第3讲 函数的奇偶性、周期性与对称性讲义——2025届高三数学一轮复习

第3讲函数的奇偶性、周期性与对称性 课标要求： 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.会运用函数图象理解和研究函 数的奇偶性 2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.会判断、应用简单函数的周期 性解决问题， 3能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题 考情分析： 高考命题常以基本初等函数为载体，考查函数的奇偶性、周期性和图象的对称 性及其应用.函数的奇偶性与单调性、周期性的综合问题是高考的热点，常以选 择题的形式出现.预计2025年高考函数的奇偶性及对称性仍是必考内容 必备知识之自主排查 理一理 1.函数的奇偶性 奇 条件 图象特 偶 点 偶 一般地，设函数f(x)的定义域为D, 如果vx∈D,都有 关于② 函 -x∈D,且①f(-x)=f(x) y轴对 数 称 奇 一般地，设函数f(x)的定义域为D, 如果VxED,都有 关于④ 函 -xED,且③f(-x)=-f(x) 原点对 数 称 [提醒]函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件， 2.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数 T,使得对每一个xED都有x+TED,且⑤f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就 叫做周期函数非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的⑥正 数那么这个最小⑦正数就叫做f(x)的⑧最小正周期 [提醒]并非所有周期函数都有最小正周期： 记一记 1.函数的奇偶性 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义，则一定有f(0)=0.如果函 数f(x)是偶函数，那么f(x)=f() (2)在公共定义域内有：奇土奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶= 偶，奇×偶=奇. (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性：偶函数在两个对称的区间 上具有相反的单调性。 2.函数的周期性 对f(x)定义域内任一自变量x的值： (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0) (2)若f(x+a)=a,则T=2a(a>0) (3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0) 3.函数图象的对称性 (1)若函数y=f(x十a)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对 称： (2)若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点(b0)中 心对称； (3)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x)或 f(a+x)=f(a-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称， 用一用 1.已知函数f(x+1)是偶函数，且在(1+o∞)上单调递增，设a=f(-), b=f(2),c=f(3),则ab,c的大小关系为() A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c 2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x+2)=-f(x),且当 -1≤x<0时，f(x)=-X2+2,则f(2025)= 核心考点亡师生共研 考点一函数的奇偶性 角度1判断函数的奇偶性 例1判断下列函数的奇偶性： 1)f(x)=(x+1) (2) f(x)= 2 (-x2+2x+1,X>0, (3)f(x)= (x2+2x-1x<0. 解题技法 判断函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法： 确定函数的奇偶性时，必须先判断函数的定义域是否关于原点对称若对称，再 化简解析式后验证f(-x)=士f(x)或其等价形式f(一x)士f(x)=0是否 成立 (2)图象法： 关于原点对称 fx)为奇函数 八x)的图象 关于y轴对称 f代x)为偶函数 (3)性质法： 设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上：奇±奇 =奇，奇×奇=偶，偶士偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇. [注意]分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式 f(一x)=f(x)或f(一X)=一f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相 同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性， 角度2函数奇偶性的应用（链接高考） 例2[2023·全国乙卷]已知f(x)=号是偶函数，则a=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 【考题变式】 1.(条件变式)已知函数f(x)=亡。-专为奇函数，则a= 2.(同类变式)已知函数f(x)=n(e“+1)-x是偶函数，则实数a的值为 例3己知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e+x,则 f(x)在R上的解析式为f(x)= 解题技法 函数奇偶性的应用类型及解题策略 (1)求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求 出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程式（组），从而得 到f(x)的解析式 (2)求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求 解 (3)求参数值：利用待定系数法求解，根据F(x)士f(一x)=0得到关于待 求参数的恒等式，由系数的对等性，得出参数的值对于在x=0处有定义的奇 函数f(x),可考虑列等式f(0)=0求解 对点训练 1.设函数f(x)=x+,则下列函数中为偶函数的是() A.f(x+1) B.f(x)+1 C.f(x-1) D.f(x)-1 2.[2024·湖南模拟]已知函数F(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函 数，f(x)+g(x)=2·3,则函数f(x)= 考点二函数的周期性 例4(1)已知函数f(x)在R上满足f(8+1)=f(x-1),且 (x+a-1≤x<0, f(x)= (2-X,0≤x<1 其中aeR若f(-5)=f(4.5),则a=() A.0.5 B.1.5 C.2.5 D.3.5 (2)若函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且x∈[-11时，f(x)=x2, 则x∈7,9时的函数解析式是f(x)= 解题技法 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)，便可证明函数 是周期函数，且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题， (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决 具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kTk∈Z且k≠O也是函数 的周期。 对点训练 L.已知f(x)对于任意x∈R都有f(x+2)=f(x),且f(x)在区间O,2)上单 调递增，则f(-6.5)f(-1),f(0)的大小关系是() A.f(-1)<f(0)<f(-6.5) B.f(-6.5)<f(0)<f(-1) C.f(-1)<f(-6.5)<f(0) D.f(0)<f(-1)<f(-6.5) 2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时， f(x)=3一x,则函数y=f(x)的图象在区间0,4上与x轴的交点有_个 考点三函数的对称性 例5（多选）已知函数f(x)的定义域为R,对任意x都有f(2+x)=f(2-x), 且f(一x)=f(x),则下列结论正确的是() A.f(x)的图象关于直线x=2对称B.f(x)的图象关于点(2,0)对称 C.f(x)的周期为4 D.y=f(x+4)为偶函数 解题技法 (1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求 出函数图象的对称轴或对称中心 (2)解决与函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值 或参数问题 对点训练 1.函数f(x)=娑图象的对称中心为() A.(0,0) B.(01) C.(1,0) D.(1,1) 2.己知函数f(x)对任意的xER都有f(x)=f(2-X)成立，且当x≥1时， f(x)=2-1,则() A.f(传)<f()<f() B.f(号)<f()<f(待) c.f(号)<f()<f() D.f()<f()<f(侍) 课后达标≠分级演练 A基础达标 1.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1-2),则函数y=-f(-x)的图 象必过点() A.(-1,2) B.(1,2) C.(-1,-2)D.(-21) 2.已知定义在R上的奇函数f(x)的周期为4，若f(-1)=-2,则 f(20)-f(21)=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.已知定义域为a-4,2a-2的奇函数f(x)=x3-sx+b+2,则 f(a)+f(b)=() A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知F(X)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x-是.若 f(2)+f(0)=1,则f(-3)=(） A.-4 B.-3 C.-2 D.1 5.(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)对Vx∈R都有 f(x+2)=一f(x),则下列判断正确的是() A.f(x)是周期函数且周期为4 B.f(x)的图象关于点(1,0)对称 C.f(x)的图象关于直线x=-1对称D.f(x)在[-4,4]上至少有5个零点 6.设偶函数f(x)的定义域为-5,5，若当x∈[0,5时，f(x)的图象如图所 示，则不等式f(x)<0的解集为 7.设f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x∈（-11时， X2+2x+m-1<X<0, f(x)= Vx,0sxs1 其中meR.若f(古)=f(是)，则m的值 是 8.(人教A版必修第一册P4例6改编)已知函数①f(x)=x3 ②f(x)=,③f(x)=本；④f(x)=xx.从以上四个函数中选择奇偶性 相同的两个函数：一（填序号）作为已知条件，则这两个函数乘积的最小值为_ 9.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有f(x+2)=一f(x). 当xe0,2时，f(x)=2x-x2. (1)求证：f(x)是周期函数： (2)当x∈24时，求f(x)的解析式。 B综合运用 10.己知函数y=f(x)的图象关于原点对称的充要条件是函数y=f(x)为奇 函数给定函数f(x)=3+3x2,则函数f(x)的图象的对称中心是() A.点(1，-2)B.点(-2,1) C.点(1,2) D.点(-12) 11.[2024·江苏连云港调研]（多选)设函数f(x)的定义域为R,且 f(x+1)是奇函数，f(X)是偶函数，则下列说法正确的是() A.f(1)=0 B.函数f(x)是以2为周期的周期函数 C.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称 D.函数f(x-1)为奇函数 12.己知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞)时， f(x)=x2+x+2+m (1)求f(x)在(-∞，0)上的解析式： (2)若f(2a-1)+f(a)<0,求实数a的取值范围. 13.已知f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=3f(x)f(y), f(1)=3: (1)证明：f(x)是偶函数： 2025 (2)求∑f(k) k司 C素养提升 14.已知函数f(x)=s血(x-1)++3,则 f(-2022)+f(-2021)+…+f(-1)+f(0)+f(2)+f(3)+…+f(2023)+f(20 第3讲 函数的奇偶性、周期性与对称性 课标要求； 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性. 2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题. 3.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题. 考情分析； 高考命题常以基本初等函数为载体，考查函数的奇偶性、周期性和图象的对称性及其应用.函数的奇偶性与单调性、周期性的综合问题是高考的热点，常以选择题的形式出现.预计2025年高考函数的奇偶性及对称性仍是必考内容. 必备知识⇄自主排查 理一理 1. 函数的奇偶性 奇偶性 条件 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果,都有,且①   关于②  轴对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果,都有，且③   关于④原点对称 ［提醒］ 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. 2. 函数的周期性 （1） 周期函数：一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数,使得对每一个都有,且⑤  ,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. （2） 最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的⑥正数,那么这个最小⑦正数就叫做的⑧最小正周期. ［提醒］ 并非所有周期函数都有最小正周期. 记一记 1.函数的奇偶性 （1）如果函数是奇函数且在处有定义，则一定有.如果函数是偶函数，那么. （2）在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇×奇偶，偶×偶偶，奇×偶奇. （3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 2.函数的周期性 对定义域内任一自变量的值： （1）若,则. （2）若,则. （3）若,则. 3.函数图象的对称性 （1）若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称； （2）若函数是奇函数，则函数的图象关于点中心对称； （3）若对于上的任意都有或或,则的图象关于直线对称. 用一用 1. 已知函数是偶函数，且在上单调递增，设,,,则,,的大小关系为（ A ） A. B. C. D. [解析]选.由记一记3（1）知，函数 的图象关于直线 对称，所以,因为函数 在 上单调递增且,所以.故选. 2. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则  . [解析]由记一记2（1）知，函数 的周期为4，所以.又因为 是奇函数，所以. 核心考点⇄师生共研 考点一 函数的奇偶性 角度1 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性： （1） ; 【解】要使 有意义，需满足 且,所以,所以 的定义域不关于原点对称，所以 为非奇非偶函数. （2） ; [答案]因为 所以 且,所以定义域关于原点对称.又, 故函数 为偶函数. （3） [答案]方法一（定义法） 当 时，, ,; 当 时，, ,. 所以 为奇函数. 方法二（图象法） 作出函数 的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特性知函数 为奇函数. 解题技法 判断函数奇偶性的3种常用方法 （1）定义法: 确定函数的奇偶性时，必须先判断函数的定义域是否关于原点对称.若对称，再化简解析式后验证或其等价形式是否成立. （2）图象法: （3）性质法: 设,的定义域分别是，，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇×奇偶，偶偶偶，偶×偶偶,奇×偶奇. ［注意］ 分段函数奇偶性的判断，要分别从或来寻找等式或成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性. 角度2 函数奇偶性的应用（链接高考） 例2 [2023·全国乙卷]已知是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 ［分析及溯源］ 本题考查函数的奇偶性，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养.本题源于教材人教A版必修第一册. [解析]方法一：因为 是偶函数，所以,所以,所以.故选. 方法二：因为 是偶函数，所以,所以,所以.故选. 【考题变式】 1. （条件变式）已知函数为奇函数，则 [解析]由题意知,即,整理得, 所以 解得. 2. （同类变式）已知函数是偶函数，则实数的值为 [解析]由题意知函数的定义域为,，即, 即,化简得,解得. 例3 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式为 [解析]由题意得，当 时，， 当 时，，则.又因为 为奇函数，所以， 所以 解题技法 函数奇偶性的应用类型及解题策略 （1）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出的解析式，或充分利用奇偶性构造关于的方程式（组），从而得到的解析式. （2）求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. （3）求参数值：利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性，得出参数的值.对于在处有定义的奇函数，可考虑列等式求解. 对点训练 1. 设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ） A. B. C. D. [解析]选.,则，因为 是偶函数，故 为偶函数,,既不是奇函数，也不是偶函数.故选. 2. [2024·湖南模拟]已知函数,分别是定义在上的偶函数和奇函数，,则函数 [解析]因为,所以,又,分别是定义在 上的偶函数和奇函数，所以,,所以,则 两式相加得，,所以. 考点二 函数的周期性 例4 （1） 已知函数在上满足,且其中,若,则（ ） A. 0.5 B. 1.5 C. 2.5 D. 3.5 [解析]由,得 是周期为2的周期函数，又,所以,即,所以.故选. （2） 若函数满足,且时，,则时的函数解析式是 [解析]由函数 满足 可知,因此函数 的周期是2.由,得,因此,根据函数的周期是2可知,因此 解题技法 函数周期性的判定与应用 （1）判断函数的周期性只需证明，便可证明函数是周期函数,且周期为,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题. （2）根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若是函数的周期，则且也是函数的周期. 对点训练 1. 已知对于任意都有，且在区间上单调递增，则,,的大小关系是（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为 对于任意 都有，所以 的周期为2，所以，.因为 在区间 上单调递增， 所以，即，故选. 2. 已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，,则函数的图象在区间上与轴的交点有 个. [解析]当 时，令,得 的图象与 轴交点的横坐标分别为,.当 时，,又 的最小正周期为2，所以,所以,所以当 时，的图象与 轴交点的横坐标分别为,.又,综上可知，共有5个交点. 考点三 函数的对称性 例5 （多选）已知函数的定义域为,对任意都有,且,则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 的周期为4 D. 为偶函数 [解析]因为，则 的图象关于直线 对称，故 正确，错误； 因为函数 的图象关于直线 对称， 则,又, 所以,所以 的周期为4,故 正确； 因为 且 为偶函数， 故 为偶函数，故 正确. 解题技法 （1）求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心. （2）解决与函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题. 对点训练 1. 函数图象的对称中心为（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为,将 的图象向上平移一个单位长度得到 的图象，又 的图象关于 对称，所以 的图象关于 对称. 2. 已知函数对任意的都有成立，且当时，,则（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题意知，函数 的图象的对称轴方程是，当 时，,则函数 在 上单调递增，由 的对称性知 在 上单调递减.又因为,，所以,即.故选. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 已知函数的图象经过点，则函数的图象必过点（ ） A. B. C. D. [解析]选.函数 与 的图象关于原点对称，又 的图象经过点，则函数 的图象必过点. 2. 已知定义在上的奇函数的周期为4，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 [解析]选.因为 为定义在 上的奇函数且周期为4， 所以,.故选. 3. 已知定义域为的奇函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 [解析]选.依题意得，解得，由，得，所以.故选. 4. 已知是上的奇函数，且当时，.若,则（ ） A. B. C. D. 1 [解析]选.因为 是 上的奇函数，所以.又因为,所以,解得,所以,所以. 5. （多选）已知定义在上的奇函数对都有,则下列判断正确的是 （ ） A. 是周期函数且周期为4 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 在上至少有5个零点 [解析]选.对于，因为,所以,所以函数 的周期为4，故 正确；对于，因为,且,所以,所以 的图象关于直线 对称，故 错误；对于，因为,所以,又因为，所以,所以 的图象关于直线 对称，故 正确；对于，因为 为 上的奇函数且周期为4，必有,在 上，,,又由,得,,则 在 上至少有5个零点，故 正确. 6. 设偶函数的定义域为，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为 [解析]由题图可知，当 时，；当 时，.又 是偶函数，所以当 时，;当 时，.综上所述，不等式 的解集为. 7. 设是定义在上的周期为2的周期函数，当时，其中.若,则的值是 . [解析]由题意得，,,因为,所以，解得. 8. （人教A版必修第一册P84例6改编）已知函数;;;.从以上四个函数中选择奇偶性相同的两个函数： （填序号）作为已知条件，则这两个函数乘积的最小值为 . [解析],①是奇函数；，②是偶函数；,③是偶函数；,④是奇函数.选择条件①④:令,当 时，单调递增;当 时，单调递减，则函数 的最小值为;选择条件②③:令,由于 和 均为偶函数，故 为偶函数，当 时，,,故当 时，单调递增，当 时，单调递减，所以 的最小值为. 9. 设是定义在上的奇函数，且对任意实数,恒有.当时，. （1） 求证：是周期函数； 解：证明：因为,所以. 所以 是周期为4的周期函数. （2） 当时，求的解析式. [答案]因为,所以,所以, 所以. 因为, 所以, 即当 时，. B 综合运用 10. 已知函数的图象关于原点对称的充要条件是函数为奇函数.给定函数,则函数的图象的对称中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 [解析]选.,易知 为奇函数，故 的图象关于点 对称，所以 的图象的对称中心是点.故选. 11. [2024·江苏连云港调研]（多选）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是以2为周期的周期函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数为奇函数 [解析]选.对于：由 是奇函数得，即，所以 的图象关于点 对称，，正确；对于:由 得，又因为 是偶函数，所以，所以，即，，所以 是以4为周期的周期函数，错误;对于:由 得，所以 的图象关于直线 对称，正确;对于:令，又 是奇函数,是偶函数，则,即,正确. 12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1） 求在上的解析式； 解：由题得，则.当 时，， 所以， 则， 所以所求解析式为 . （2） 若，求实数的取值范围. [答案]当 时，， 则 在 上单调递增， 又函数 为奇函数，所以 在 上单调递增， 因为，所以， 所以， 解得，即实数 的取值范围是,. 13. 已知的定义域为，且，. （1） 证明：是偶函数； 解：证明： 的定义域为，令，,得，所以，令,得，所以，即,所以 是偶函数. （2） 求. [答案]令，得，① 所以，② 由 得，， 所以,即， 所以，所以 的周期是6. 由②得，，所以，同理，所以，又由周期性和偶函数可得, , , ， 所以， 所以. C 素养提升 14. 已知函数,则 . [解析]因为，所以函数 的图象关于点 中心对称，所以当 时，,所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$