精品解析：广东省汕头市潮阳区河溪中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

河溪中学2024——2025学年度第二学期学月考试 高二数学科试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 A. B. C. D. 5. 已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（    ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为是双曲线C上位于第一象限的一点，且，设O为坐标原点，N为的中点，的角平分线交线段ON于点M，若，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知向量，，则（    ） A. B. C. D. 10. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. ab≥8 C. a+b≥4 D. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（     ） A. 在上单调递增 B. 关于的方程在上有2个相异实根 C. 的图象关于点对称 D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为________. 13. 设，其在点处的切线斜率为__________． 14. 将数据，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是菱形，点E是PD的中点，且． （1）求证：平面ACE； （2）若，求BE与平面ACE所成角的正弦值． 18. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）如果用分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人分数恰好来自同一组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 19. 已知椭圆的焦距为2，且经过点，M为C的右顶点，过点P的直线l与C交于点异于点 （1）求C的标准方程; （2）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河溪中学2024——2025学年度第二学期学月考试 高二数学科试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知判断元素和集合B的关系，再根据元素及集合的关系判断A，应用集合及集合的基本关系判断B，C，D. 【详解】因为集合， 则，所以，C选项正确； 则可以在集合B中,也可以不在集合B中，所以A,B,D选项错误. 故选：C. 2. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知等式化简求出，从而可求出复数. 【详解】因为， 所以． 故选：D． 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理计算即可. 【详解】根据正弦定理，得，解得． 故选：A. 4. 已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，侧面展开图是一个半圆，，圆锥的表面积为，，故圆锥的底面半径为，故选B. 考点：圆锥的几何性质及侧面积公式. 5. 已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的定义可求得，，，利用二倍角的余弦公式可求值. 【详解】由题意可得，，因此，， 所以，，，， 所以 故选：B. 6. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数定义域并探讨其奇偶性，再利用特殊点及特殊区间的函数值特性即可判断得解. 【详解】因且，则，于是得函数定义域为， 又，即为奇函数﹐C不正确； 而，B不正确； 因时，，，则，A不正确，D符合. 故选：D 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为是双曲线C上位于第一象限的一点，且，设O为坐标原点，N为的中点，的角平分线交线段ON于点M，若，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先假设，得到，利用双曲线的定义得出，再利用勾股定理即可得到结果. 【详解】设，因为为等腰直角三角形且N为的中点， 所以，所以， 因为，所以，即， 在中，由勾股定理，有，解得， 故选：C． 【点睛】关键点点睛：设，先判断出为等腰直角三角形，得到线段之间的比例关系，进而得，再用勾股定理即可求得结果. 8. 已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在上恒大于0，且单调递增，可求的取值范围. 【详解】因为函数 在 上单调递增， 所以在上单调递增，所以. 且在恒大于0，所以或. 综上可知：. 故选：B 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知向量，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】分别计算出，然后判断选项即可; 【详解】因为，， 所以， 选项A，因为，所以与不垂直，所以A错误， 选项B，因为，，所以，所以，所以B正确， 选项C，因为，所以，所以，所以C错误， 选项D，因为，所以，所以，所以D正确. 故选：BD 10. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. ab≥8 C. a+b≥4 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，利用化简计算和基本不等式判断各个选项； 【详解】对于A，由题可得，即故A正确； 对于B，为正数，为正数，所以，当且仅当a=b=2时，等号成立.故B不正确； 对于C，为正数，当且仅当a=b=2时，等号成立，故C 正确； 对于D，为正数，当且仅当时，等号成立.故 D正确. 故选: ACD. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（     ） A. 在上单调递增 B. 关于的方程在上有2个相异实根 C. 的图象关于点对称 D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可. 【详解】由的图象得，，解得， 所以，又，所以， 解得，又，所以，所以， 由，解得， 即的单调递增区间为， 令得，又， 所以在上单调递增，故A正确； 当，则， 令，即，所以在上单调递增， 且，所以； 令，即，所以在上单调递减，且； 所以当时，在上有两个不相等的实根，故B正确； 因为，所以的图象关于直线对称，故C错误； 将的图象向左平移个单位长度，得的图象， 显然为奇函数，故D错误． 故选：AB 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零，结合一元二次不等式的解法即可得结果. 【详解】要使有意义， 则， 可得， 即， 可得， 即的定义域为， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查对数型复合函数的定义域，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 13. 设，其在点处的切线斜率为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】由复合函数求导法则求出函数的导函数，再根据导数的几何意义计算可得. 【详解】因为，所以， 则，所以曲线在点处的切线斜率为0. 故答案为：0 14. 将数据，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为________. 【答案】 【解析】 【分析】写出数阵中所有数据的和，利用错位相减法求解即可. 【详解】由题意，设数阵中所有数据的和为， 则①， ②， 由①-②得： ， 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据、寻找它们之间的相互联系，利用常见数列的通项公式和求和知识求解. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列的通项公式，再根据等比数列的通项公式计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式； （2）根据数列的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前项和． 【小问1详解】 由题意，可得， 故，， 数列是公比为2的等比数列，且， ， ，． 【小问2详解】 由题意及（1），可得， 则 ． 16. 已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）求导，根据点斜式求解直线方程， （2）根据导数的正负即可求解单调性. 【小问1详解】 ， ， 直线l的斜率为， 由题意知，解得， ，，即， 曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 由（1）知， 由得或，由得， 的单调递增区间为，，的单调递减区间为， 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是菱形，点E是PD的中点，且． （1）求证：平面ACE； （2）若，求BE与平面ACE所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：连接BD交AC于点F，连接EF， 底面ABCD是菱形，是BD的中点， 又E是PD的中点，， 平面ACE，平面ACE， 所以平面ACE. （2） 【解析】 【分析】（1）先证，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记AD中点为O，连接EO，OC，则， 又底面ABCD，底面ABCD， 底面ABCD，， 又，，平面COE， 所以平面COE，又平面COE，， 所以是等边三角形， 是PD的中点，且，． 以O为原点，OA，OC，OE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，则，，，， ，，， 设平面ACE的法向量， ，， 可取，， 记BE与平面ACE所成角为，则， 即BE与平面ACE所成角的正弦值为. 18. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）如果用分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人分数恰好来自同一组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 【答案】（1），，中位数约为70.5 （2） （3）平均数为80，方差为37.5 【解析】 【分析】（1）根据频率的性质以及频率之和为1即可求解，即可根据中位数的计算公式求解， （2）根据分层抽样比，结合列举法列举所有基本事件，即可根据古典概型的概率公式求解， （3）根据平均数以及方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由第二组的频数是第一组的2倍，可得第二组的频率为第一组的2倍，所以， 解得 又，解得 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 因此中位数落在区间内， 设中位数为，则，解得. 故估计这次竞赛成绩的中位数约为70.5. 【小问2详解】 第四组的抽取人数为4，设所抽取的人为， 第五组的抽取人数为2，设所抽取的人为， 则从中随机抽取两名学生有，，，，，，，，，，，，，，共15种情况， 记事件“抽取的两名学生在同一组”，所以事件A包含的基本事件为，，，，，，共7种情况. 所以 【小问3详解】 由，得：. 又， 所以：. 剔除其中的75和85两个分数，设剩余8个数为 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 所以 即：. 方差： 故剩余8个分数的平均数为80，方差为37.5. 19. 已知椭圆的焦距为2，且经过点，M为C的右顶点，过点P的直线l与C交于点异于点 （1）求C的标准方程; （2）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，求解即可； （2）设与直线PM平行的直线l的方程为，与椭圆方程联立，利用时，求得切线方程，进而求得椭圆上的点到直线PM的距离的最大值，进而求得面积的最大值. 【小问1详解】 由题，故， 把代入椭圆方程中得到， 解得：，， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题，直线PM的方程为， 设与直线PM平行的直线m的方程为， 当直线m与椭圆相切时，切点到直线PM距离取得最大值，Q为切点时，面积最大， 把代入椭圆方程中得：， 当直线m与椭圆相切时，距离最大， 故有，即， 所以，即， 当时，与之间的距离即为椭圆上点到直线PM距离的最大值， 此时， 所以面积最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $