精品解析：河南省南阳市桐柏县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024年秋期期中学情调研 八年级数学 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 已知正方形的面积是，那么它的边长是（     ） A. B. C. D. 2. 一名同学在调查50名同班同学的出生月份时记录的数据如下表： 出生月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 人数 2 4 4 3 4 3 5 7 5 3 5 5 则出生月份频数最多和最少的月份分别是（　　） A. 1月，12月 B. 12月，1月 C. 1月，8月 D. 8月，1月 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 整式为某完全平方式展开后的结果，则的值为（     ） A. B. C. D. 5. 已知，那么的值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，则的长为（　　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 7. 若的展开式中不含项，则常数a的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 8. 杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶往屋顶处，这根木头需要长度可能是（     ）米． A. B. C. D. 9. 若为正整数，则下列各数中，一定能整除的是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．如图，已知大正方形面积为64，中心小正方形面积为16，若用m，n表示直角的两条直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是（ ） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算____． 12. 如果等腰三角形的一个底角为，那么这个等腰三角形的顶角是_____． 13. _____． 14. 有两个正方形、，将、并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，则正方形的面积为_____． 15. 我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，，为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数，的一种新运算：．比如，则．若，则的结果是_____． 三、解答题（8个题，共75分） 16. 按要求计算 （1）化简 （2）先化简，再求值：，其中． 17. 把下列多项式分解因式 （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 为落实“双减提质”，传播数学文化，提升学生数学核心素养，今年月份，某学校开展数学学科月活动，共开展四个项目：．讲述数学故事；．制作数学手抄报；．制作数学模型；．挑战数学游戏，要求学生每人只能参与一项．为了解学生参与情况，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次抽样调查的学生人数是________人，补全条形统计图； （2）扇形统计图中扇形的圆心角度数为________； （3）若该校共有学生人，试估计参与制作数学手抄报的学生大约有多少人？ 19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接DE，证明． 20. 如图，在中，M为的中点，于点D，于点E．求证：． 21. 若，且． （1）求的值； （2）求的值． 22. 如图，，，，，， （1）设，求；（用表示） （2）求四边形的面积． 23. 已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“”或“”）． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________（请你画出相应图形） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期期中学情调研 八年级数学 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 已知正方形的面积是，那么它的边长是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】正方形面积公式，算术平方根，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据正方形面积公式得到正方形的边长为，即可得到答案． 【详解】解：正方形的面积是， 正方形的边长为， 故选：B． 2. 一名同学在调查50名同班同学的出生月份时记录的数据如下表： 出生月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 人数 2 4 4 3 4 3 5 7 5 3 5 5 则出生月份频数最多和最少的月份分别是（　　） A. 1月，12月 B. 12月，1月 C. 1月，8月 D. 8月，1月 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数据的统计，根据表格确定人数最多和最少对应的月份即可． 【详解】解：由表格可得，出生月份为8月的人数最多，出生月份为1月的人数最少， 故出生月份频数最多和最少的月份分别是8月，1月． 故选D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式．根据单项式乘以单项式，积的乘方，完全平方公式法则进行计算即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 整式为某完全平方式展开后的结果，则的值为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的特点是解题的关键． 根据完全平方式的特点得到，即可得到答案． 【详解】解：整式为某完全平方式展开后的结果， ， 故选：D． 5. 已知，那么的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，代数式求值，解题的关键是熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性． 利用非负数的性质（算术平方根和绝对值均非负），它们的和为零则每个必须为零，从而求出x和y的值，再计算表达式． 【详解】解：∵且，且， ∴ 且， ∴ ，即， ，即， ∴， ∴ ， 故选：D． 6. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，则的长为（　　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的知识，掌握垂直平分线的尺规作图和性质是解题的关键．根据垂直平分线的尺规作图和性质，得，根据，即可． 【详解】解：由题意得，是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ． 故选：C． 7. 若的展开式中不含项，则常数a的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解题关键，不含哪一项就合并同类项后令该项的系数等于0． 根据多项式乘多项式法则展开并合并同类项，然后根据展开式中不含x2项，可得x2项的系数等于0，即可求出a的值． 【详解】 ∵的展开式中不含项， ∴ ∴． 故选：B． 8. 杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶往屋顶处，这根木头需要长度可能是（     ）米． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，根据等腰三角形的性质得到米，根据勾股定理求出米，再根据，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， 米，米， 米， 米， ， ， 故这根木头需要长度可能是米， 故选：C． 9. 若为正整数，则下列各数中，一定能整除的是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解及数的特征，熟练掌握因式分解的应用以及正整数的特征是解题的关键．先对因式分解，得出，再利用、、三个连续正整数中必有一个数是的倍数，必有一个数是的倍数，即可解决． 【详解】解：， ∵、、是三个连续正整数， ∴、、中必有一个数是的倍数，必有一个数是的倍数， ∴必是的倍数， 故选：A． 10. 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．如图，已知大正方形面积为64，中心小正方形面积为16，若用m，n表示直角的两条直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是（ ） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式变形应用； 由勾股定理可判定①；由完全平方公式变形求得，由三角形面积即可判定②；由及，开方即可判定③；由代入中计算即可判定④． 【详解】解：由勾股定理得：， 另一方面，大正方形面积为64，即， ∴，故①正确； 小正方形面积为16，即，展开得：， ∴， ∴，故②正确； ∵，且， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误； 故正确的有①②③； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：． 12. 如果等腰三角形的一个底角为，那么这个等腰三角形的顶角是_____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理列式计算即可． 【详解】解：根据题意得这个等腰三角形的顶角是， 故答案为：． 13. _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平分差公式的应用，熟练掌握平分差公式是解题的关键． 根据平分差公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 有两个正方形、，将、并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，则正方形的面积为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，用代数式表示图甲、图乙中阴影的面积，整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意得：图甲中阴影的面积为， ； 图乙中阴影的面积为， ， ， ， 正方形的面积为， 故答案为：． 15. 我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，，为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数，的一种新运算：．比如，则．若，则的结果是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查新运算定义下，同底数幂的乘法运算法则，牢记法则内容是解题的关键．根据新运算定义，将原式化为个的积乘以1010个的积，再代值进行计算即可． 【详解】解： = = = = =， 故答案为：． 三、解答题（8个题，共75分） 16. 按要求计算 （1）化简 （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）；9 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，整式的化简、求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据整式的除法法则计算即可； （2）先根据整式的乘法法则计算，再合并同类项，把代入化简后的整式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 17. 把下列多项式分解因式 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用提取公因式法直接求解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式即可得到结果； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式即可得到结果； （4）用两次提取公因式法直接求解即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：． 【小问4详解】 解：． 18. 为落实“双减提质”，传播数学文化，提升学生数学核心素养，今年月份，某学校开展数学学科月活动，共开展四个项目：．讲述数学故事；．制作数学手抄报；．制作数学模型；．挑战数学游戏，要求学生每人只能参与一项．为了解学生参与情况，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次抽样调查的学生人数是________人，补全条形统计图； （2）扇形统计图中扇形的圆心角度数为________； （3）若该校共有学生人，试估计参与制作数学手抄报的学生大约有多少人？ 【答案】（1）人， 补全条形统计图如下： （2）； （3）估计参与制作数学手抄报的学生大约有人． 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计整体，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用类别的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，进而求出类别的人数，进而补全统计图即可； （）用度乘以类别的人数占比即可得到答案； （）用乘以样本中类别的人数百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人）． ∴参与此次抽样调查的学生人数是人， ∴类别的人数为（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ∴扇形统计图中扇形的圆心角度为， 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计参与制作数学手抄报的学生大约有人． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接DE，证明． 【答案】（1）如图，为所作的平分线； （2）证明：如图．连接DE，由(1)知： 在和中 ∵ ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴ 【解析】 【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E； （2）依据证明得到，进一步可得结论． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到． 20. 如图，在中，M为的中点，于点D，于点E．求证：． 【答案】 证明：连接， ∵， ⸫， ∵M为的中点， ⸫平分， ∵，， ⸫． 【解析】 【分析】本题考查三线合一和角平分线的性质，先根据等腰三角形的三线合一得到平分，然后利用角平分线的性质得到结论即可． 【详解】略 21. 若，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，多项式乘以多项式： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则得到，再代入进行求解即可； （2）根据（1）所求结合进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 22. 如图，，，，，， （1）设，求；（用表示） （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键， （1）由，，，根据勾股定理可得，再根据勾股定理逆定理可判断是直角三角形，利用，即可得到的度数； （2）由（1）中可知，都为直角三角形，四边形的面积等于，面积的和，利用三角形面积公式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，，， 由勾股定理可得：， ∵，， ∴，满足勾股定理， ∴是直角三角形， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由图可得：四边形的面积， 由（1）可知，，都为直角三角形， ∴四边形的面积． 23. 已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“”或“”）． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________（请你画出相应图形） 【答案】（1） （2） ，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）3， 如图3所示： 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质解答即可． （2）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． （3）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $