70米/秒 C. 射击运动员射击一次，命中10环 D. 在标准大气压下，气温为时，冰能熔化为水 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件、必然事件、不可能事件的特点是解题的关键． 根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、抛掷一枚硬币，正面向上，属于随机事件，故此选项不符合题意； B、有一匹马奔跑的速度是70米/秒，属于随机事件，故此选项不符合题意； C、射击运动员射击一次，命中10环，属于随机事件，故此选项不符合题意； D、在标准大气压下，气温为2℃时，冰能熔化为水，属于必然事件，故此选项符合题意．   故选：D ． 3. 一个正多边形的每个内角为120°，则这个正多边形的边数是（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据内角度数计算出外角度数，再利用多边形的外角和定理求解即可． 【详解】解：∵正多边形的每个内角都等于120°， ∴正多边形的每个外角都等于180°-120°=60°， 又∵多边形的外角和为360°， ∴这个正多边形的边数是360°÷60°=6． 故选：B． 【点睛】本题考查多边形的内角与外角，关键是掌握内角与外角互为邻补角． 4. 如图，内接于，连结，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：由圆周角定理得：， ∵， ∴， 故选：D． 5. 将抛物线向下平移个单位后，得到的图象经过原点，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握 “上加下减”是解题的关键． 先得到平移后的解析式为，再将原点坐标代入即可求解． 【详解】解：∵将抛物线向下平移个单位 ∴平移后的解析式为：， ∵得到的图象经过原点， ∴， 解得：， 故选：C． 6. 凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几． 【详解】解：∵， ， ， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即 ∴物体被缩小到原来的． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行解答是解题的关键． 7. 在中，斜边，其重心与外心之间的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的重心和三角形的外心．掌握直角三角形的外心是斜边的中点是解题的关键．根据直角三角形的外心是斜边的中点和直角三角形斜边中线的性质可求出，再根据重心的性质求解即可． 【详解】解：如图，点D为外心，点O为重心， ∵直角三角形的外心是斜边的中点， ， ∵点O为的重心， ， 重心与外心之间的距离为3． 故选B． 8. 如图，在中，，，．以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，点恰好落在边上，与交于点，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明是等边三角形，如图，过作于，可得，，求解，可得，证明，再进一步求解即可． 【详解】解：由旋转得，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 如图，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】此题考查旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键． 9. 二次函数的图象与轴的交点为和，且，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与轴的交点为和，且，可得对称轴直线，从而得出；根据抛物线与x轴有两个交点，从而得出，可得出；根据，，得出时，，从而得出；当时和时两种情况可以判断D． 本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，能够从函数图象获取信息，结合函数解析式、判别式、对称轴的性质解题是关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点为和，且， ∴，， ∴，故A错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故B错误； ∵，， ∴当时，，即， ∴，故C正确； 当时，，即； 当时，，即；故D错误． 故选：C． 10. 综合与实践课上，“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小宁同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点，又在边上任取一点，再将沿折叠得到，连结，小宁同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在边上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②的最大值为24； ③的最小值为16； ④达到最小值时，．上述结论中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），勾股定理．根据折叠的性质得到，根据圆的定义得到点在以N为圆心，为半径的圆上，故①正确；连接，根据勾股定理得到，根据三角形的三边关系得到，，结合点M在上，判断②③正确；根据勾股定理即可判断④正确． 【详解】解：如图1，连接， ∵将沿折叠得到， ∴， ∵点N为的中点，， ． ∴当点M在边上运动时，点在以N为圆心的圆弧上运动， 故①正确； 在中，， ∵， ∴， ∴的最小值为16， 故③正确； ∵，且M在上， ∴， ∴的最大值为24， 故②正确； 如图2， 当共线时，的值最小，最小为； ∴， 设，则，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即， 故④正确， 综上，结论中正确的个数4个， 故选：D． 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 写出一个函数图象开口向上的二次函数的解析式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，根据，抛物线开口向上即可求解，掌握二次函数图象的特征是解题的关键． 【详解】解：∵时，抛物线开口向上， ∴函数图象开口向上的二次函数的解析式可以为， 故答案为：． 12. 已知，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意可设，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由可设， ∴； 故答案为． 13. 一名职业篮球运动员经过大量投篮训练，其投篮命中的频率稳定在常数0.8附近，由此可估计该运动员投篮200次，命中的次数约为________次． 【答案】160 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率的知识．根据投篮命中的频率乘以总次数即可得出答案． 【详解】解：由投篮命中的频率稳定在常数0.8附近， ∴投中的次数约为：（次）， 故答案为：160． 14. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，弧是以O为圆心，为半径的圆弧，点C是弦的中点，，D在弧上．“会圆术”给出弧的弧长的近似值s的计算公式：．当，时，__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等．根据题意连接，继而得，设圆的半径为r，则，再利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接，如图： ， 是的弦中点，， ， ，D，O共线， ， ， 设圆的半径为r，则， 在中，根据勾股定理，得， 即，解得， ， ． 故答案为：． 15. 定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．已知抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与轴交点问题，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念． 求出抛物线与轴交点为和，代入求得，据此求解即可． 【详解】在中，令得 解得或， 抛物线与轴交点为和， 把和代入得： ， 解得， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，点在边上，，连结交对角线于，点在线段上，连结，，若，，则________，________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的性质即可求出；过P作交于G，证明，可得到，则，以及，设，则，，，证明，可求出，过D作于M，则，根据正弦和余弦定义求出，，则，在中，根据勾股定理可得出，解方程求出或（此时，故舍去），然后整体代入求解即可． 【详解】解：在菱形中，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 过P作交于点G， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 过D作于M， 则， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 整理得， 解得或（此时，故舍去） ∴， 故答案为：3；． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、菱形的性质、解直角三角形、勾股定理、因式分解法解一元二次方程等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 三、解答题（第17~21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共72分） 17. 已知二次函数，在下面的三组条件中选一组，的值，使这个二次函数图象与轴有两个不同的交点． ①，；②，；③，． （1）请选出符合条件的一组，的值，求出函数图象与轴交点的坐标． （2）求所选二次函数图象的顶点坐标． 【答案】（1）符合条件的为②，函数图象与轴的两个交点坐标为， （2）函数图象的顶点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质． （1）利用根的判别式的意义得到，再分别对三组数据进行判断，从而确定，；再求函数图象与轴交点的坐标即可， （2）把一般式配成顶点式得到此时抛物线的顶点坐标． 【小问1详解】 解： 二次函数图象与轴有两个不同的交点， ∴， 当，时，，不合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，不合题意； 则符合条件的为②，此时函数表达式为． 令，解得． 函数图象与轴的两个交点坐标为，． 【小问2详解】 ， 函数图象的顶点坐标为． 18. 不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率是 ； （2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次都摸到白球的概率． 【答案】（1） （2）两次摸出的球都是白球的概率为 【解析】 【分析】本题主要考查用列表法进行求解概率． （1）根据概率公式可直接进行求解； （2）根据列表法可进行求解概率． 【小问1详解】 解：由题意可得摸到白球的概率为； 故答案为； 【小问2详解】 解：由题意可列表如下： 白1 白2 红 白1 √ √ 白2 √ √ 红 ∴两次摸出球的情况总共有9种，其中两次摸出的球都是白球有4种情况， ∴两次摸出的球都是白球的概率为． 19. 在的方格纸中，请按下列要求作出格点三角形（顶点均在格点上）． （1）在图1中作出将以点为旋转中心，按顺时针旋转所得的图形． （2）在图2中画出一个与相似的三角形（相似比不为1）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图相似变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握相似变换、旋转变换的性质． （1）根据要求作出图形； （2）为底边为2，高为2的等腰三角形，因此可以利用格点构造一个底边为4，高为4的等腰三角形，此时相似比为2． 【小问1详解】 解：如图，为所求作的三角形． 【小问2详解】 解：如图，为所求作的三角形． 20. 如图，四边形为平行四边形，点在延长线上，连接，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，因为，所以，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，根据相似的性质即可解答． 【小问1详解】 证明：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， 的长是. 21. 近期，动漫形象“奶龙”在网络上爆火．某网店销售一款“奶龙”公仔，每个的进价为20元，在销售过程中调查发现，当销售单价为30元时，每周平均可卖出120个．如果调整销售单价，每涨价1元，每周平均少卖出4个．若现提价销售，设销售单价提高元，每周的销售利润为元． （1）求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少时，该网店每周的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）当销售单价定为40元时，每周利润最大为1600元 【解析】 【分析】（1）设销售单价提高x元，则每组销售量为个，单个公仔利润为元，根据题意列出式子即可； （2）函数开口向下，存在最大值，根据顶点表示的含义进行计算即可求解． 该题主要考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 【小问1详解】 解：设销售单价提高x元，则每组销售量为个，单个公仔利润为元． ∴每组销售利润． ∵售量不能为负， ∴． 答：； 【小问2详解】 函数，开口方向向下，对称轴为 故时，利润最大，最大利润， 此时销售单价为元． 当销售单价定为40元时，每周利润最大为1600元． 22. 如图，以的边为直径的交边于点D，交的延长线于点E，且． （1）求证：． （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， 又，， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理及推论和扇形的面积公式是解题的关键， （1）连接，利用圆周角定理可得，，从而可推出，证得为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得； （2）连接、，由圆周角定理的推论可得，从得到，，再根据（1）中等腰三角形的性质可得，利用三角形外角的性质得，进而可证得是等边三角形，故可得，再利用代入即可算出阴影部分的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接、， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， . 23. 已知二次函数（为常数且）． （1）若二次函数的图象经过点，求二次函数的表达式． （2）若，当时，此二次函数随着的增大而减小，求的取值范围． （3）若二次函数在时有最小值，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线，进而根据二次函数的性质可得抛物线开口向下，且当时二次函数随的增大而减小，即得到，据此即可求解； （）分和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线对称轴为直线，且， ∴抛物线开口向下，且当时二次函数随的增大而减小， ∵当时，此二次函数随着的增大而减小， ， ∴； 【小问3详解】 解：当抛物线开口向上时， ∴当时，二次函数有最小值， 则， 解得； 当时，抛物线开口向下， ∴当时，二次函数有最小值， 则， 解得； 综上所述，或． 24. 如图，内接于，的角平分线交于点，交于点，点在边上，且． （1）求证：． （2）求证：． （3）若，点是的黄金分割点，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用两角相等即可证得； （2）连结，利用角平分线的定义和相似三角形的性质证出角相等，再加上公共边即可证得，进而即可得解； （3）分①当和②当时，两种情况讨论即可得解． 【小问1详解】 解： ， . ， ； 【小问2详解】 解：连结． 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：连结． ， ， ， ，， ， ， ， ， ①当时， 是的黄金分割点， ， ， ， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得． ． ②当时， 是的黄金分割点， ，即， ， ， ， 在上截取，则有， ， ， ，即 ， ， ， ， 设，则，， 在中，， 解得， ， ， ， . 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，黄金分割比，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $