精品解析：上海市朱家角中学2024-2025学年高一下学期3月考试数学试题

上海市朱家角中学2024学年度第二学期第一阶段质量监测 高一数学 （考试时间：90分钟，满分120分） 2025.3 一、填空题（本大题满分48分，本大题12题，每题4分） 1. 已知角的终边经过点，则=__________． 【答案】－ 【解析】 【详解】试题分析：由已知，，所以由余弦函数的定义得 2. 终边在第二象限角平分线上的所有角的集合用弧度制表示为____________. 【答案】 【解析】 【分析】先得到终边在第二象限角平分线上的一个角为，再利用周期得到答案. 【详解】终边在第二象限角平分线上的一个角为 终边在第二象限角平分线上的所有角的集合用弧度制表示为 故答案为 【点睛】本题考查了三角函数的终边问题，意在考查学生对于三角函数基础知识的掌握情况. 3. 函数且的图象必经过点______. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数的性质即可得出. 【详解】因为且， 当时，， 所以且的图象恒过定点. 故答案为：. 4. 满足等式，的解为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据反余弦函数的运算性质，即可求解。 【详解】由题意，等式，可得. 故答案为：. 5. 把化成的形式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】逆用两角和正弦公式即可得解. 【详解】由 . 故答案为： 6. 在中，，，，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】，则为锐角，故， 故. 故答案：. 7. 已知，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由得，所以，解得，故答案为. 考点：指数方程；对数方程. 8. 函数是幂函数，且当时，是增函数，则__________． 【答案】2 【解析】 【详解】由函数是幂函数，且当时，是增函数可知， ,解得： 故答案为 9. 外在美加内容美才是真的美，重庆书法家庹纯双在一个扇环牌匾上模仿王羲之的《兰亭序》，在精美的牌匾上写上优美的诗句，书法家飘逸灵动的字体，真是美轮美奂，扇环牌匾的两条弧长分别为15，9，AD的长度为2，则扇环的面积为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】延长相交于点，由圆心角求得，再结合扇形面积公式即可求解； 【详解】延长相交于点，设， 则，解得， 所以扇环的面积为， 故答案为： 10. 已知集合，，若，，则的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】由两集合的并集和交集确定，进而可求解； 【详解】：因为， 而,, 所以，即是方程的根， 因此， 即 所以， 故答案为： 11. 已知，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先分别求出，，再利用两角和差的正弦和余弦公式即可得到答案. 【详解】由得， 因，则，则， 因为，，则，则， 则，则， 则 ， ， 则. 故答案为：. 12. 在中，角所对边分别为，若，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】 又A为锐角，所以A= 二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题4分） 13. 下列四个关系式中，正确的是． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合，集合与集合之间关系判断即可. 【详解】A选项中集合和集合之间的连接符号不能是，故A不对；B选项中应该是，故B不对；C选项集合与集合的关系，应是，故C不对；D选项中因为集合中由元素，故D正确． 故选：D 14. 已知，，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，，则，即充分性成立； 若，则，，或，，则必要性不成立； 综上所述：p是q充分不必要条件. 故选：A. 15. 在ABC中，如果满足，则ABC一定是（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理和两角和与差的三角函数求解. 【详解】在ABC中，满足， 所以， 即， 所以， ， 所以ABC等腰三角形， 故选：C 16. 在中，已知，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得，然后逐一判断即可. 【详解】因为，所以 因为 所以，即，即 所以 当时可验证A，B，C不成立 因为，所以，故D正确 故选：D 三、解答题（本大题共有5题，满分56分） 17. 已知，． （1）求的值； （2）若且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角平方关系及正弦二倍角公式即可求解； （2）由展开求解即可； 【小问1详解】 因为，， 由，可得：， 所以； 【小问2详解】 因为，， 由， 所以， 所以 ； 18. 解决下列问题： （1）已知，求值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式，，后利用可得答案； （2）将平方后，可得，结合，可判断符号，平方后可得答案. 【小问1详解】 由诱导公式，， 若，则,即这不可能， 所以，所以 【小问2详解】 因， 则， 即一正一负，又，则， 即. 又， 则. 19. 某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时. （1）求点到点的距离； （2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【答案】（1） （2）2小时 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理，求出； （2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间． 【小问1详解】 由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. 【小问2详解】 在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． 20. 设函数（且）是定义域为R的奇函数． （1）求k的值； （2）若，试判断并说明函数的单调性； （3）在（2）的条件下求使不等式恒成立的t的取值范围． 【答案】（1）； （2）在R上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质可得，由此求得的值； （2）由，可求出的范围，利用函数的奇偶性； （3）将不等式化为，再利用函数的单调性转化为，利用即可求解. 【小问1详解】 ∵是定义域为R奇函数， ∴， ∴，此时，满足， 综上，. 【小问2详解】 由（1）知，且， ∵，∴， 又，且，∴， 在R上单调递减，在R上单调递增， 故在R上单调递减， 【小问3详解】 不等式化为， ∵是定义域为R的奇函数， ∴，即， ∴，∴恒成立， ∴，解得． ∴. 21. 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 （1）若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）已知，，，若，，求值 （3）已知，、，，若，，求、之间的曼哈顿距离. 【答案】（1），余弦距离等于 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据公式直接计算即可. （2）根据公式得到，，计算得到答案. （3）利用两角和与差的正弦、余弦公式可求出点、的坐标，结合题中定义可求得、之间的曼哈顿距离. 【小问1详解】 ， ，故余弦距离等于； 【小问2详解】 ； 故，，则. 【小问3详解】 因为，， 所以. 因为，所以. 因为， 所以. 因为，则， 所以. 因为， ，所以. 因为， ， 所以. 因为， 所以、之间的曼哈顿距离是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市朱家角中学2024学年度第二学期第一阶段质量监测 高一数学 （考试时间：90分钟，满分120分） 2025.3 一、填空题（本大题满分48分，本大题12题，每题4分） 1. 已知角终边经过点，则=__________． 2. 终边在第二象限角平分线上的所有角的集合用弧度制表示为____________. 3. 函数且的图象必经过点______. 4. 满足等式，的解为___________. 5. 把化成的形式是_____． 6. 在中，，，，则的面积为___________． 7. 已知，，则__________． 8. 函数是幂函数，且当时，是增函数，则__________． 9. 外在美加内容美才是真美，重庆书法家庹纯双在一个扇环牌匾上模仿王羲之的《兰亭序》，在精美的牌匾上写上优美的诗句，书法家飘逸灵动的字体，真是美轮美奂，扇环牌匾的两条弧长分别为15，9，AD的长度为2，则扇环的面积为_______________ 10. 已知集合，，若，，则的值等于__________． 11. 已知，，，，则__________． 12. 在中，角所对边分别为，若，则__________． 二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题4分） 13. 下列四个关系式中，正确的是． A. B. C. D. 14. 已知，，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 15. 在ABC中，如果满足，则ABC一定是（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 16. 在中，已知，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分56分） 17. 已知，． （1）求的值； （2）若且，求的值． 18. 解决下列问题： （1）已知，求值； （2）已知，，求值． 19. 某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时. （1）求点到点距离； （2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 20. 设函数（且）是定义域为R的奇函数． （1）求k的值； （2）若，试判断并说明函数单调性； （3）在（2）的条件下求使不等式恒成立的t的取值范围． 21. 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 （1）若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）已知，，，若，，求的值 （3）已知，、，，若，，求、之间的曼哈顿距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $