精品解析：江苏省常州市田家炳高级中学2024-2025学年高二下学期3月份阶段调研数学试卷

常州市田家炳高级中字 2024—2025学年第二学期高二年级3月份阶段调研 数学试卷 命题人：徐颖 审核人：顾亚萍 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某物体的位移（米）与时间（秒）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是 A. 米/秒 B. 米/秒 C. 米/秒 D. 米/秒 2. 下列式子正确的有（ ） A. B. ， C. D. 3. 向量，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. 若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. 或 D. 6. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. （多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有两个极值点 B. 为函数的极大值 C. 有两个极小值 D. 为的极小值 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若构成空间的一个基底，则，，必共面 B. 若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量、满足，则与夹角为钝角 D. 点关于平面对称的点的坐标是 11. 已知函数是自然对数底数，则（ ） A. B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若关于的不等式有正整数解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的导函数是偶函数，则在点处的切线方程为_______. 13. ，的最小值为_____. 14. 已知，则y的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数处取得极小值5. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的值域. 16. 如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. （1）用向量表示； （2）求. 17. 已知函数. （1）求函数单调区间； （2）若对任意，且，都有，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数（其中实数为常数）. （1）若不存在极值点，求实数的取值范围； （2）若存在两个极值点，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常州市田家炳高级中字 2024—2025学年第二学期高二年级3月份阶段调研 数学试卷 命题人：徐颖 审核人：顾亚萍 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某物体的位移（米）与时间（秒）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是 A. 米/秒 B. 米/秒 C. 米/秒 D. 米/秒 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的物理意义，求导后代入即可. 【详解】由得： 当时， 即该物体在时的瞬时速度为：米/秒 本题正确结果： 【点睛】本题考查导数的物理意义，属于基础题. 2. 下列式子正确的有（ ） A. B. ， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的运算法则逐项判断对错即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：B. 3. 向量，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的关系列式求解，的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模公式计算得出结果. 【详解】由，，则，解得， ，， ， . 故选：C. 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性即可确定函数图象. 【详解】因为，所以， 当时，，单调递减， 当时，令，得，令得， 所以在单调递减，在单调递增，当时，有最小值1， 只有选项B图象符合. 故选：B 5. 若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于的不等式组，解出即可． 【详解】由题意，， 令，解得，令，解得或， 所以在上单调递减，在，上单调递减， 若函数在区间上单调， 则或或，解得或或， 即或. 故选：C. 6. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设,则,根据条件可得在上单调递减，不等式可化为，根据的单调性可得答案. 【详解】设，则 由条件，所以，所以在上单调递减. 由，得 不等式，即，也即，解得 所以不等式的解集为 故选：D 【点睛】本题考查构造函数，利用单调性解不等式，属于中档题. 7. 如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用向量表示、表示向量、，然后利用数量积运算及夹角公式计算即可 【详解】设，则， 因为，所以， 所以， 所以，化简得， 所以，所以，即的余弦值为. 故选：C. 8. 已知，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原命题等价于，再求 以及解不等式即可. 【详解】，使得成立，则， 因为，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以， 因为，则， 所以 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. （多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有两个极值点 B. 为函数的极大值 C. 有两个极小值 D. 为的极小值 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数图象判断符号，从而判断的单调性，进而根据极值点、极值的概念判断即可. 【详解】由题图知，当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以. 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 所以有三个极值点，为函数的极大值，和为的极小值. 故AD错误，BC正确. 故选：BC 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若构成空间的一个基底，则，，必共面 B. 若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量、满足，则与夹角为钝角 D. 点关于平面对称的点的坐标是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量共面定义判断A，由共面向量定理判断B，由向量夹角的范围判断C，由空间直角坐标系判断D． 【详解】A选项，构成空间的一个基底，则不共面， 因为，则，，必共面，故A正确； B选项，在中，所以四点共面，故B正确； 选项C，当时，则是钝角或，故C错误； 选项D，关于平面对称的点，纵坐标和竖坐标不变，横坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标是，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数是自然对数的底数，则（ ） A. B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若关于不等式有正整数解，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据已知，利用特值法、导数与函数的单调性以及结合函数图象进行计算求解. 【详解】因为，所以，所以，故A错误； 若，则，即，由可知，，故B错误. 因，所以， 由有：；由有：； 所以在上单调递增；在上单调递减； 所以的最大值为，故C正确； 因为，所以，即， 当时，，因为，函数的大致图象为： 又因为，所以，解得， 当时，由可知，必有，不存在正整数解，故D正确. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的导函数是偶函数，则在点处的切线方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的导数，再由二次函数是偶函数的条件求出a的值，把代入求出，再把代入导函数求得切线斜率，根据点斜式写出切线方程即可. 【详解】函数 ， 则为偶函数，则， 所以，， 于是，， 所以在点处的切线为：，即. 故答案为：. 13. ，的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数判断函数单调性求出最小值. 【详解】由题，，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上的最小值为. 故答案为：. 14. 已知，则y的最小值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】将最小值问题转化为点与点距离最小值的平方，进一步转化为直线与函数的点间距离最小值的平方，利用导数求出函数在点处的切线与直线平行时，对应的点坐标，从而求出最小值. 【详解】设点是函数图象上的点，点是直线上的点， 则，所以， 因为，设函数在点处的切线与直线平行，则，解得， 则点，所以的最小值为点到直线的距离， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极小值5. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，求出，检验后得到答案； （2）求导，得到函数单调性，进而得到极值和最值情况，得到答案. 【小问1详解】 由题意可知， 因为在处取极小值5，所以，解得， 此时， 所以在上单调递减，在上单调递增 所以在时取极小值，符合题意 所以，又，所以. 综上. 【小问2详解】 由（1）得，所以 列表如下： 0 1 2 3 0 0 1 极大值6 极小值5 10 故时，的值域为. 16. 如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. （1）用向量表示； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解； （2）先计算，再开方即可求解. 【小问1详解】 因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. 所以； 【小问2详解】 因为正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1， 所以，， 所以， 所以 ，所以. 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若对任意的，且，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，分类讨论，即可求解函数的单调区间； （2）设，转化为，等价于在上是增函数，求得恒成立，进而求得的取值范围. 小问1详解】 由函数， 可得， ①若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； ②若时，可得，所以在上递增，无递减区间； ③若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ④若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，①当时，增区间为，减区间为； ②当时，增区间为，无减区间； ③当时，增区间为，减区间为； ④当时，增区间为，减区间为. 【小问2详解】 由函数， 因为对任意的，且，都有， 不妨设，则等价于， 设，等价于在上是增函数， 因为，可得， 依题意，对任意有恒成立， 又由，可得，即实数的取值范围为. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，解不等式，得到单调区间； （2）参变分离，即，构造函数，求导，结合函数特殊值得到其单调性，的最小值为，求出答案. 【小问1详解】 当时，， 则， 其中恒成立， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 .由，可得. 令，则. 令，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以. 所以，在上单调递增. 所以当时，的最小值为，所以. 故实数的取值范围是. 【点睛】分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 19. 已知函数（其中实数为常数）. （1）若不存在极值点，求实数的取值范围； （2）若存在两个极值点，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，构造函数，由题得在上恒成立，即可得到或，解得即可； （2）依题意可得，不妨设，由题化简得，令，设，利用导数求出该函数的值域即可. 【小问1详解】 ， ， 设， 不存在极值点， 是定义域上的单调函数，而函数的图象为开口向上的抛物线， 在定义域上恒成立，即在上恒成立， 又二次函数图象的对称轴为，且图象过定点， 或，解得， 实数的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）知的两个极值点满足， 所以， 不妨设， 则当时，当时，当时， 所以在上是减函数， ， ， 令，则，又，即， 解得，， 设， 则， 在上单调递增， ，， 即， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是得到，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，求出函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$