函数性质的综合应用 讲义-2025届高三数学一轮复习

第4讲 函数性质的综合应用 核心考点⇄师生共研 考点一 函数的奇偶性与单调性 例1 若函数为奇函数，则关于的不等式的解集为 . [解析]由，得，即 当 时，在 上单调递减，又 为奇函数，故 在 上是减函数. 由 为奇函数,则不等式 可化为，所以，解得,故不等式的解集为. 解题技法 综合应用奇偶性与单调性解题的技巧 （1）比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小. （2）对于抽象函数不等式的求解，应变形为的形式，再结合单调性，脱去“”变成常规不等式，转化为（或）求解. 对点训练 已知奇函数在上是增函数，.若,,,则,,的大小关系为（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题意，知 在 上为偶函数，因为奇函数 在 上是增函数，且,所以 在 上单调递增.又,且,所以,则.故选. 考点二 函数的奇偶性与周期性 例2 （1） 已知函数是上的奇函数，且,当时，,则（ ） A. 4 B. C. 0 D. [解析]因为,所以,因此函数 的周期为3， 所以,又函数 是 上的奇函数，所以,, 所以,即, 所以原式,又当 时，, 则,因此原式. （2） 已知定义在上的奇函数满足,当时，单调递增，则（ ） A. B. C. D. [解析]因为,所以函数 是周期为4的周期函数，又 是定义在 上的奇函数， 所以,,,又当 时，单调递增， 所以, 即. 解题技法 综合应用奇偶性与周期性解题的技巧 （1）根据已知条件及相关函数的奇偶性推出函数的周期； （2）利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化； （3）代入已知的解析式求解，即得欲求的函数值. 对点训练 （多选）已知函数的定义域为，若与都是偶函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. [解析]选.因为 是偶函数， 所以, 从而. 因为 是偶函数， 所以. 从而. 所以,即,选项正确, 所以 是以4为周期的周期函数. 因为, 所以, 即, 所以 是偶函数,选项正确，选项无法判断是否正确，故选. 考点三 函数的周期性与对称性 例3 （多选）已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数，恒有成立，且,则（ ） A. 是函数图象的一个对称中心 B. 函数的一个周期是4 C. D. [解析]因为 是定义在 上的奇函数，所以,的图象关于 对称，因为,所以 的图象关于直线 对称，,且,所以函数 的周期为4，,.故选. 解题技法 综合应用对称性与周期性解题的技巧 函数满足的关系表明的是函数图象的对称性，函数满足的关系表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 对点训练 1. （多选）已知是定义域为的函数，满足,,当时，,则下列说法正确的是（ ） A. 的周期为4 B. 的图象关于直线对称 C. 当时，函数的最大值为2 D. 当时，函数的最小值为 [解析]选.对于，因为，所以,则，即 的周期为4，故 正确； 对于，由 知 的图象关于直线 对称，故 正确； 对于，当 时，在 上单调递减，在 上单调递增， 根据对称性可知，函数 在,上单调递减，在,上单调递增，则函数 在 上的最大值为,故 正确； 对于，根据周期性以及单调性可知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，则函数 在 上的最小值为,故 错误. 2. [2024·江苏模拟]已知定义在上的函数,对任意实数都有,若函数的图象关于直线对称，，则 [解析]由函数 的图象关于直线 对称，可知函数 的图象关于 轴对称，故 为偶函数.又由,得,所以 是周期为8的偶函数，则. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 已知奇函数的图象关于直线对称且，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 3 [解析]选.因为 的图象关于直线 对称， 所以, 又 为奇函数， 所以,所以, 所以,所以 是周期为4的周期函数，又,所以. 2. 已知定义在上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. [解析]选.根据奇函数的性质，得 在 上是减函数，且，由,得,即,所以,解得. 3. [2024·天津模拟]已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. [解析]选，因为 是定义在 上的偶函数，所以， 因为，,，所以. 又因为 在 上单调递减，所以，即.故选. 4. （多选）已知函数的定义域为，对任意实数,满足,且,则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 为增函数 [解析]选.对于，令,得，故 正确；对于，令,,得,故 正确；对于，令,得,故,所以 为奇函数，故 正确；对于，因为,所以 不是增函数，故 错误.故选. 5. （多选）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若,则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 的图象关于点对称 [解析]选.由 为奇函数，得,则,所以 的图象关于点 对称，错误；由 为偶函数，得,所以 的图象关于直线 对称，所以 的周期为,于是，正确；在 中，令,得,在 中，令,得.由当 时，,可得,又,所以,解得,正确；,错误.故选. 6. 已知是定义在上且以3为周期的偶函数，若,,则实数的取值范围为 [解析]因为 是定义在 上的周期为3的偶函数，所以,因为,所以,即. 7. 已知是定义域为的偶函数,,.若是偶函数，则 . [解析]因为 是偶函数，所以 的图象关于直线 对称，又,所以 是奇函数，所以 的图象关于点 对称，又 为偶函数，所以,即,所以 的周期，所以,所以. 8. 设函数,则的单调递增区间为 ，不等式的解集为 [解析]由题意得 的定义域为.因为,所以 是偶函数.当 时，,单调递增，因此当 时，单调递减.又因为,所以由 可得 或,即 或. 9. 定义在上的函数满足下面三个条件： ①对任意正数,，都有; ②当时，; . （1） 求和的值； 解：令 得, 则， 而,且,则. （2） 试用单调性定义证明：函数在上是减函数. 证明：取定义域中的任意的,,且, 所以,当 时，,所以, 所以, 即, 所以函数 在 上是减函数. B 综合运用 10. 已知函数满足,若函数与图象的交点为,, ,,则（ ） A. 0 B. C. D. [解析]选.因为,,所以函数 与 的图象都关于点 对称，所以,,所以. 11. [2024·东北三省四市联合模拟]已知对于每一对正实数,，函数满足：,若,则满足的的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 [解析]选.令,则,即,所以,, ,,累加得,则,所以.又,所以解得 或,又,所以.故选. 12. （多选）已知是定义在上的偶函数,是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为,分别是定义在 上的偶函数与奇函数，且两函数都在 上单调递减，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，即 在 上是减函数，所以,,所以,,,故，正确，不正确；若,则,故 不正确.综上所述，选. 13. 已知函数的定义域为,且满足对于任意,,有. （1） 求的值； 解：因为对于任意,，有, 所以令,得,所以. （2） 判断的奇偶性并证明你的结论； [答案] 为偶函数，证明如下： 的定义域关于原点对称，令, 有, 所以. 令,,得, 所以, 所以 为偶函数. （3） 如果,,且在上单调递增，求的取值范围. [答案]依题设有,由（2）知 是偶函数,所以 等价于. 又 在 上单调递增， 所以,解得 且, 所以 的取值范围是. C 素养提升 14. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：在内是单调函数;②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.求证： （1） 是函数的一个“优美区间”； 证明： 在区间 上单调递增， 又,,所以 的值域为， 所以区间 是 的一个“优美区间”. （2） 函数不存在“优美区间”. [答案]设 是函数 的定义域的子集. 由,可得 或, 所以函数 在 上单调递减. 假设 是已知函数的“优美区间”, 则 两式相减得，. 则, 因为，所以， 所以.则,显然等式不成立. 所以函数 不存在“优美区间”. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲 函数性质的综合应用 核心考点⇄师生共研 考点一 函数的奇偶性与单调性 例1 若函数为奇函数，则关于的不等式的解集为 . 解题技法 综合应用奇偶性与单调性解题的技巧 （1）比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小. （2）对于抽象函数不等式的求解，应变形为的形式，再结合单调性，脱去“”变成常规不等式，转化为（或）求解. 对点训练 已知奇函数在上是增函数，.若,,,则,,的大小关系为（ ） A. B. C. D. 考点二 函数的奇偶性与周期性 例2 （1） 已知函数是上的奇函数，且,当时，,则（ ） A. 4 B. C. 0 D. （2） 已知定义在上的奇函数满足,当时，单调递增，则（ ） A. B. C. D. 解题技法 综合应用奇偶性与周期性解题的技巧 （1）根据已知条件及相关函数的奇偶性推出函数的周期； （2）利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化； （3）代入已知的解析式求解，即得欲求的函数值. 对点训练 （多选）已知函数的定义域为，若与都是偶函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 考点三 函数的周期性与对称性 例3 （多选）已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数，恒有成立，且,则（ ） A. 是函数图象的一个对称中心 B. 函数的一个周期是4 C. D. 解题技法 综合应用对称性与周期性解题的技巧 函数满足的关系表明的是函数图象的对称性，函数满足的关系表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 对点训练 1. （多选）已知是定义域为的函数，满足,,当时，,则下列说法正确的是（ ） A. 的周期为4 B. 的图象关于直线对称 C. 当时，函数的最大值为2 D. 当时，函数的最小值为 2. [2024·江苏模拟]已知定义在上的函数,对任意实数都有,若函数的图象关于直线对称，，则 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 已知奇函数的图象关于直线对称且，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 3 2. 已知定义在上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. [2024·天津模拟]已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. （多选）已知函数的定义域为，对任意实数,满足,且,则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 为增函数 5. （多选）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若,则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 的图象关于点对称 6. 已知是定义在上且以3为周期的偶函数，若,,则实数的取值范围为 7. 已知是定义域为的偶函数,,.若是偶函数，则 . 8. 设函数,则的单调递增区间为 ，不等式的解集为 9. 定义在上的函数满足下面三个条件： ①对任意正数,，都有; ②当时，; . （1） 求和的值； （2） 试用单调性定义证明：函数在上是减函数. B 综合运用 10. 已知函数满足,若函数与图象的交点为,, ,,则（ ） A. 0 B. C. D. 11. [2024·东北三省四市联合模拟]已知对于每一对正实数,，函数满足：,若,则满足的的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. （多选）已知是定义在上的偶函数,是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 13. 已知函数的定义域为,且满足对于任意,,有. （1） 求的值； （2） 判断的奇偶性并证明你的结论； （3） 如果,,且在上单调递增，求的取值范围. C 素养提升 14. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：在内是单调函数;②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.求证： （1） 是函数的一个“优美区间”； （2） 函数不存在“优美区间”. 学科网（北京）股份有限公司 $$