精品解析：广东省深圳外国语学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

学科网 5组卷网 深圳市外国语学校2024-2025学年第一学期期末考试试题 科目:高二数学 考试时长:120分钟 卷面总分:150分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. B. 2 C 3 A.1 D4 2. 直线:(a+1)x+y-1=0.1:2x+ay+a-2=0,则“1/l” 充要条件是( ~ A. a=1 Ba--2 C.a=1或-2 D. 以上均不对 3. 已知{a,5.c为空间的一组基底,则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是( ) A -b+c,6+,- B+:+22- C 2-.2c+6,+c D.+,2ā++:二- _ 9-rr-5 C.(5.7) A.(5.9) B.(5.7)U(7.9) D.(7.9) 5. 已知A(2.2.1),B(3.2.0),则点P(2.0.-1)到直线AB的距离为( 。 C.5 A.3 B. 2 D.# $6. 已知在三柱ABC-A.BC中. AB=AC=2.AA =3, AAB= AAC=60*,ABA C$ D.E分别为AB,CC.的中点,则DEl=( A22 C. 3 D 38 2 S。 7. 已知数列a{的前n项和为S.,其中a.=1,a..=S.+2n+1,则 a+d。 0 303 153 A C 28 D. 第1页/共4页 学科网 组卷网 △ C. D.3 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 已知数列{a满足a=2,a-aa,-a.=1,则下列各数是{a.的项的有( _~ B - 10. 已知圆C:x2+y2-6x-4y+5-0,则下列说法正确的是( A. y-x的最大值为2 B. x+v的最大值为7 C.的最大值为6+210 D. x2+v2的最大值为21+426 x 11. 已知正方体ABCD-A.BCD梭长为2,点P满足AP=^AD+AAaE0.1l,E0.1l],E为 BC中点,则下列论述正确的是( ) C D 3 2 B 若2A-u=1:则直线BP/平面BD C. 若+=1,则点P到平面ABC的距离为 D. 若A=u,则平面A.CP与平面ABCD所成角的取值范围为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 已知A(1,1,0),B(3.5.6),C(6,a,b)三点共线,则a+b= 13. 已知点P到F(1.0)的距离比P的横坐标大1,点M的轨迹方程为x^{}+v}-8x-2v+16=0,则 第2页/共4页 学科回 5组卷网 PM+PF最小时,△PMF的面积为 前项和 为 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知圆C的圆心在直线2x-y-5=0上,且经过点A(0.3),B(4,-1) (1)求圆C的标准方程; (2)求过原点且与圆C相切的直线方程 16. 已知数列a.{ 前n项和为S,2S+1=3a,数列b满足b=a,n(b-b.)=b (1)求数列a.,的通项公式 (2)求数列a.b的前n项和T. #为C与C,的一个公人# (1)求C,C的方程 (2)过点F的直线/交C于M,N两点,交C.于P,O两点,若MN=PO,求7的方程 18. 如图:在四校锥P-ABCD中,平面PAB1.底面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,AB//CD. AB1BC,$CD=2AB=2AP=2,BC=3:PC=5 (1)求证:PA1平面ABCD (2)求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值; DM DP 的值,若不存在,说明理由 第3页/共4页 学科网 组卷网 19. 已知F(V2.0)是双曲线E 一个焦点,F到双曲线E的一条渐近线距离为 1. (1)求E的方程; (2)过点M(1.0)(7>1)且斜率为2的直线乙交E于A,B两点,交E的两条渐近线于B.0.两点,其中点 A.,B在第一象限 (证明:A=B0 (ii)A.(neN)关于x轴的对称点为B,过点B..且斜率为2的直线/.交E于另一点A,交E的两 条渐近线于P,Q两点,所有的点A,PneN)都在第一象限,记a.=A.P ,证明:数列a. 是等比 数列,并求其公比 第4页/共4页学科网 5组卷网 深圳市外国语学校2024-2025学年第一学期期末考试试题 科目:高二数学 考试时长:120分钟 卷面总分:150分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的 B.2 C3 A1 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质,可得答案 【详解】因为a.+a。+an=a。+a,+a=3a,=6,解得a,=2 故选:B. 2.直线/:(a+1)x+y-1=0,1:2x+ay+a-2=0,则“1/l”的充要条件是( _ A. =1 Ba--2 C.a=1或-2 D. 以上均不对 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两直线平行的条件列出方程,求出可能的a值,再分别代入检验两直线是否重合,从而确 定两直线平行的充要条件 【详解】因 直线.:(a+1)x+y-1=0.1.:2x+ay+a-2=0. 当/./1.时,(a+1)a=2,解得a=1或-2 当a=1时,1:2x+y-1=0.7:2x+y-1=0,此时两直线重合,舍去, 又a=-2时,:x-y+1=0.1:x-y-2=0,此时/// 所以“1/1.”的充要条件是“a=-2”. 故选:B 3. 已知a,b,c为空间的一组基底,则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是( _ A.-b+c,+,- B+,c+2,2ā- 第1页/共19页 学科网 组卷网 C. $ -b,2+5·+ D. +b,$ā+b+,$$-# 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量的基底的定义建立方程,可得答案 【详解】对于A,设ā-+=x(+)+y(-),x,y无解, 所以a-b+c,5+,a-c不共面,能构成空间的一组基底,故A正确; 所以ā+,c+2,2ā-c共面,不能构成空间的一个基底,故B错误; 对于C.设2-=x(2c+)+y(+),解得{ [x=-1 -2 所以2ā-,2c+,a+共面,不能构成空间的一个基底,故C错误; 对于D,设ā+=x(2ā++c)+y(-),解得{ 所以ā+,2ā+万+c,c-共面,不能构成空间的一个基底,故D错误 故选:A. A.(5,9) C.(5.7) B. (5.,7)U(7,9) D.(7.9) 【答案】D 【解析】 【分析】由焦点在y轴上的圆方程的特征求解即可. 【详解】t-5>9-7>0,解得1e(7,9). 故选:D 5. 已知A(2.2.1),B(3,2,0),则点P(2.0.-1)到直线AB的距离为( _ C.5 A3 B. 2 D.#6 第2页/共19页 学科网 组卷网 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件,利用点到直线距离的向量法,即可求解 【详解】因为A(2,2.1),B(3,2.0).P2,0,-1),则AB=(1.0.-1),AP=(0.-2-2 -#0##)# 所以点P到直线AB的距离为: 故选:D 6$. 知在三 柱ABC-A.B$C中. AB=AC=2. AA |=3, AAB= AAC=60{,ABAC, D.E分别为AB,CC.的中点,则DE=( A. 22 B. 5 C. 3 D. 38 2 2 【答案】B 【解析】 的运算及空间向量数量积的定义,即可求解 [54 D-4-4)~2)-#(3xo0 #2#-1)#2x04) 2 A B 1 第3页/共19页 学科网 组卷网 故选:B a+a。 _ 101 2 303 C. 153 A B 28 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意构造得S..+2(n+1)+3=2(S.+2n+3),由等比数列定义和通项公式可得 S.+2n+3=6x2“-1,从而得解 【详解】因为a..=S-S.=S.+2n+1, 所以S...=2S.+2n+1,所以S+2(n+1)+3=2(S+2n+3). 而$.+2+3=6z0,故S.+2n+3:0. 所以数列S。+2n+3是首项为6,公比为2的等比数列, 所以S.+2n+3-6x2-1. 效303 a+% S.-8.177-3728 故选:C ) T7 C.5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设AF =m,根据条件和双曲线定义表示出AF,AF,BF,然后结合余弦定理求解m,可得 △ABF,为等腰三角形,则离心率可求 【详解】设AF =m,所以AF =AF+2a=m+2a, 第4页/共19页 学科回 组卷网 又因为AF4FBF 成等差数列,所以BF =2AF AF =m+4a, 所以BF|=BF$2 a=m+2 ,所以4B=A F+BF=2 m+ 4F$+|BF}-AB^{}( +2a)}+(m+4a)}-( 2m+2)}1 因为cos AF.B: 2 AFlBEF- 2(m+2a)(m+4a 3 解得n-2a: /1 所以 AF=2 a A F$ =4aBF$=6 BF=4A B=6 =B $$ 所以△ABF,为等腰三角形, 1 AF{}+AF }-FF{2a){}+(4a){}-(2c)} 即 os FAB=cos AF.B= 3 2AFllAFl 2.2a:4a ) 3 故选:A 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. 已知数列a满足a.=2,a-a-a.=1,则下列各数是a.的项的有( __ c B 【答案】AD 【解析】 【分析】通过给定的递推公式求出数列的前几项,进而找出数列的周期规律,计算即可 1 【详解】因为a=2,a-a.a ,-a.=1,即a = I- 第5页/共19页 学科网 组卷网 1 所以a=-3,=- 1 2'3 故选: AD 10. 已知圆C:x2+y-6x-4y+5-0,则下列说法正确的是( 。 A. y-x的最大值为3 B. x+y的最大值为7 C. 的最大值为6+210 D. x2+v2的最大值为21+426 【答案】ACD 【解析】 【分析】可设x=22cos+3,y=22sine+2,0e[0.2π),则结合辅助角公式计算可得A、B;设 x 可借助原点到圆心的距离加半径的平方得D 【详解】因为圆C:x2+y2-6x-4y+5=0,则(x-3){*+(y-2)^{}-8, 设x=22cose+3,y=22sin+2,θ=0,2π) 对A:y-x-212sin62v2o01-4n-1-1- 对B:(x+y=2、2oo02v2sin0+5-4no+4)+5. 对C:设-k,则y=kx,圆C:x{}+y2-6x-4y+5=0. 13-222. 圆心C(3,2),半径为22,则圆心到直线的距离小于等于半径, 1+2} 所以^2}-12k-4<0,计算得6-210 k6+210 所以的最大值为6+2、10,故C正确: x 对D:x2}+v2可以看作是圆上某点P到原点的距离的平方, 第6页/共19页 学科回 组卷网 $ ^{}(1oC+) =(13+22){*}-21+4V26,故D正确. 故选:ACD. 11. 已知正方体ABCD-A.BCD校长为2,点P满足AP=aAD+AAE0.1],E0.1],E为 BC中点,则下列论述正确的是( 。 3 A.若== ,则EP1BC 4 B 若2a-1=1,则直线BP/平面BDE C. 若a+u=1,则点P到平面ABC的距离为、3 D. 若A=I,则平面A.CP与平面ABCD所成角的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】以点D为坐标原点,DA、DC、DD.所在直线分别为x、y、2轴建立空间直角坐标系,利用 空间向量法逐项判断即可 【详解】以点D为坐标原点,DA、DC、DD.所在直线分别为x、y、2轴建立如下图所示 空间直角 坐标系, 2 C A 第7页/共19页 学科回 组卷网 则D(0.0.0)、A(2.0,0)、B(2,2.0)、C(0,2.0)、D (0,0.2)、4(2.0,2) B.(2.2.2)、C.(0,2.2)、E(1,2,2). 对于A选项,当--时,--3(-2.2)--3). 则EP=E+AP(1-2,-2) 0})--2-.BC(2.0.2), 所以,EP·BC =1-1=0,故EP1BC,A正确; 对于B选项,当22-=1时,则2-从+1. 2 则$DP=DA+AP=2,0.0)+--1.02)=(1-.0.2),则P(1-,0.2) 所以,BP=(-1-,-2,2-2),BD=(-2-2.0),BE=(-1,02), [.BD--2x-2y-0 设平面BDE的一个法向量为=(X,y,2),则 lnBE--r+2z-0 取$ =1,可得=(2,-2,1),所以,-B--2-2+4+2-2=0,即m1B P$ 因为B.P平面BDE,所以直线BP//平面BDE,B正确 对于C选项 ,AP=AD+1-)AA=-2a.0.0)+0.0.2-2)=-2a.0.2-2),其中e0 AB.=(0,2.2),AC=(-2,2.0),设平面AB.C的法向量为i=(a,b.c). [.AB-2b+2c=0 则 ,取a=1,可得=(1,1,-1), i.AC--2a+2b=0 APi22# #3 则点P到平面AB.C的距离为 ,C错误: 对于D选项,若AP-aAD=a(-2.0.2)=(-22,0,2),其中ae0.1]. 4.C=(-2.2,-2),4P=4A+AP=(0.0,-2)+(-2.0,2)=(-2a,0.2-2). n.4C--2x+2y-22=0 设平面4CP的一个法向量为n=(x,y,2),则{二 # A.P--22x+(22-2)2=0' 第8页/共19页 学科网 组卷网 取$=-1,可得n=(-1,2-1,). 易知平面ABCD的一个法向量为n。=(0,0,1). 当1=0时cos=0. 22 cos0= V62.2-62+2 ##7###^# 综上,cosoe0.与[]】矛盾,D错误 故选:AB 【点睛】思路点晴:利用空间向量法求解二面角的步骤如下 (1)建立合适的空间直角坐标系,写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标 (2)设出法向量,根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量,求解出平面的法向量(注:若半平面为 坐标平面,直接取法向量即可): (3)计算(2)中两个法向量的余弦值,结合立体图形中二面角的实际情况,判断二面角是锐角还是钝角 从而得到二面角的余弦值 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12. 已知A(1,1,0),B(3.5,6),C(6,a,b)三点共线,则a+b= 【答案】26 【解析】 【分析】利用向量的共线的坐标表示,可得答案 2 所以a-1=10,b=15,所以a+b=26 故答案为:26 13. 已知点P到F(1,0)的距离比P的横坐标大1,点M的轨迹方程为x2+y2-8x-2y+16=0,则 PM+PF最小时,△PMF的面积为 第9页/共19页 学科网 组卷网 ={x 【答案】 【解析】 【分析】先求出P,M轨迹方程,画出草图,结合抛物线的定义进行转化,运用点共线得到PM+PF最 小时,求三角形面积即可 【详解】设P(x,y),则(x-1){+y=x+1,平方整理得y②=4x(满足x>-1), 故P在抛物线y2-4x上,焦点F(1.0),准线方程为x=-1; 过P作准线 垂线,交准线于0,PF=PO M的轨迹方程为圆x②+y{}-8x-2y+16=0,整理得(x-4){}+(y-1){}=1,圆心为E(4.1),半径为r=1 过E作准线的垂线,交准线于E'-1.1),则PM+PF=PM+PO PE-+POEE-=5-=4 故答案为: #。 14. 已知数列{a. 前n项和为S.,满足a=1,(n+2)S.=na.,则数列 的前项和 1(n+2)(n+3) 为 2_1 【答案】 n+36 【解析】 到a。=(n+1)x2”-}neN)运用裂项相消法计算即可 第10页/共19页