湖南省长沙市长郡中学2026-2027学年高一上学期开学综合能力检测数学试卷

2026级高一综合能力检测试卷 数学 时量：90分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1．下列判断正确的是 A．两点之间垂线段最短 B．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．点关于轴的对称点在第二象限 D．同一时刻下，两个身高相同的人在阳光下的影长相等 2．“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“志”字所在面相对的面上的字为 A．成 B．竟 C．者 D．事 3．关于的方程的根的情况是 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．如图所示，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“·”的个数为，第2幅图形中“·”的个数为，第3幅图形中“·”的个数为，…，以此类推，则的值为 A．80 B．99 C．109 D．110 5．孟想和程真两同学玩扑克魔术，孟想将一副扑克牌（54张）理后让程真从上往下取出所有第奇数张牌丢掉，然后再从剩下的牌中从上往下取出所有第奇数张牌丢掉，依次进行，直到剩下3张牌时，孟想对程真说“恭喜你得到一个985”，程真从上往下依次翻开果然是红桃9、红桃8、红桃5；请问：孟想在理牌时巧妙将这3张牌从上往下依次放在第几的位置 A．12，24，48 B．16，32，48 C．16，36，54 D．32，36，48 6．点是抛物线的顶点，点，在抛物线上（其中）．则下列结论正确的是 A．点在直线上 B． C．当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是 D．当点在原点时，过点的直线与抛物线交于，两点，则 二、填空题（本题共6小题，每小题6分，共36分．） 7．分解因式：_____________． 8．的最小值为_____________． 9．三角函数有如下的公式：，利用公式可以计算一些不是特殊角的三角函数值．根据以上阅读材料，计算：_____________． 10．如图，点在上，劣弧沿弦翻折，点的对应点为，连接并延长交圆于另一点，连接，．若，为直径，则的长为_____________． 11．如图，直线与反比例函数在第二象限的图象交于点，，与轴交于点．点的横坐标为，且，则反比例函数的解析式为_____________． 12．数学兴趣小组在研究连续正整数的和时发现结论：（，且为整数）．后来他们又发现一些完全平方奇数（若一个奇数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个奇数为完全平方奇数，如，，，，…均为完全平方奇数）可以写成几个连续正整数的和，如：，，，，…． （1）将写成几个连续正整数的和：_____________； （2）若将写成几个连续正整数的和，其中最大的正整数与最小的正整数的差为_____________． 三、解答题（本题共5小题，13、14小题每小题9分，其余每小题12分，共54分．） 13．（9分）为增强学生安全意识，某校开展“防溺水安全知识”主题教育活动，并随机抽取部分学生进行防溺水知识测试（测试等级分为：优秀、良好、合格、不合格），根据测试结果绘制了如下尚不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受测试的学生共有__________人，扇形统计图中“优秀”对应的圆心角度数为___________； （2）补全条形统计图； （3）若该校防溺水知识测试“不合格”的学生有300人，请估计该校共有多少名学生，并对学校防溺水安全教育工作提出一条合理化建议． 14．（9分）淇淇在计算“”时，误把“÷”看成“+”，得到的计算结果为． （1）求“▲”所表示的代数式； （2）若“”的运算结果乘一个关于的代数式，与“”的运算结果相同，求代数式． 15．（12分）某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． （1）基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少0.1万棵，设每棵定价提高到元（），每年的销售总收入为万元． ①求关于的函数关系式： ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． （2）该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育，改良前该绿植每棵售价为30元．设改良培育后每棵的售价为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 16．（12分）菱形中，为的外接圆，是的切线． （1）如图1，求证：为等边三角形； （2）如图2，点为边的中点，点在上，连接交于，若，，求的长． 17．（12分）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．将抛物线沿直线向右下方平移，得到函数的图象，则称函数为函数的“关联函数”． （1）求抛物线的解析式． （2）将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象，其顶点恰好是点．如图2，若点在函数的图象上，且在第二象限内，连接并延长，交抛物线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，以，为邻边作矩形，与射线交于点，设矩形与矩形的面积分别为，．求的取值范围； （3）将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象．若函数的图象恰好经过点，当时，的最小值为0，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $