精品解析：辽宁省丹东市第十四中学等协作校2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

协作校2024-2025学年度下学期开学学习基础摸底调研试卷 九年级数学 考试时间：120分钟 满分：120分 第一部分 客观题 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是分式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B、当时，不是一元二次方程，不符合题意； C、将整理可得，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 2. 如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：从左边看是三个矩形，中间矩形的左右两边是虚线， 故选B． 考点：简单几何体三视图． 3. 一个不透明的口袋中装有4个白球、8个红球，这些球除颜色外完全相同，现将口袋中加入若干个同样的白球摇匀后，某同学从口袋中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，摇匀后再从口袋中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中……，如果这样摸出100个球，发现有40次找到红球，则加入白球的个数是（ ） A 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．设加入白球的个数为x个，根据摸到红球的概率为，列出方程求解即可． 【详解】解：设加入白球的个数为x个，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 则加入白球的个数是8个． 故选：A． 4. 关于的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程没有实数根 D. 方程的根的情况与的取值有关 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，方程有两个相等的实数根； 当时，，方程有两个不相等的实数根； 当时，，方程没有实数根； ∴方程的根的情况与的取值有关， 故选：D． 5. 已知三个点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的图象可得，再根据反比例函数的增减性可得． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象在第二、第四象限，y随x增大而增大， ∵点在反比例函数的图象上，点在第二象限，和在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6. 某天，测量小组位于点处进行测量，此时测得测量点到塔底点距离米，顶端的仰角为，则塔高为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形应用——仰俯角问题．熟练掌握仰角概念，正切定义，是解题的关键．根据正切定义解答，逐一判断即得． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 7. 如图，直线，直线与分别相交于点和点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故选：C． 8. 反比例函数的图像经过第二、四象限，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数：当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限．据此得到，解不等式即可． 【详解】解：由题意得到， 解得． 故选：D． 9. 如图，已知点是线段的黄金分割点（其中），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，再逐一判断即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且， ， ∴，，故选项A错误，选项B正确； ∵， ， ∴，故选项C错误，选项D错误； 故选：B． 10. 如图，在矩形中，对角线相关于点为边上的任意一点（不与点重合），过点作，垂足分别为，若，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用，运用面积关系是本题的关键．连接．由勾股定理得出，可求得，由矩形的性质得出，，由，求得答案． 【详解】解：连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴，，， ∴， ∴； 故选：A． 第二部分 主观题 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据题意设，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴可设 ∴， 故答案为：． 12. 两个实数之和为2，之积为，则这两个数中较小的数是_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．设较大的数为，那么较小的数为，根据它们的积为，列出方程，求出的值，再根据两数之积为负数，则这两两个数为一正一负，即可解答． 【详解】解：设较大的数为，那么较小的数为， 根据题意：， 解得：， 当时，则，符合题意； 当时，则，不符合题意； 则这两个数中较小的数是， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，以坐标原点为位似中心把缩小，相似比为，则点的对应点的坐标为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似变化的性质是解题的关键．根据位似变换的性质，给点的坐标分别乘以即可． 【详解】解：由题可知，为位似中心，且相似比为，且， 点的对应点的坐标为或，即或． 故答案为：或． 14. 如图，某一时刻阳光透过窗户照射到室内，在地面上留下1.6米宽的亮区，已知窗户下端到地面的距离米，亮区到窗户下端墙脚的距离米，那么窗户高为____________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．根据光沿直线传播的道理可知，则，根据相似三角形的对应边的比相等即可解答． 【详解】解：太阳光是平行光线， ， ， ，即， 米， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为4，点在边上，且，点在边上，连接交于点，把沿翻折，点恰好落在上的点处，下列结论：①；②；③四边形的面积为4；④．其中正确的结论有_____________（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查翻折的性质，勾股定理，正切的定义，全等三角形的判定及性质，正方形的性质．根据翻折的性质证，得出，，即可判断①正确；在中，，由，得到，推出，，则，判定③错误；根据，推出，即可判断④正确，过点A作于点M，利用三角形面积和勾股定理求出，，即可判断②；进而得出答案． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ， 由折叠的性质可得，垂直平分， ，， ， ， ， ， ，，故①正确； ∵在中，， 又， ， ， ， ， ，故③错误； ， ， ，故④正确； 过点A作于点M， 由上知，， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ，故②正确； 综上所述：正确的是①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算 （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，特殊角三角函数值的混合计算，负整数幂和有理数的乘方，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算负整数幂，代入特殊角三角函数值，利用二次根式的性质化简，然后根据实数的混合计算法则求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 或 解得：． 17. 如果关于的一元二次方程有两个实数根和，那么．据此解决下列问题： （1）如果和方程的两根，则 ； ； （2）如果和是关于的一元二次方程的两根，且，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）根据根与系数的关系：，来解题； （2）首先根据根的判别式求得的取值范围，然后由根与系数的关系结合已知得出关于的一元二次方程，解方程求的值． 【小问1详解】 解：、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ 故答案为：，； 【小问2详解】 解：关于的方程有两个实数根， ， 解得：或， 、是关于的方程的两个实数根， ，， 又∵， ，即， 解得，或， 又∵或， ∴的值是． 18. 某学校编制《课间15分快乐菜单》可供班级选择：A． 踢足球，B． 跳绳，C． 踢毽子，D． 丢沙包，E． 跳皮筋，学校就学生参加这五项课间活动意向对学生进行了抽样调查（每名学生只能从中选择一种最喜欢的），并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次参与抽样调查的学生共有 人； （2）补全条形统计图； （3）该校共有1000名学生，请估计选择“跳绳”的学生有多少人？ （4）在最喜欢“跳绳”的学生中，有甲、乙、丙三位同学表现优秀，现从这三位同学中随机选出两名同学参加上级的跳绳比赛，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】（1） （2）见解析 （3）估计选择“跳绳”的学生有200人 （4） 【解析】 【分析】本题考查了统计图和概率，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的互补性，补全条形统计图，样本估计总体，列表法或画树状图法求概率，是解题的关键． （1）用A． 踢足球的人数除以对应百分比，计算即可； （2）总人数减去A、B、C、E的人数得到D项有人数，补上条形图即可； （3）1000乘“跳绳”人数的占比即得； （4）画出树状图，得到所有等可能情况总数和同时选中甲乙的情况总数，用概率公式计算即得． 【小问1详解】 解：（名）； 故答案为：100； 【小问2详解】 解：D． 丢沙包的人数为：（人）； 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计选择“跳绳”的学生有200人； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有6种等可能结果，其中选中甲和乙的结果有2种， 故被选取的两人恰好是甲和乙的概率为． 19. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，且时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解答此题的关键． （1）证明、为等边三角形，得出，，结合旋转的性质可得，，即可得证； （2）由题意可得平行四边形是菱形，得出，连接，作于，则，求出，由直角三角形的性质可得，再由面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可得：，，，，，， ∴、为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， 连接，作于，则， ， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 20. 某数学兴趣小组想使用皮尺和自制测角仪，利用所学的数学知识测量一座底部不可到达的雕塑的高度．如图所示，他们在水平地面上架设测角仪，测得此时雕塑最高点的仰角，然后沿方向前进到达点处，测得此时雕塑最高点的仰角（点，，在一条直线上），测角仪的高度为，请利用同学们的以上测量数据求雕塑最高点距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】雕塑最高点距离地面的高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，延长交于，则四边形、为矩形，得出，，设，则，，再解直角三角形即可得解． 【详解】解：如图，延长交于， 则四边形、为矩形， ∴，， 设， 在中，，则， ∴， 在中，， 解得：， ∴， 故雕塑最高点距离地面的高度为． 21. 某宾馆有若干间标准房，平时以200元/间定价时（定价不得超过680元/间），平均每日可入住50间．在去年国庆期间为了增加营业额，该宾馆决定上调房价，经市场调查表明，每间房定价每提高20元，每日入住房间数就减少1间，若不考虑其他因素，问国庆期间宾馆标准房的价格定为多少时，每日的营业额可为13500元？ 【答案】国庆期间宾馆标准房的价格定为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用，理解总营业额与房间入住数和房价之间的关系是解题的关键．设国庆期间宾馆标准房的价格定为元，根据总营业额房间入住数房价列方程解答即可． 【详解】解：设国庆期间宾馆标准房的价格定为元． 解得： ，（舍去） 答：国庆期间宾馆标准房的价格定为元． 22. 如图， 已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝ax＋b的图象交于M（2，m）和N（－1，－4）两点． (1)、求这两个函数的解析式； (2)、求△MON的面积； (3)、根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围． 【答案】(1)y=；y=2x－2；(2)3；(3)x＜－1或0＜x＜2 【解析】 【分析】(1)首先根据点N的坐标求出反比例函数解析式，然后将点M的坐标代入反比例函数解析式求出点M的坐标，最后将点M和点N的坐标代入一次函数解析式求出解析式； (2)首先求出点A的坐标，然后利用△MOA和△NOA的面积和求出△MON的面积； (3)根据图象进行回答. 【详解】（1）由已知，得－4＝，k＝4， ∴y＝． 又∵图象过M（2，m）点， ∴m＝2， ∵y＝ax＋b图象经过M、N两点， ∴ 解之得 ∴y＝2x－2． （2）如图，对于y＝2x－2，y＝0时，x＝1， ∴A（1，0），OA＝1， ∴S△MON＝S△MOA＋S△NOA＝OA·MC＋OA·ND＝×1×2＋×1×4＝3． （3）由图象可知，当x＜－1或0＜x＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值． ∴x＜－1或0＜x＜2 23. 已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，． （1）如图，求证：≌； （2）直线与相交于点． 如图，于点，于点，求证：四边形是正方形； 如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析② 【解析】 【分析】根据证明三角形全等即可； 根据邻边相等的矩形是正方形证明即可； 作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，． ，． ， ， 在和中， ≌； 【小问2详解】 证明：如图中，设与相交于点． ， ． ≌， ． ， ． ， ，， 四边形是矩形， ． 四边形是正方形， ，． ． 又， ≌． ． 矩形是正方形； 解：作交于点，作于点， ∵ ∴≌． ． ，， 最大时，最小，． ． 由可知，是等腰直角三角形， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 协作校2024-2025学年度下学期开学学习基础摸底调研试卷 九年级数学 考试时间：120分钟 满分：120分 第一部分 客观题 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 一个不透明的口袋中装有4个白球、8个红球，这些球除颜色外完全相同，现将口袋中加入若干个同样的白球摇匀后，某同学从口袋中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，摇匀后再从口袋中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中……，如果这样摸出100个球，发现有40次找到红球，则加入白球的个数是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 4. 关于的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个不相等实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程没有实数根 D. 方程的根的情况与的取值有关 5. 已知三个点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 6. 某天，测量小组位于点处进行测量，此时测得测量点到塔底点距离米，顶端的仰角为，则塔高为（ ）米． A. B. C. D. 7. 如图，直线，直线与分别相交于点和点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 反比例函数的图像经过第二、四象限，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知点是线段的黄金分割点（其中），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，对角线相关于点为边上任意一点（不与点重合），过点作，垂足分别为，若，则的值为（ ） A B. C. 5 D. 6 第二部分 主观题 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，则____________． 12. 两个实数之和为2，之积为，则这两个数中较小的数是_____________． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，以坐标原点为位似中心把缩小，相似比为，则点的对应点的坐标为____________． 14. 如图，某一时刻阳光透过窗户照射到室内，在地面上留下1.6米宽的亮区，已知窗户下端到地面的距离米，亮区到窗户下端墙脚的距离米，那么窗户高为____________米． 15. 如图，正方形的边长为4，点在边上，且，点在边上，连接交于点，把沿翻折，点恰好落在上的点处，下列结论：①；②；③四边形的面积为4；④．其中正确的结论有_____________（填序号）． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算 （2）解方程： 17. 如果关于的一元二次方程有两个实数根和，那么．据此解决下列问题： （1）如果和方程的两根，则 ； ； （2）如果和是关于一元二次方程的两根，且，求的值． 18. 某学校编制《课间15分快乐菜单》可供班级选择：A． 踢足球，B． 跳绳，C． 踢毽子，D． 丢沙包，E． 跳皮筋，学校就学生参加这五项课间活动的意向对学生进行了抽样调查（每名学生只能从中选择一种最喜欢的），并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次参与抽样调查的学生共有 人； （2）补全条形统计图； （3）该校共有1000名学生，请估计选择“跳绳”的学生有多少人？ （4）在最喜欢“跳绳”的学生中，有甲、乙、丙三位同学表现优秀，现从这三位同学中随机选出两名同学参加上级的跳绳比赛，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 19. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，且时，直接写出四边形的面积． 20. 某数学兴趣小组想使用皮尺和自制的测角仪，利用所学的数学知识测量一座底部不可到达的雕塑的高度．如图所示，他们在水平地面上架设测角仪，测得此时雕塑最高点的仰角，然后沿方向前进到达点处，测得此时雕塑最高点的仰角（点，，在一条直线上），测角仪的高度为，请利用同学们的以上测量数据求雕塑最高点距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 21. 某宾馆有若干间标准房，平时以200元/间定价时（定价不得超过680元/间），平均每日可入住50间．在去年国庆期间为了增加营业额，该宾馆决定上调房价，经市场调查表明，每间房定价每提高20元，每日入住房间数就减少1间，若不考虑其他因素，问国庆期间宾馆标准房的价格定为多少时，每日的营业额可为13500元？ 22. 如图， 已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝ax＋b的图象交于M（2，m）和N（－1，－4）两点． (1)、求这两个函数的解析式； (2)、求△MON的面积； (3)、根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围． 23. 已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，． （1）如图，求证：≌； （2）直线与相交于点． 如图，于点，于点，求证：四边形是正方形； 如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$