精品解析：广东省深圳外国语学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

深圳市外国语学校2024-2025学年第一学期期末考试试题 科目：高二数学 考试时长：120分钟 卷面总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等差数列满足，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，可得答案. 【详解】因为，解得. 故选：B. 2. 直线，则 “”的充要条件是（ ） A. B. C. 或 D. 以上均不对 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两直线平行的条件列出方程，求出可能的值，再分别代入检验两直线是否重合，从而确定两直线平行的充要条件. 【详解】因为直线， 当时，，解得或， 当时，，此时两直线重合，舍去， 又时，，此时， 所以 “”的充要条件是“”. 故选：B. 3. 已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基底的判定，即向量组是否共面，若不共面则构成空间的一组基底. 【详解】设，即， ，此方程组无解，，，不共面，可构成基底，正确. 设，即， ，此方程组有解，，，共面，不可构成基底，错误. 设，即， ，此方程组有解，，，共面，不可构成基底，错误. 设，即， ，此方程组有解，，，共面，不可构成基底，错误. 故选：. 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由焦点在轴上的椭圆方程的特征求解即可． 【详解】，解得. 故选：D 5. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用点到直线距离的向量法，即可求解. 【详解】因为，，，则，， 所以点到直线的距离为：. 故选：D 6. 已知在三棱柱中,，，，，分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用向量的线性运算，得，再利用空间向量数量积的运算及空间向量数量积的定义，即可求解. 【详解】设，则， ，所以. 故选：B. 7. 已知数列的前项和为，其中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意构造得，由等比数列定义和通项公式可得，从而得解. 【详解】因为， 所以，所以， 而，故， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即，所以． 故选：C 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据条件和双曲线定义表示出，然后结合余弦定理求解，可得为等腰三角形，则离心率可求. 【详解】设，所以， 又因为成等差数列，所以， 所以，所以， 因为， 解得， 所以， 所以为等腰三角形， 即， 化简可得，所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列满足，，则下列各数是的项的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】通过给定的递推公式求出数列的前几项，进而找出数列的周期规律，计算即可. 【详解】因为，，即， 所以，，，， 所以数列的周期为4，所以的项的有. 故选： AD. 10. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】可设，，，则结合辅助角公式计算可得A、B；设，则可结合直线与圆的位置关系计算得C；可以看作是圆上某点到原点的距离的平方，则可借助原点到圆心的距离加半径的平方得D. 【详解】因为圆，则， 设，，， 对A：， 所以当时，的最大值为，故A正确； 对B：， 所以当时，的最大值为，故B错误； 对C：设，则，圆， 圆心，半径为，则圆心到直线的距离小于等于半径，， 所以，计算得， 所以的最大值为，故C正确； 对D：可以看作是圆上某点到原点的距离的平方， ，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知正方体棱长为，点满足，为中点，则下列论述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则直线平面 C. 若，则点到平面的距离为 D. 若，则平面与平面所成角的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断即可. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、 、、， 对于A选项，当时，， 则，， 所以，，故，A正确； 对于B选项，当时，则， 所以，， 则，则， 所以，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以，，即， 因为平面，所以直线平面，B正确； 对于C选项，，其中， ，，设平面的法向量为， 则，取，可得， 则点到平面的距离为，C错误； 对于D选项，若，其中， ，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为，所以，， 当时， 当时，则， ， 综上，，与矛盾，D错误. 故选：AB. 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）； （3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，三点共线，则______________. 【答案】26 【解析】 【分析】利用向量的共线的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意，，因为，所以， 所以，，所以. 故答案为： 13. 已知点到的距离比的横坐标大1，点的轨迹方程为，则最小时，的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出轨迹方程，画出草图，结合抛物线的定义进行转化，运用点共线得到最小时，求三角形面积即可. 【详解】设，则，平方整理得（满足）， 故在抛物线上，焦点，准线方程为， 过作准线的垂线，交准线于，， 的轨迹方程为圆，整理得，圆心为，半径为， 过作准线的垂线，交准线于，则， 当共线时取等号，则此时，，，故. 故答案为：. 14. 已知数列前项和为，满足，，则数列的前项和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关系式由已知得，构造等比数列，求出，进而得到.运用裂项相消法计算即可. 【详解】由已知得，，所以，即，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，即，，经检验，时也满足，故. 所以，所以数列的前项和为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）求过原点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出线段的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解； （2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【小问1详解】 线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线斜率为，方程为，即， 由，解得，，因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为， 解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 16. 已知数列的前项和为，，数列满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）运用关系式，得到，再用等比数列公式计算即可； （2）先求出，再用错位相减求和. 【小问1详解】 当时，，则； 当时，，整理得， 因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为； 由得，即，所以数列是常数列，，所以数列的通项公式为 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得 ，所以. 17. 已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，为与的一个公共点. （1）求，的方程； （2）过点的直线交于两点，交于两点，若，求的方程. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入方程即可求出焦点坐标为，进而求出椭圆方程； （2）当直线斜率为0时，不合要求，故直线的斜率不为0，设方程为，分别联立方程组，利用根于系数的关系化简条件，即可得解. 【小问1详解】 将代入得，则的方程为， 其焦点坐标为，因为也是椭圆的一个焦点，所以① ； 又过点，所以② ，联立① ② 得， 所以，故的方程为． 【小问2详解】 当直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求， 故直线的斜率不为0，设方程为， 联立与，可得，， 设，故， 则， 故， 联立与，可得，， 设，则， 则， 所以，解得，所以直线方程为. 18. 如图，在四棱锥中，平面底面，四边形为直角梯形，，，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） 因为，平面底面，平面底面， 平面，所以平面，平面，所以， 连接，因为，所以， 因为，所以， 因为，平面，所以平面. （2） （3）存在，且 【解析】 【分析】（1）求证，即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量； （3）假设其存在，设，再求直线与平面所成角的正弦值，即可求出值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，垂足为，则，由（1）知两两垂直，如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为 ， 则，令，解得， 设平面的一个法向量为， 所以 ，令，解得， 设平面与平面所成角为，所以 ， 即平面与平面所成二面角的余弦值为； 【小问3详解】 存在，且， 理由如下：，设，则，， 又直线与平面所成角的正弦值为，平面的一个法向量， 则，化简得， 即， ， 故存在，且. 19. 已知是双曲线:的一个焦点，到双曲线的一条渐近线距离为1. （1）求的方程； （2）过点且斜率为2的直线交于两点，交的两条渐近线于两点，其中点在第一象限. （i）证明： （ii）关于轴的对称点为，过点且斜率为2的直线交于另一点，交的两条渐近线于两点，所有的点都在第一象限，记，证明：数列是等比数列，并求其公比. 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 的两条渐近线为，过且斜率为2的直线方程为：， 与联立得，， 设，可得，； 设，， 与渐近线分别联立得，， 所以，即，由图象知， ∴. （ii）证明如下： 由(i)知，任意斜率为2且与交于右支两点的直线，与渐近线交于， 满足在第一象限，都有，即恒成立. 因为关于轴的对称点为，由双曲线的对称性知，在双曲线上， 为过且斜率为的直线，则过作斜率为的直线与关于轴对称， 交于，如图，由对称性可得， 因此，由于，直线与直线重合，对所有都成立，所以三角形都相似， 设直线倾斜角为，即，，， 则直线倾斜角为， 因为直线倾斜角为， ∴，， 由正弦定理，为定值，又， ∴数列为等比数列，其公比为. 【解析】 【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，根据点到直线的距离公式求解； （2）(i)直线方程为：，与联立和与渐近线联立分别求出交点，即可证明； (ii)因为关于轴的对称点为，由双曲线的对称性知，在双曲线上，则过作斜率为的直线与关于轴对称，交于，如图，由对称性可得， 因此，再可证三角形都相似，由正弦定理，为定值. 【小问1详解】 由题意，双曲线半焦距，渐近线为即， 到渐近线的距离为， 所以，即双曲线的方程为. 【小问2详解】 (i)略 (ii) 略 【点睛】关键点点睛：由于关于轴的对称点为，由双曲线的对称性知，在双曲线上，则过作斜率为的直线与关于轴对称，交于，如图，由对称性可得， 因此，进一步证明即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市外国语学校2024-2025学年第一学期期末考试试题 科目：高二数学 考试时长：120分钟 卷面总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等差数列满足，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 直线，则 “”的充要条件是（ ） A. B. C. 或 D. 以上均不对 3. 已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在三棱柱中,，，，，分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前项和为，其中，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列满足，，则下列各数是的项的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 已知正方体棱长为，点满足，为中点，则下列论述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则直线平面 C. 若，则点到平面的距离为 D. 若，则平面与平面所成角的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，三点共线，则______________. 13. 已知点到的距离比的横坐标大1，点的轨迹方程为，则最小时，的面积为__________. 14. 已知数列前项和为，满足，，则数列的前项和为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）求过原点且与圆相切的直线方程. 16. 已知数列的前项和为，，数列满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，为与的一个公共点. （1）求，的方程； （2）过点的直线交于两点，交于两点，若，求的方程. 18. 如图，在四棱锥中，平面底面，四边形为直角梯形，，，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 19. 已知是双曲线:的一个焦点，到双曲线的一条渐近线距离为1. （1）求的方程； （2）过点且斜率为2的直线交于两点，交的两条渐近线于两点，其中点在第一象限. （i）证明： （ii）关于轴的对称点为，过点且斜率为2的直线交于另一点，交的两条渐近线于两点，所有的点都在第一象限，记，证明：数列是等比数列，并求其公比. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $